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李航老師《統計學習方法》第二版第十章課后題答案

2020-10-14 13:51:23 後端開發

10.1使用后向演算法計算 P ( O ∣ λ ) P(O|\lambda) P(O∣λ)

課后題10.1
解：
話不多說，上代碼，自己寫的，通用版，看到網上有多個不同版本的答案，還都是手算的，很佩服這些大佬的耐心，那么多的小數，一點點的算，第一個函式Bw_Recurrent(A,B,start_p,list_observation)為后向演算法，名字里面的Bw表示BackWards

# -*- coding: utf-8 -*-
import numpy as np

def Bw_Recurrent(A,B,start_p,list_observation):
    '''
    Parameters
    ----------
    A : np.float32 matrix
        是隱馬模型的狀態轉移矩陣.
    B : np.float32 matrix
        觀測概率矩陣.
    start_p : np.float32 matrix
        初始狀態概率分布.
    list_observation:list
        用于計算特定序列的概率
        
    Returns
    -------
    float32 .
    是P(O|lamda)

    '''
    #后向的遞回計算需要初始化一個全一的大小為N*1的矩陣
    N=np.shape(A)[0]
    p=np.ones((N,1),dtype=np.float32)
    
    T=len(list_observation)#觀測序列的長度
    for i in range(T-1):
        #將觀測矩陣里面的第list_observation[T-i-1]列取出來
        v=np.transpose(np.array([B[:,list_observation[T-i-1]]],dtype=np.float32))
        p=np.matmul(A,v*p)#這行代碼既有矩陣乘法，也有矩陣點乘
        
    o1=np.transpose(np.array([B[:,list_observation[0]]],dtype=np.float32))
    return np.sum(start_p*o1*p)#注意里面的矩陣乘法是點乘操作，也就是將對應位置的元素相乘

def Fw_Recurrent(A,B,start_p,list_observation):
    """
    Parameters
    ----------
    A : np.float32 matrix
        是隱馬模型的狀態轉移矩陣.
    B : np.float32 matrix
        觀測概率矩陣.
    start_p : np.float32 matrix
        初始狀態概率分布.
    list_observation:list
        用于計算特定序列的概率
    Returns
    -------
    float32 .
    是P(O|lamda)
    """
    o1=np.transpose(np.array([B[:,list_observation[0]]],dtype=np.float32))
    p=start_p*o1
    T=len(list_observation)#觀測序列的長度
    for i in range(T-1):
        p=np.matmul(np.transpose(A),p)*np.transpose(np.array([B[:,list_observation[i+1]]],dtype=np.float32))
        #要注意上面這行代碼里面的矩陣乘法和矩陣點乘
        print(p,'\n')
    return np.sum(p)

if __name__=='__main__':
    
    A=np.array([[0.5,0.2,0.3],
                [0.3,0.5,0.2],
                [0.2,0.3,0.5]],dtype=np.float32)
    B=np.array([[0.5,0.5],
                [0.4,0.6],
                [0.7,0.3]],dtype=np.float32)
    
    start_p=np.array([[0.2],[0.4],[0.4]],dtype=np.float32)
    list_observation=[0,1,0,1]

    s_fw=Fw_Recurrent(A,B,start_p,list_observation)  
    s_bw=Bw_Recurrent(A,B,start_p,list_observation)
    print('前向演算法的結果是： ',s_fw)
    print('后向演算法的結果是： ',s_bw)

運行結果是：

前向演算法的結果是：  0.060090814
后向演算法的結果是：  0.060090803

由上圖可以看到，這里輸出的結果有十分微小的差距，這是因為計算機的截斷誤差導致的

10.2 使用前后向演算法計算 P ( i 4 = q 3 ∣ O , λ ) P(i_{4}=q_{3}|O,\lambda ) P(i4?=q3?∣O,λ)

