PID微分器與濾波器的愛恨情仇-有解無憂

文章目錄

- 1 先說噪聲
- 2 噪聲對于系統的影響
- 3 對于PID控制器的影響
- 4 加入濾波器
- - 4.1 傳遞函式
  - 4.2 串聯微分的等效形式反饋積分
- 5 C語言實作
- 6 參考

1 先說噪聲

在電子設備等電路系統中，噪聲是不被系統需要的電信號；電子設備產生的噪聲會由于多種不同的影響而產生很大的差異，
在通信系統中，噪聲是一個錯誤或不希望出現的隨機干擾從而作用于有效的信號，

2 噪聲對于系統的影響

噪聲出現的第一個場景，當我們在教室里做英語聽力，然后旁邊的同學手機忽然來了一條短信，這時候往往可以聽到放英語聽力的喇叭會被干擾，然后會發出嗶嗶嗶的聲音；

下面是一個正弦信號跌加噪聲的例子，在原始信號上疊加一定幅度的高斯噪聲，可以看到信號不再像原來的正弦信號那樣完美，具體如下圖所示；

或者，很久很久以前，數字電視還沒有普及，那時候的顯像管的黑白電視，也容易出現這樣的雪花一樣的噪聲，疊加在圖片上就會出現這樣的效果，具體如下圖所示；

從上述的例子中可以看到，噪聲往往會對系統造成一定程度的影響，但是如果噪聲的幅度減小到一定程度，對于系統的影響可能就沒有那么容易被發現，

下面做一個實驗；

在一張黑色圖片上疊加幅度很小幅度的高斯噪聲；從第二張圖片中發現噪聲沒有影響到整體圖片；
然后我嘗試提高了整幅圖片的亮度，發現，噪點便開始出來了，這像極平時那些槍版影片的馬賽克畫質；
整體的實驗結果如下圖所示；

3 對于PID控制器的影響

既然噪聲的幅度減小到一定程度，對于系統的影響可能就沒有那么容易被發現，那么對理想的PID控制器又有什么影響呢？

不要忘了，在理想PID控制器中，微分控制器會對偏差的變化率（斜率）進行累加，從而產生積分器的輸出；
對于微分器來說，即使噪聲幅度足夠小，但是只要達到足夠高頻率，偏差的變化率一樣可以變得很大，下面舉個例子；

這里有一個固定頻率 f f f和賦值 A A A的噪聲為信號1，這個信號可以表示為：
X 1 ( t ) = A s i n ( 2 π f t ) X_1(t) = Asin(2\pi f t) X1?(t)=Asin(2πft)

于是我們嘗試將信號1的幅度減半，頻率變為原來的兩倍，得到了信號2：
X 2 ( t ) = A 2 s i n ( 2 π 2 f t ) X_2(t) = \cfrac{A}{2} sin(2\pi 2f t) X2?(t)=2A?sin(2π2ft)

以此類推，在信號2的基礎上，幅度再減半，頻率乘以2，得到信號3：
X 3 ( t ) = A 4 s i n ( 2 π 4 f t ) X_3(t) = \cfrac{A}{4} sin(2\pi 4f t) X3?(t)=4A?sin(2π4ft)

簡單畫了一下這個信號，具體如下圖所示；

假設分別取三個信號位于 t 0 t_0 t0?該點的斜率，從圖中可以看到，斜率1，斜率2，斜率3是相同的，簡單驗證一下，在 t 0 t_0 t0?時刻，可以得到：

{ D 1 = d X 1 ( t ) d t D 2 = d X 2 ( t ) d t D 3 = d X 3 ( t ) d t \begin{cases}D_1 = \cfrac{dX_1(t)}{dt} \\ \\ D_2 = \cfrac{dX_2(t)}{dt} \\ \\ D_3 = \cfrac{dX_3(t)}{dt} \\ \end{cases} ????????????????????????D1?=dtdX1?(t)?D2?=dtdX2?(t)?D3?=dtdX3?(t)??
所以這里就是求復合函式的微分，由于選取的點比較特殊，發現最終計算得到的結果 D 1 = D 2 = D 3 D_1 = D_2 = D_3 D1?=D2?=D3?，因此也可以發現，即使減小了噪聲的幅度，但是對于較高頻率的噪聲，依然會產生較大斜率，

