通信的目的是要把對方不知道的訊息即時可靠地(有時還要秘密地)傳送給對方，當信道中存在干擾，可能使發送的訊息出錯，數字通信中，通常使用糾錯碼技術來進行差錯控制，這樣可以提高資料傳輸的可靠性，
BCH碼就是一種應用廣泛的能糾正多重錯誤的分組碼，具有極佳的糾錯性能，本文對BCH碼的原理進行深入分析，介紹BCH的編解碼原理，重點介紹了BCH編碼解碼的計算方法以及BCH編碼的性能分析，最后，本文采用MATLAB撰寫相應的BCH編解碼代碼進行仿真和誤碼率分析，并在Simulink中搭建BCH模塊進行誤碼率統計分析，本文所作的研究成果具有一定的科研價值，為BCH的進一步研究或在硬體系統上的實作提供了良好的理論基礎，
1.1 本課題研究背景
數字信號在傳輸系統中傳輸時，不可避免受到各種因素的干擾，使到達接收端的數字信號中混有噪聲，從而引發錯誤判決，為了抗擊干擾，必然要利用糾錯碼的差錯控制技術，
糾錯碼的分類有以下幾種：
·按照對資訊序列處理方式的不同，分為分組碼與卷積碼兩大類，在分組碼中按照碼的結構特點，又可分為回圈碼和非回圈碼，
·根據資訊位與校驗位之間的關系分為線性碼與非線性碼，
·按照適用的差錯型別，分成糾隨機差錯碼和糾突發差錯碼兩種，也有介于中間的糾隨機/突發差錯碼，
·按構碼理論，有代數、幾何、算術、組合碼等，
除了上述分類外，有多少觀察問題的角度，就有多少分類方法，比如，按每個碼元的取值，可以分為二進制碼與多進制碼;按碼字之間的關系，有回圈碼和非回圈碼之分;不同的分類方法只是從不同的角度抓住碼的某一特性加以歸類而己，并不能說明某個碼的為全部特性，比如某線性碼可能同時又是分組碼，回圈碼，糾突發差錯碼，代數碼，二進碼，
1.2 線性分組碼和回圈碼
線性分組碼是分組碼中最重要的一類碼，用(n，k)表示，其中n表示碼長，k表示資訊位數目，n-k=r表示校驗位數目，二進制(n，k)線性分組碼可以定義為GF(2)域上的n維線性空間Vn中的一個k維子空間，
在線性分組碼中有三個重要引數，分別為碼率、碼的漢明距離和漢明重量，碼率R=k/n，它說明了分組碼傳輸資訊的有效性，碼的漢明距離指兩個碼字對應位上碼元不同的個數，簡稱距離，漢明重量指碼字中非零碼元的個數，簡稱重量，在(n，k)線性分組碼中，將任兩個碼字距離的最小值稱為最小距離d0，由于線性分組碼是群碼，由群碼的封閉性可知，若碼字C1，C2均是(n，k)碼的碼字，則C1+C2也必是該分組碼的另一碼字，可見(n，k)線性分組碼的最小距離等于非零碼字的最小重量，最小距離d，直接在理論上決定了該碼的檢錯和糾錯能力，
回圈碼是線性分組碼中最重要的一個子類，它的代數結構比較清晰，編譯碼相對于其它碼來講簡單且易于實作，因此回圈碼在差錯控制系統中得到廣泛的應用，BCH碼就是回圈碼中很重要的一類碼，
在GF(2)上的n維線性空間氣中，若是的一個k維子空間，對任何，有，則是回圈碼，
由編碼理論推匯出的回圈碼糾錯能力只是一個理論值，在現實中能否達到這個理論值還與所用的譯碼方法有關，一個好的譯碼方法，不僅應使糾錯能力能夠達到理論極限，而且應能高速度、低成本地實作，因為速度和成本有時會成為某種碼能否實用的決定性因素，
譯碼電路通常要比編碼電路復雜得多，因此我們說，理論的復雜性常體現在編碼上，而工程的復雜性常體現在譯碼上，從對輸入信號的量化程度，譯碼可分為硬判決譯碼(BSC信道)和軟判決譯碼(DMC信道)，
軟判決由于采用了大于2的量化級數，能更充分地利用接收信號包含的資訊，與硬判決相比，在AWGN信道、10-2-10幣誤碼率范圍時可有2dB的編碼增益，因此代表了譯碼的發展方向，從差錯控制方式，譯碼可分為糾錯和檢錯兩種，糾錯譯碼器總有輸出，但有兩種可能：一是收碼的差錯數量在糾錯能力之內，譯碼器認定的正確真的是正確，二是差錯數量超出糾錯能力，譯碼器認定的正確其實是錯的，由于難以判斷差錯數量是否超出糾錯能力，糾錯譯碼器不能保證輸出資料完全可靠，所以糾錯譯碼器常用于數字語音、影像、視頻信號的前向糾錯(FEC)中，
1.3 BCH編碼的研究和應用
BCH碼于1959年由霍昆格姆、1960年由博和雷-查德胡里三人分別提出，并以這三個發現者的名字命名，BCH碼是迄今為止所發現的一類很好的線性糾錯碼類，它的糾錯能力很強，特別在中等和短碼長條件下，BCH碼的性能接近理論上的最佳值，并且構造方便，編碼簡單，特別是它具有嚴密的代數結構，在代數編碼理論中起著重要作用，BCH碼是迄今為止研究得最為詳盡、了解得最為透徹、取得成果最多的一類線性分組碼，