課后題10.2
解：
如果想要計算這個題的答案的話，還需要修改下上題的程式，李航老師書上有計算公式
P ( i t = q i ∣ O , λ ) = P ( i t = q i , O ∣ λ ) P ( O ∣ λ ) = α t ( i ) ? β t ( i ) P ( O ∣ λ ) P(i_{t}=q_{i}|O,\lambda )=\frac{P(i_{t}=q_{i},O|\lambda )}{P(O|\lambda )}=\frac{\alpha _{t}(i)*\beta _{t}(i)}{P(O|\lambda )} P(it?=qi?∣O,λ)=P(O∣λ)P(it?=qi?,O∣λ)?=P(O∣λ)αt?(i)?βt?(i)?
公式分析：上面公式的第一個等號成立使用了條件概率和聯合概率之間的計算關系----貝葉斯公式
關鍵在于如何獲取計算程序中的迭代向量，然后個別得到上面公式要求的，再按照公式計算就行了，

import numpy as np

def Bw_Recurrent(A,B,start_p,list_observation):
    '''
    Parameters
    ----------
    A : np.float32 matrix
        是隱馬模型的狀態轉移矩陣.
    B : np.float32 matrix
        觀測概率矩陣.
    start_p : np.float32 matrix
        初始狀態概率分布.
    list_observation:list
        用于計算特定序列的概率

    Returns
    -------
    float32 .
    是P(O|lamda)

    '''
    P=[]
    #后向的遞回計算需要初始化一個全一的大小為N*1的矩陣
    N=np.shape(A)[0]
    p=np.ones((N,1),dtype=np.float32)
    P.append(p)
    T=len(list_observation)#觀測序列的長度
    for i in range(T-1):
        #將觀測矩陣里面的第list_observation[T-i-1]列取出來
        v=np.transpose(np.array([B[:,list_observation[T-i-1]]],dtype=np.float32))
        p=np.matmul(A,v*p)#這行代碼既有矩陣乘法，也有矩陣點乘
        P.append(p)
        
    o1=np.transpose(np.array([B[:,list_observation[0]]],dtype=np.float32))
    return np.sum(start_p*o1*p),P#注意里面的矩陣乘法是點乘操作，也就是將對應位置的元素相乘

def Fw_Recurrent(A,B,start_p,list_observation):
    """
    Parameters
    ----------
    A : np.float32 matrix
        是隱馬模型的狀態轉移矩陣.
    B : np.float32 matrix
        觀測概率矩陣.
    start_p : np.float32 matrix
        初始狀態概率分布.
    list_observation:list
        用于計算特定序列的概率

    Returns
    -------
    float32 .
    是P(O|lamda)

    """
    P=[]
    o1=np.transpose(np.array([B[:,list_observation[0]]],dtype=np.float32))
    p=start_p*o1
    P.append(p)
    T=len(list_observation)#觀測序列的長度
    for i in range(T-1):
        p=np.matmul(np.transpose(A),p)*np.transpose(np.array([B[:,list_observation[i+1]]],dtype=np.float32))
        #要注意上面這行代碼里面的矩陣乘法和矩陣點乘
        P.append(p)
    return np.sum(p),P

if __name__=='__main__':
    
    A=np.array([[0.5,0.1,0.4],
                [0.3,0.5,0.2],
                [0.2,0.2,0.6]],dtype=np.float32)
    B=np.array([[0.5,0.5],
                [0.4,0.6],
                [0.7,0.3]],dtype=np.float32)
    
    start_p=np.array([[0.2],[0.3],[0.5]],dtype=np.float32)
    list_observation=[0,1,0,0,1,0,1,1]

    s_fw,P_fw=Fw_Recurrent(A,B,start_p,list_observation)  
    s_bw,P_bw=Bw_Recurrent(A,B,start_p,list_observation)
    print('前向演算法的結果是： ',s_fw)
    print('后向演算法的結果是： ',s_bw)
    print('result is :',P_fw[3][2]*P_bw[4][2]/s_bw)

計算結果是：

前向演算法的結果是：  0.00347671
后向演算法的結果是：  0.0034767103
result is : [0.5369518]