遇到高頻噪聲，那么微分器會產生較大的輸出，從而最終對系統造成影響，這是我們不希望出現的結果，因此在反饋回路中并不希望高頻噪聲進入PID控制器的計算，這里就需要低通濾波器將噪聲濾除，

4 加入濾波器

低通濾波器可以濾除高頻信號，這樣保留了有效信號，可以設定所需的截止頻率；
系統處理有效信號，由于低頻部分信噪比較高，因此噪聲對于系統的影響較小，而高頻部分，信噪比就很低，這時候對于系統來說，噪聲就會造成不小的影響，具體如下圖所示；

信噪比：有效信號和噪聲的比值，英文名稱叫做SNR或S/N（SIGNAL-NOISE RATIO)；

所以下面我們會在PID控制器的微分部分加入低通濾波器，這樣對反饋的信號進行一部分處理，從而減小系統干擾，如下圖所示；

4.1 傳遞函式

概念：拉普拉斯變換是對于 t > = 0 t>=0 t>=0 函式值不為零的連續時間函式 x ( t ) x(t) x(t) 通過關系式 (式中 ? s t -st ?st為自然對數底 e e e的指數)變換為復變數 s s s的函式 X ( s ) X(s) X(s)，它也是時間函式 x ( t ) x(t) x(t)的“復頻域”表示方式，

也就是說拉式變換可以將時域關系變換到頻域中，這樣可以便于系統進行分析，

下面是本文下面會用到的時域函式對應的拉普拉斯變換：

積分： 1 s \cfrac{1}{s} s1?
微分： s s s
低通濾波器的傳遞函式： N s + N \cfrac{N}{s+N} s+NN?

低通濾波器中的截止頻率即為 N N N，單位是 r a d / s rad/s rad/s；

4.2 串聯微分的等效形式反饋積分

串聯等效傳遞函式的關系為，兩個方框串聯等于各個方框傳遞函式的乘積；
具體如下所示；

因此低通濾波串聯微分的傳遞函式為：
s N s + N \cfrac{sN}{s+N} s+NsN?

倍訓負反饋的等效傳遞函式的關系如下所示；

這里我們可以使用負反饋積分的方式，構建等效于串聯微分的傳遞函式，最終的傳遞函式結果是相同的，具體如下圖所示；

串聯微分的形式，可能在演算法的實作上會更加直觀，但是會比較費資源；

使用負反饋積分的等效形式進行實作，則進一步減少了演算法的資源消耗，下面給出一個TI公司的PID演算法實作就是通過負反饋積分的等效形式進行實作的，

5 C語言實作

這里直接使用了TI公司的PID演算法，對于微分部分做了濾波的處理，并且使用的是負反饋積分的方式，
具體可以參考controlSUITE\libs\app_libs\motor_control\math_blocks\v4.2\pid_grando.h
PID控制器的整體框圖如下所示，我們只關心微分部分；

首先可以發現 u d u_d ud?滿足：
u d ( k ) = K d [ c 2 u i ( k ? 1 ) + c 1 e ( k ) ? c 1 e ( k ? 1 ) ] u_d(k) = K_d\Big[c_2u_i(k-1)+c_1e(k)-c_1e(k-1) \Big] ud?(k)=Kd?[c2?ui?(k?1)+c1?e(k)?c1?e(k?1)]
這里濾波器有兩個系數 c 1 c_1 c1?和 c 2 c_2 c2?，它們必須滿足截止頻率 a a a（單位Hz）和采樣周期 T T T（單位秒）以下的關系：
{ c 1 = a c 2 = 1 ? c 1 T \begin{cases}c_1 = a\\ c_2 = 1-c_1T \end{cases} {c1?=ac2?=1?c1?T?

