眼見不一定為實！電阻、電容和電感的實際等效模型

信號完整性在高速電路中有著至關重要的作用，而很多信號完整性問題需要用「阻抗」的概念來解釋和描述，

在高頻信號下，很多器件失去了原有的特性，如我們經常聽到的“高頻時電阻不再是電阻，電容不再是電容”，這是咋回事呢？那就看今天的文章吧！

容抗的概念

電容有兩個重要特性，一個是隔直通交，另一個是電容電壓不能突變，先來看一下百度百科對容抗的解釋，

簡單說，雖然交流電能通過電容，但是不同頻率的交流電和不同容值的電容，通過時的阻礙是不一樣的，把這種阻礙稱之為容抗，

容抗與電容和頻率的大小成反比，也就是說，在相同頻率下，電容越大，容抗越小；在相同電容下，頻率越高，容抗越小，

如何理解容抗與電容大小和頻率成反比呢？

以RC一階低通濾波器舉例，

Vin通過R1電阻對電容C1進行充電，Vin的電勢加在電容C的兩個金屬極板上，正負電荷在電勢差作用下分別向電容的兩個極板聚集而形成電場，這稱為充電程序，

若將Vin拿掉，在Vout上加一個負載R2（青色部分），電容兩端的電荷會在電勢差下向負載流走，這稱為放電程序，（流過電容的電流并不是真正穿過了極板的絕緣介質，指的是外部的電流）

衡量電容充電的電荷數是Q，Q=CV，C是常量，所以電荷數和電壓呈正比，

C=Q/V，電容量代表了電容儲存電荷的能力，微分運算式為：

C = d q ( t ) d v ( t ) (1) C=\frac{dq(t)}{dv(t)}\tag{1} C=dv(t)dq(t)?(1)

電流是單位時間內電荷數的變化量: i ( t ) = d q ( t ) d t (2) i(t)=\frac{dq(t)}{dt}\tag{2} i(t)=dtdq(t)?(2)

結合(1)和(2)兩個公式可得到： i ( t ) = C d v ( t ) d t (3) i(t)=C\frac{dv(t)}{dt}\tag{3} i(t)=Cdtdv(t)?(3)

從公式可以看出：電容上的電流和電壓的變化量是呈正比的，或者說電容上電壓的變化量和電流是呈正比的，

即在電壓一定時，電容越大，單位時間內電路中充、放電移動的電荷量越大，電流越大，所以電容對交變電流的阻礙作用越小，即容抗越小，

在交變電流的電壓一定時，交變電流的頻率越高，電路中充、放電越頻繁，單位時間內電荷移動速率越大，電流越大，電容對交變電流的阻礙作用越小，即容抗越小，

容抗用 X C X_{C} XC?表示，公式如下，其中 f f f是頻率， C C C是容值

X C = 1 ω C X_{C}=\frac1{\omega C} XC?=ωC1?

因為（ ω = 2 π f \omega=2\pi f ω=2πf），所以容抗也可以用如下的公式表示：

X C = 1 2 π f C X_{C}=\frac1{2\pi fC} XC?=2πfC1?

感抗的概念

如下是百度百度對感抗的解釋，電感的特性是隔交通直，與電容是相反的；所以說容抗和感抗的性質和效果幾乎正好相反，而電阻則處在這兩個極端中間，

感抗與電感的大小和頻率成正比，也就是說，在同頻率下，電感越大，感抗越大；在同電感下，頻率越大，感抗越大，

感抗用 X L X_{L} XL?表示，公式如下，其中 f f f是信號頻率， L L L是感值

X L = ω L X_{L}=\omega L XL?=ωL

因為（ ω = 2 π f \omega=2\pi f ω=2πf），所以感抗的公式可以用如下表示：

X L = 2 π f L X_{L}=2\pi fL XL?=2πfL

感抗和容抗又被稱為電抗，電路的總的阻抗Z由電阻R和電抗X組成，

掌握了預備知識，我們再來看電阻、電容和電感的實際等效模型，

理想的電阻、電容和電感就是如下的這樣子，在實際中并不存在，在電阻里面會有寄生電容和寄生電感的存在，在電容里面會有寄生電阻和寄生電感的存在，在電感里面有寄生電阻和寄生電容，

理想電阻

理想電阻的阻抗即為阻值R： Z i d e a l = R Z_{ideal}=R Zideal?=R

電阻實際等效模型

電阻上會存在寄生并聯電容C寄生串聯電感L的存在，

根據上圖可得電阻的實際等效阻抗為： Z r e a l = ( j ω L + R ) ? 1 j ω C ( j ω L + R ) + 1 j ω C Z_{real}=\frac{(j\omega L+R)*\frac1{j\omega C}}{(j\omega L+R)+\frac1{j\omega C}} Zreal?=(jωL+R)+jωC1?(jωL+R)?jωC1??