10.3 在習題10.1中，試用維特比(Viterbi)演算法求最優的路徑

解：
看到維特比演算法在很多地方都有應用，但是在不同的地方應用的方式是不同的，如果給了柵欄網圖，并且再給每一條邊都附上權值，我相信很多都會計算，但是，不同的應用場景中，如何計算這個權值是個關鍵，根據書上列好的演算法無論是寫程式還是計算起來都很簡單，但是，我覺得關鍵是如何做到活學活用，在不同的場景里面應用自如，好藍呀！！！
一個演算法學了差不多一個下午，但是感徑訓是差點感性認識，就這樣吧，上代碼

# -*- coding: utf-8 -*-
"""
Created on Mon Oct 12 15:52:10 2020

@author: DELL
"""


import numpy as np

def viterbi_decode(A,B,start_p,list_observation):
    '''
    Parameters
    ----------
    A : 2D matrix float
        狀態轉移矩陣.
    B : 2D matrix float
        觀測概率矩陣.
    start_p : float matrix
        初始狀態概率分布.
    observation_list : list
        觀測序列.

    Returns
    -------
    最優路徑.
    '''
    best_path=[]
    T=len(list_observation)
    #初始化
    N=A.shape[0]#狀態個數
    O1=np.transpose(np.array([B[:,list_observation[0]]],dtype=np.float32))
    delta=start_p*O1
    print(delta,'\n')
    all_psi=[]
    psi=np.zeros([N,1],dtype=np.float32)
    
    for i in range(T-1):
        psi=np.argmax(delta*A,axis=0)
        delta=np.transpose(np.array([np.max(delta*A,axis=0)]))*np.transpose(np.array([B[:,list_observation[i+1]]],dtype=np.float32))
        
        all_psi.append(psi)
        
    final_score=np.max(delta)
    best_path.append(np.argmax(delta))
    for i in range(T-1):
        best_path.insert(0,all_psi[T-2-i][best_path[0]])
        
    return final_score,best_path
    
        
        
if __name__=='__main__':
    
    A=np.array([[0.5,0.2,0.3],
                [0.3,0.5,0.2],
                [0.2,0.3,0.5]],dtype=np.float32)
    B=np.array([[0.5,0.5],
                [0.4,0.6],
                [0.7,0.3]],dtype=np.float32)
    
    start_p=np.array([[0.2],[0.4],[0.4]],dtype=np.float32)
    list_observation=[0,1,0,1]
    final_score,best_path=viterbi_decode(A,B,start_p,list_observation)
    print('最優路徑的概率是：',final_score)
    print('最優路徑為：',best_path)

運行結果是：

最優路徑的概率是： 0.0030240004
最優路徑為： [2, 1, 1, 1]

分析：因為我的狀態代碼是從0開始的，因此對應起來的正確路徑就是[3,2,2,2]
書上的例子運行結果是：

最優路徑的概率是： 0.014700001
最優路徑為： [2, 2, 2]

對應起來就是[3,3,3]

10.4、試用前向概率和后向概率推導 P ( O ∣ λ ) = ∑ i = 1 N ∑ j = 1 N α t ( i ) a i j b j ( o t + 1 ) β t + 1 ( j ) P(O|\lambda )=\sum_{i=1}^{N}\sum_{j=1}^{N}\alpha _{t}(i)a_{ij}b_{j}(o_{t+1})\beta _{t+1}(j) P(O∣λ)=i=1∑N?j=1∑N?αt?(i)aij?bj?(ot+1?)βt+1?(j)