C語言實作如下：

/* =================================================================================
File name:       PID_GRANDO.H 
===================================================================================*/


#ifndef __PID_H__
#define __PID_H__

typedef struct {  _iq  Ref;   			// Input: reference set-point
				  _iq  Fbk;   			// Input: feedback
				  _iq  Out;   			// Output: controller output 
				  _iq  c1;   			// Internal: derivative filter coefficient 1
				  _iq  c2;   			// Internal: derivative filter coefficient 2
				} PID_TERMINALS;
				// note: c1 & c2 placed here to keep structure size under 8 words

typedef struct {  _iq  Kr;				// Parameter: reference set-point weighting 
				  _iq  Kp;				// Parameter: proportional loop gain
				  _iq  Ki;			    // Parameter: integral gain
				  _iq  Kd; 		        // Parameter: derivative gain
				  _iq  Km; 		        // Parameter: derivative weighting
				  _iq  Umax;			// Parameter: upper saturation limit
				  _iq  Umin;			// Parameter: lower saturation limit
				} PID_PARAMETERS;

typedef struct {  _iq  up;				// Data: proportional term
				  _iq  ui;				// Data: integral term
				  _iq  ud;				// Data: derivative term
				  _iq  v1;				// Data: pre-saturated controller output
				  _iq  i1;				// Data: integrator storage: ui(k-1)
				  _iq  d1;				// Data: differentiator storage: ud(k-1)
				  _iq  d2;				// Data: differentiator storage: d2(k-1) 
				  _iq  w1;				// Data: saturation record: [u(k-1) - v(k-1)]
				} PID_DATA;


typedef struct {  PID_TERMINALS	term;
				  PID_PARAMETERS param;
				  PID_DATA		data;
				} PID_CONTROLLER;

/*-----------------------------------------------------------------------------
Default initalisation values for the PID objects
-----------------------------------------------------------------------------*/                     

#define PID_TERM_DEFAULTS {				\
						   0, 			\
                           0, 			\
                           0, 			\
                           0, 			\
						   0 			\
              			  }

#define PID_PARAM_DEFAULTS {			\
                           _IQ(1.0),	\
                           _IQ(1.0), 	\
                           _IQ(0.0),	\
                           _IQ(0.0),	\
                           _IQ(1.0),	\
                           _IQ(1.0),	\
                           _IQ(-1.0) 	\
              			  }

#define PID_DATA_DEFAULTS {			    \
                           _IQ(0.0),	\
                           _IQ(0.0), 	\
                           _IQ(0.0),	\
                           _IQ(0.0),	\
                           _IQ(0.0), 	\
                           _IQ(0.0),	\
                           _IQ(0.0),	\
                           _IQ(1.0) 	\
              			  }


/*------------------------------------------------------------------------------
 	PID Macro Definition
------------------------------------------------------------------------------*/

#define PID_MACRO(v)										\
															\
/* proportional term */ 									\
v.data.up = _IQmpy(v.param.Kr, v.term.Ref) - v.term.Fbk;	\
															\
/* integral term */ 										\
v.data.ui = _IQmpy(v.param.Ki, _IQmpy(v.data.w1, 			\
(v.term.Ref - v.term.Fbk))) + v.data.i1;					\
v.data.i1 = v.data.ui;										\
															\
/* derivative term */ 										\
v.data.d2 = _IQmpy(v.param.Kd, _IQmpy(v.term.c1, 			\
(_IQmpy(v.term.Ref, v.param.Km) - v.term.Fbk))) - v.data.d2;\
v.data.ud = v.data.d2 + v.data.d1;							\
v.data.d1 = _IQmpy(v.data.ud, v.term.c2);					\
															\
/* control output */ 										\
v.data.v1 = _IQmpy(v.param.Kp, 								\
(v.data.up + v.data.ui + v.data.ud));						\
v.term.Out= _IQsat(v.data.v1, v.param.Umax, v.param.Umin);	\
v.data.w1 = (v.term.Out == v.data.v1) ? _IQ(1.0) : _IQ(0.0);\
	
#endif // __PID_H__

6 參考

https://en.wikipedia.org/wiki/Low-pass_filter
自動控制原理第五版胡壽松 P47

雖然寫的不一定是最好，但是每一個字、每一個公式都是用心碼的，每一張圖都是用心畫的，每一句話都是加入了自己的理解，如果幫到了你，請無情三連吧；另外筆者能力有限，文中難免存在錯誤和紕漏，望輕拍指正，

小麥大叔

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