1960年彼得遜從理論上解決了二進制BCH碼的譯碼演算法，奠定了BCH碼譯碼的理論基礎，稍后，格林斯坦和齊勒爾把它推廣到多進制，1966年伯利坎普利用迭代演算法譯BCH碼，從而大大加快了譯碼速度，從實際上解決了BCH碼的譯碼問題，由于BCH碼性能優良，結構簡單，編譯碼設備也不太復雜，使得它在實際使用中受到工程技術人員的歡迎，是目前用得最廣泛的碼類之一，
在英國模擬移動通信系統中，基站采用了具有糾正2位隨機錯誤能力的BCH(40，28)碼，移動臺采用了可糾正2位隨機錯誤的BCH(48，36)碼；在我國無線尋呼系統中，采用了BCH(31，21)碼加一位奇偶校驗位作為FEC方式；在視頻編碼協議H.261、H.263中采用了BCH(511，493)碼進行視頻糾錯，
第三章 BCH碼理論簡介
3.1 BCH碼簡介
BCH碼是回圈碼的一個重要子類，它具有糾多個錯誤的能力，BCH碼有嚴密的代數理論，是目前研究最透徹的一類碼，它的生成多項式與最小碼距之間有密切的關系，人們可以根據所要求的糾錯能力t很容易構造出BCH碼，它們的譯碼器也容易實作，是線性分組碼中應用最普遍的一類碼，
3.1.1伽羅華域
編碼原理中最基本、最重要的域是二元伽羅華域GF(2)及二元擴域GF(2m)，有限正數集合F={0,1,2,3,…,q-1}(q是素數)在模q加、模q乘運算下構成一個q階有限域，又稱伽羅華(Galois)域,記為GF(q)，當q=2時，就是二元域GF(2)，
在有限域中定義的運算滿足閉合性，即有限域GF(q)上任意兩個元素A、B對運算⊙滿足：A⊙B∈GF(q)，
如果p是素數，m是正整數，GF(2m)的最小子域是GF(p)，p稱為GF(2m)的特征，在特征為2的伽羅華域中，任一域元素B有-B=B，
設B為GF(q)上的任一元素，則B=Bq，
每個伽羅華域GF(q)至少包含有一個本原元素α，且GF(q)上除零以外的其它任意域元素均可表示為本原元素的乘冪，
任一有限域均可由一本原多項式來構成，有限域的任一多項式對本原多項式求模，可得到一個次數低于本原多項式次數的多項式，即有限域的元素，
·加法運算
域元素的加法運算，即根據域元素表格，轉換成對應的m-1次多項式系數（m重矢量），兩個域元素相加等效于兩個m-1次多項式的同次項系數模2相加，即異或運算，
·乘法運算
乘法有三種實作途徑：
第一就是把域元素對應的多項式系數直接移位，比如a×b，只要找到b對應的冪次，假設是x，將a左移x次，每次左移之前判斷移位前的值高位是否為1，如果是1，移位后與本原多項式除高次冪后的多項式相加；
第二種方法就是從b的高位開始，如果b7＝1，將a左移7次，如果b6＝1，將前面左移結果再左移6次，
第三種方法是直接把域元素的指數相加求模2m-1，這里采用第三種方法，
·求模運算
因為2^m-1轉換成二進制數永遠是全1，所以根據這個特點，可以用下面的方法求模，把二進制形式的數從低位起每m位元分割，高位不滿m位元用0補齊，然后高位段每出現一個1，就把高位減去1，然后把低位加1，這樣回圈操作直到高位段變成全0，
3.3 BCH譯碼理論介紹
BCH碼的譯碼可以分為時域譯碼和頻域譯碼兩種，
頻域譯碼是把碼字看作一個時域數字序列，對其進行有限域的離散傅氏變換(DFT)將它變換到頻域，然后利用其頻域特點譯碼，這樣通過對頻域伴隨式的運算解出指示差錯位置的關鍵方程，再通過離散傅氏反變化還原成時域的糾錯信號，
時域譯碼是把碼字看作時間軸上的信號序列，利用碼的代數結構進行譯碼，由于取有限域離散傅氏變換增加了復雜度，頻域譯碼的實作一般較時域譯碼復雜，因此采用快速傅氏變換(FFT)的頻域譯碼只在某些特殊情況下對特定碼長(比如n等于2的冪次)的譯碼優于時域譯碼，而在一般情況下應用最廣泛的是時域譯碼，其中BCH譯碼器的基本結構如下所示：
圖3-1 BCH譯碼器基本結構框圖
通常，我們在MATLAB中設計演算法分三個步驟：
·STEP1：由接收到的R(x)計算出伴隨式S；
·STEP2：由伴隨式得出錯誤圖樣E(x)；
·STEP3：由R(x)-E(x)得到估值碼字c(x)，
5.2 BCH編碼的系統仿真
我們根據前面的理論分析，撰寫MATLAB代碼，這里，我們根據要求，進行(511,493)(4095,4035)兩種引數的BCH編碼，其MATLAB編碼函式如下所示：
function code=bchencoder(data,genpoly,n,k);