t = 1 , 2 , . . . , T ? 1 t=1,2,...,T-1 t=1,2,...,T?1
Proof:
根據后向演算法的遞推公式計算可得： β t ( i ) = ∑ j = 1 N a i j b j ( o t + 1 ) β t + 1 ( j ) i = 1 , 2 , . . . , N (1) \beta _{t}(i)=\sum_{j=1}^{N}a_{ij}b_{j}(o_{t+1})\beta _{t+1}(j)\quad i=1,2,...,N\tag{1} βt?(i)=j=1∑N?aij?bj?(ot+1?)βt+1?(j)i=1,2,...,N(1)
又根據李航老師書上的公式可得：
P ( O ∣ λ ) = ∑ j = 1 N α t ( j ) β t ( j ) (2) P(O|\lambda )=\sum_{j=1}^{N}\alpha _{t}(j)\beta _{t}(j) \tag{2} P(O∣λ)=j=1∑N?αt?(j)βt?(j)(2)
就算不使用李航老師書上的公式，也可以很簡單的推出公式（2）
下面推導一下：
P ( O ∣ λ ) = ∑ i = 1 N ∑ j = 1 N α t ( i ) a i j b j ( o t + 1 ) β t + 1 ( j ) = ∑ i = 1 N α t ( i ) ∑ j = 1 N a i j b j ( o t + 1 ) β t + 1 ( j ) P(O|\lambda )=\sum_{i=1}^{N}\sum_{j=1}^{N}\alpha _{t}(i)a_{ij}b_{j}(o_{t+1})\beta _{t+1}(j)=\sum_{i=1}^{N}\alpha _{t}(i)\sum_{j=1}^{N}a_{ij}b_{j}(o_{t+1})\beta _{t+1}(j) P(O∣λ)=i=1∑N?j=1∑N?αt?(i)aij?bj?(ot+1?)βt+1?(j)=i=1∑N?αt?(i)j=1∑N?aij?bj?(ot+1?)βt+1?(j)
= ∑ i = 1 N α t ( i ) β t ( i ) =\sum_{i=1}^{N}\alpha _{t}(i)\beta _{t}(i) =i=1∑N?αt?(i)βt?(i)

下面給出詳細的證明，（2）式的推導需要用到聯合分布與邊際分布之間的關系，還有最重要的就是一個假設：觀測獨立性假設，也就是任意時刻的觀測值只依賴于該時刻馬爾可夫鏈的狀態值，與其他狀態和觀測值無關，下面的公式（3）成立，
P ( o t ∣ i T , o T , i T ? 1 , o T ? 1 , . . . , i 1 , o 1 ) = p ( o t ∣ i t ) (3) P(o_{t}|i_{T},o_{T},i_{T-1},o_{T-1},...,i_{1},o_{1})=p(o_{t}|i_{t})\tag{3} P(ot?∣iT?,oT?,iT?1?,oT?1?,...,i1?,o1?)=p(ot?∣it?)(3)

根據聯合分布于邊際分布之間的關系，那么就有：
P ( O ∣ λ ) = ∑ i = 1 N P ( O , i t = q i ∣ λ ) (4) P(O|\lambda )=\sum_{i=1}^{N}P(O,i_{t}=q_{i}|\lambda )\tag{4} P(O∣λ)=i=1∑N?P(O,it?=qi?∣λ)(4)
上式的意義也就是對所有的在 i t i_{t} it?時刻的狀態求和得到邊際分布 P ( O ∣ λ ) P(O|\lambda ) P(O∣λ)
再根據前向演算法后向演算法的定義，所以有：
P ( O ∣ λ ) = ∑ i = 1 N P ( O , i t = q i ∣ λ ) = ∑ i = 1 N P ( o 1 , o 2 , . . . , o t , . . . , o T , i t = q t ∣ λ ) P(O|\lambda)=\sum_{i=1}^{N}P(O,i_{t}=q_{i}|\lambda )=\sum_{i=1}^{N}P(o_{1},o_{2},...,o_{t},...,o_{T},i_{t}=q_{t}|\lambda ) P(O∣λ)=i=1∑N?P(O,it?=qi?∣λ)=i=1∑N?P(o1?,o2?,...,ot?,...,oT?,it?=qt?∣λ)
= ∑ i = 1 N P ( o 1 , o 2 , . . . , o t , i t = q t ∣ λ ) ? P ( o t + 1 , . . . , o T ∣ o 1 , o 2 , . . . , o t , i t = q t , λ ) =\sum_{i=1}^{N}P(o_{1},o_{2},...,o_{t},i_{t}=q_{t}|\lambda )*P(o_{t+1},...,o_{T}|o_{1},o_{2},...,o_{t},i_{t}=q_{t},\lambda) =i=1∑N?P(o1?,o2?,...,ot?,it?=qt?∣λ)?P(ot+1?,...,oT?∣o1?,o2?,...,ot?,it?=qt?,λ)
= ∑ i = 1 N P ( o 1 , o 2 , . . . , o t , i t = q t ∣ λ ) ? P ( o t + 1 , . . . , o T ∣ i t = q t , λ ) =\sum_{i=1}^{N}P(o_{1},o_{2},...,o_{t},i_{t}=q_{t}|\lambda )*P(o_{t+1},...,o_{T}|i_{t}=q_{t},\lambda) =i=1∑N?P(o1?,o2?,...,ot?,it?=qt?∣λ)?P(ot+1?,...,oT?∣it?=qt?,λ)
= ∑ j = 1 N α t ( j ) β t ( j ) t = 1 , 2 , . . . , T ? 1 =\sum_{j=1}^{N}\alpha _{t}(j)\beta _{t}(j) \quad t=1,2,...,T-1 =j=1∑N?αt?(j)βt?(j)t=1,2,...,T?1
得證，