化簡可得： Z r e a l = j ω L + R ( 1 ? ω 2 L C ) + j ω R C Z_{real}=\frac{j\omega L+R}{(1-\omega^2LC)+j\omega RC} Zreal?=(1?ω2LC)+jωRCjωL+R?

實際電阻器的阻抗和頻率曲線，有兩個節點，分別為 f 1 = 1 2 π R C f1=\frac1{2\pi RC} f1=2πRC1? f 2 = 1 2 π L C f2=\frac1{2\pi \sqrt{LC}} f2=2πLC ?1?

在頻率小于 f 1 f1 f1時，呈現電阻特性，在 f 1 f1 f1和 f 2 f2 f2之間，呈現電容減少阻抗，頻率大于 f 2 f2 f2時，呈現電感增加阻抗的特性，

f 1 f1 f1和 f 2 f2 f2分別對應RC濾波器的截止頻率點和?容抗和感抗相等時的頻率點，?

理想電容器

理想電容器的阻抗Z公式為： Z i d e a l = 1 j ω c = 1 j 2 π f c Z_{ideal}=\frac1{j\omega c}=\frac1{j2\pi fc} Zideal?=jωc1?=j2πfc1?

阻抗大小|Z|如下圖所示，與頻率呈反比，隨著頻率增大，阻抗減小，由于理想電容器中無損耗，故等效串聯電阻(ESR)為零，

電容實際等效模型

理想的電容器在實際中是不存在的，電容的實際模型是一個ESR串聯一個ESL，再串聯一個電容，ESR是等效串聯電阻，ESL是等效串聯電感，C是理想的電容，

所以上述模型的復阻抗為： Z = E S R + j 2 π f E S L + 1 j 2 π f c = E S R + j ( 2 π f E S L ? 1 2 π f c ) Z=ESR+j2\pi fESL+\frac1{j2\pi fc}=ESR+j(2\pi fESL-\frac1{2\pi fc}) Z=ESR+j2πfESL+j2πfc1?=ESR+j(2πfESL?2πfc1?)

• 2 π f E S L < < 1 2 π f c 2\pi fESL<<\frac1{2\pi fc} 2πfESL<<2πfc1?時，電容器表現為容性；

• 2 π f E S L > > 1 2 π f c 2\pi fESL>>\frac1{2\pi fc} 2πfESL>>2πfc1?時，電容器表現為感性，因此會有一句話叫高頻時電容不再是電容，而呈現為電感，這個電感不是說電容變成了電感，而是指此時的電容擁有了與電感類似的特性，

• 2 π f E S L = 1 2 π f c 2\pi fESL=\frac1{2\pi fc} 2πfESL=2πfc1?時，此時容抗矢量等于感抗矢量，電容的總阻抗最小，表現為純電阻特性，此時的f稱為電容的自諧振頻率，

自諧振頻率點是區分電容是容性還是感性的分界點，高于諧振點時，“電容不再是電容”，因此退耦作用將下降，實際電容器都有一定的作業頻率范圍，在作業頻率范圍內，電容才具有很好的退耦作用， E S L ESL ESL是電容在高于自諧振頻率點之后退耦功能被消弱的根本原因，

下圖是實際電容器的頻率特性，

理想電感

理想電感的阻抗為： Z i d e a l = j ω L Z_{ideal}=j\omega L Zideal?=jωL

電感實際等效模型

和電阻的是一樣的，即： Z r e a l = j ω L + R ( 1 ? ω 2 L C ) + j ω R C Z_{real}=\frac{j\omega L+R}{(1-\omega^2LC)+j\omega RC} Zreal?=(1?ω2LC)+jωRCjωL+R?

從下圖可以看出，理想的電感的阻抗是隨著頻率的增加而變大的，

等效電感的阻抗呈一個倒V型，正好和電容相反，倒V的最高點稱為電感的自諧振點，

當系統阻尼R提供的衰減不足時，容抗和感抗相互抵消，能量在LC間來回傳遞，這就是諧振，

• 頻率低于自諧振頻率SRF時，電感感抗隨著頻率增加而增加，

• 頻率等于自諧振頻率SRF時，電感感抗達到最大，

• 頻率高于自諧振頻率SRF時，電感感抗隨著頻率增加而減少，

總結

理想的電阻、電容和電感在實際中不存在，都會存在寄生引數，從而在不同的頻率下，表現出的特性不同，只有在特定的頻率范圍內才能發揮出其本身的特性，

今天的文章內容到這里就結束了，希望對你有幫助，我們下一期見，