bb=zeros(1,n-k);
for i=k:-1:1
feedback = xor(data(i), bb(n-k));
if feedback~=0
for j=n-k:-1:2
if genpoly(n-k-j+2)~=0
bb(j)=xor(bb(j-1),feedback);
else
bb(j)=bb(j-1);
end
end
bb(1)=feedback;
else
for j=n-k:-1:2
bb(j)=bb(j-1);
end
bb(1)=feedback;
end
end
code=[bb,data];
我們在頂層對其進行呼叫，呼叫程序如下代碼：
for j=1:nwords
encoded_data((j-1)*n+1:(j-1)*n+n)=bchencoder(message((j-1)*k+1:(j-1)*k+k),genpoly,n,k);
end
輸入資訊為：
………… 1 1 0 1 1 0 0 1 1 1 …………………………
通過BCH編碼之后，得到BCH編碼資訊：
………… 1 1 0 0 0 1 0 0 1 0 …………………………
5.3 BCH譯碼的系統仿真
本系統譯碼我們將采用應用十分普遍的‘錢搜索’法進行譯碼，前面我們已經簡單的介紹了該演算法， 其MATLAB代碼實作程序如下所示：
lambda_v = zero;
accu_tb=gf(ones(1, t+1), m);
for i=1:n,
lambda_v=lambda*accu_tb';
accu_tb = accu_tb.*inverse_tb;
if(lambda_v==zero)
error(1,n-i+1)=1;
else
error(1,n-i+1)=0;
end
end
found = find(error(1,:)~=0);
for i=1:length(found)
location=found(i);
if location <= k;
rec_data(n-location+1)=rec_data(n-location+1)+one;
end
end
decoded_data((j-1)*k+1:(j-1)*k+k)=rec_data(n-k+1:n);
我們將編碼之后得到的信號輸入BCH譯碼部分，輸出結果：
………… 1 1 0 1 1 0 0 1 1 1 …………………………
5.2.4 不同引數的BCH編解碼性能分析
本章我們將重點對幾種不同引數的BCH碼進行了仿真，系統信噪比的分析我們主要采用：‘semilogy’進行仿真，我們分別對(511,493)(4095,4035)進行仿真，然后不改變n，k兩個引數，改變其糾錯能力進行仿真，從而判斷BCH編解碼的性能，
圖5-1 n=511,k=493，t=11條件下信噪比
圖5-2 n=4095,k=4035，t=11條件下信噪比
圖5-3 BCH編碼和不編碼的性能對比（綠色為未通過編碼）
從仿真結果可以看出,對于糾錯能力相同的BCH碼，碼字長度短的相對碼字長度長的性能好，且平均仿真一個碼字所耗費的時間少，分析原因，是因為在相同的信道條件下，每個碼元出現錯誤的概率是相同的，對于碼字長度長的BCH碼，平均每個碼字中出現錯誤的碼元個數多，所以對于糾錯能力相同的BCH碼，碼字長度長的性能差，
以上我們詳細介紹了MATLAB的BCH編解碼和信噪比分析，下面我們將在Siumlink中進行BCH實際仿真，在本系統，我們將基于BPSK進行仿真分析，
不加BCH的BPSK系統如下所示：
圖5-4 BPSK仿真系統
其仿真結果如下所示：
加入BCH編解碼，其系統如下所示：
圖5-5 BCH仿真系統
其仿真結果如下所示：
由上圖可見，加上BCH編解碼后，新能得到大大改善，
·編碼和譯碼
clc;
clear;
close all;
m=9;%輸入引數6
k=493;%輸入引數4
snr=1;
n=2^m-1;
period=1000;
nwords = ceil(1000/k);
[genpoly,t] = bchgenpoly(n,k);
simplified = 1;
alpha = gf(2, m);
zero = gf(0, m);
one = gf(1, m);
message=randint(1,nwords*k);
message1=gf(message);
decoded_data=gf(zeros(1,nwords*k));
alpha_tb=gf(zeros(1, 2*t), m);
for i=1:2*t,
alpha_tb(i)=alpha^(2*t-i+1);
end;
%BCH編碼
for j=1:nwords
encoded_data((j-1)*n+1:(j-1)*n+n)=bchencoder(message((j-1)*k+1:(j-1)*k+k),genpoly,n,k);%由高位到低位
end
%添加噪聲
sigma=sqrt(1/(10^(snr/10))/2);
datalength=length(encoded_data);
snum=ceil(datalength/period);
for(i=1:snum-1)
data2((i-1)*period+1:(i-1)*period+period)=encoded_data((i-1)*period+1:(i-1)*period+period)+sigma*randn(1,period);
end
data2((snum-1)*period+1:datalength)=encoded_data((snum-1)*period+1:datalength)+sigma*randn(1,length(encoded_data((snum-1)*period+1:datalength)));
rec_data2=zeros(1,nwords*n);
for i=1:nwords*n
if abs(encoded_data(i)-data2(i))>0.5
rec_data2(i)=xor(encoded_data(i),1);
else
rec_data2(i)=encoded_data(i);
end
end
rec_data2=gf(rec_data2,m);
%BCH譯碼
for j=1:nwords
rec_data=rec_data2((j-1)*n+1:(j-1)*n+n);
syndrome=gf(zeros(1, 2*t), m);
for i=1:n,
syndrome=syndrome.*alpha_tb+rec_data(n-i+1);
end;
lambda = gf([1, zeros(1, t)], m);
lambda0= lambda;
b=gf([0, 1, zeros(1, t)], m);
b2 = gf([0, 0, 1, zeros(1, t)], m);
k1=0;
gamma = one;
delta = zero;
syndrome_array = gf(zeros(1, t+1), m);
if(simplified == 1)
for r=1:t,
r1 = 2*t-2*r+2;
r2 = min(r1+t, 2*t);
num = r2-r1+1;
syndrome_array(1: num) = syndrome(r1:r2);
delta = syndrome_array*lambda';
lambda0 = lambda;
lambda = gamma*lambda-delta*b2(2:t+2);
if((delta~= zero) && (k1>=0))
b2(3)=zero;
b2(4:3+t) = lambda0(1:t);
gamma = delta;
k1 = -k1;
else
b2(3:3+t) = b2(1:t+1);
gamma = gamma;
k1=k1+2;
end
joke=1;
end
else
for r=1:2*t,
r1 = 2*t-r+1;
r2 = min(r1+t, 2*t);
num = r2-r1+1;
syndrome_array(1:num) = syndrome(r1:r2);
delta = syndrome_array*lambda';
lambda0 = lambda;
lambda = gamma*lambda-delta*b(1:t+1);
if((delta ~= zero) && (k1>=0))
b(2:2+t)=lambda0;
gamma = delta;
k1=-k1-1;
else
b(2:2+t) = b(1:t+1);
gamma = gamma;
k1=k1+1;
end
joke=1;
end
end
inverse_tb = gf(zeros(1, t+1), m);
for i=1:t+1,
inverse_tb(i) = alpha^(-i+1);
end;
%錢搜索法
lambda_v = zero;
accu_tb=gf(ones(1, t+1), m);
for i=1:n,
lambda_v=lambda*accu_tb';
accu_tb = accu_tb.*inverse_tb;
if(lambda_v==zero)
error(1,n-i+1)=1;
else
error(1,n-i+1)=0;
end
end
found = find(error(1,:)~=0);
for i=1:length(found)
location=found(i);
if location <= k;
rec_data(n-location+1)=rec_data(n-location+1)+one;
end
end
decoded_data((j-1)*k+1:(j-1)*k+k)=rec_data(n-k+1:n);
end
·信噪比仿真
clc;
clear all;
close all;
%引數設定%(511,493)(4095.4035)
givenSNR=0.5:0.5:9.5; %]
% N=511;
% K=493;
N=4095;
K=4035;
T=11;
times=length(givenSNR);
%計算幾個值
r=K/N;
Eb_N0=10.^(givenSNR./10);
sigma=(1./(2*r.*Eb_N0).^0.5);
message=randint(times,K,[0,1]);
msg=gf(message);
BCHcode_gf=bchenc(msg,N,K);
%BCH編碼
BCHcode_double=-1*ones(times,N);
for code_i=1:times
for code_j=1:N
if BCHcode_gf(code_i,code_j)==1
BCHcode_double(code_i,code_j)=1;
end
end
end
%添加噪聲
for noise_i=1:length(sigma)
BCH_receive(:,:,noise_i)=BCHcode_double+sigma(noise_i)*randn(times,N);
end
for noise_i=1:length(sigma)
for hard_i=1:times
for hard_j=1:N
if BCH_receive(hard_i,hard_j,noise_i)>0
hard_coded(hard_i,hard_j,noise_i)=1;
end
end
end
end
%BCH解碼
BCHdecode=gf(zeros(times,K,length(sigma)));
for noise_i=1:length(sigma)
hard_BCH=hard_coded(:,:,noise_i);
[BCHdecode_i,error_num]=bchdec(gf(hard_BCH),N, K);
BCHdecode(:,:,noise_i)=BCHdecode_i;
end
BCHdecode_double=zeros(times,K);
for noise_i=1:length(sigma)
for gf_to_double_i=1:times
for gf_to_double_j=1:K
if BCHdecode(gf_to_double_i,gf_to_double_j,noise_i)==1
BCHdecode_double(gf_to_double_i,gf_to_double_j,noise_i)=1;
end
end
end
end
for noise_i=1:length(sigma)
error_BCHcoded_num(noise_i)=sum(sum((abs(BCHdecode_double(:,:,noise_i)-message))));
end
coded_error_rate=error_BCHcoded_num/times/K
semilogy(givenSNR,coded_error_rate,'-*');
ylabel('BER');
xlabel('Eb/N0');
grid on;
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