獨立性的假設是一個比較強的條件，其實作實往往很復雜，這里只是簡化了條件，不然估計很多理論難以實作到實際中去，

10.5、比較維特比演算法中變數 δ \delta δ的計算和前向演算法中變數 α \alpha α的計算的主要區別

解：
維特比演算法計算的是時刻t是給定觀測序列 o 1 , o 2 , . . . , o t o_{1},o_{2},...,o_{t} o1?,o2?,...,ot?計算到目前時刻t的所有狀態取值的的概率最大值，
而前向演算法的計算卻是給定初始狀態分布，計算觀測序列的概率值，

轉載請註明出處，本文鏈接：https://www.uj5u.com/houduan/171953.html

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    今天要講的是C++中我最喜歡的一個用法——參考，也叫別名。 參考就是給一個變數名取一個變數名，方便我們間接地使用這個變數。我們可以給一個變數創建N個參考，這N + 1個變數共享了同一塊記憶體區域。(參考型別的變數會占用記憶體空間，占用的記憶體空間的大小和指標型別的大小是相同的。雖然參考是一個物件的別名，但 ......

    uj5u.com 2020-09-10 01:00:22 more
  • 【C/C++編程筆記】從頭開始學習C ++：初學者完整指南

    眾所周知，C ++的學習曲線陡峭，但是花時間學習這種語言將為您的職業帶來奇跡，并使您與其他開發人員區分開。您會更輕松地學習新語言，形成真正的解決問題的技能，并在編程的基礎上打下堅實的基礎。 C ++將幫助您養成良好的編程習慣（即清晰一致的編碼風格，在撰寫代碼時注釋代碼，并限制類內部的可見性），并且由 ......

    uj5u.com 2020-09-10 01:00:41 more
最新发布
  • Rust中的智能指標:Box<T> Rc<T> Arc<T> Cell<T> RefCell<T> Weak

    Rust中的智能指標是什么 智能指標（smart pointers）是一類資料結構，是擁有資料所有權和額外功能的指標。是指標的進一步發展 指標（pointer）是一個包含記憶體地址的變數的通用概念。這個地址參考，或 ” 指向”（points at）一些其 他資料 。參考以 & 符號為標志并借用了他們所 ......

    uj5u.com 2023-04-20 07:24:10 more
  • Java的值傳遞和參考傳遞

    值傳遞不會改變本身，參考傳遞（如果傳遞的值需要實體化到堆里）如果發生修改了會改變本身。 1.基本資料型別都是值傳遞 package com.example.basic; public class Test { public static void main(String[] args) { int ......

    uj5u.com 2023-04-20 07:24:04 more
  • [2]SpinalHDL教程——Scala簡單入門

    第一個 Scala 程式 shell里面輸入 $ scala scala> 1 + 1 res0: Int = 2 scala> println("Hello World!") Hello World! 檔案形式 object HelloWorld { /* 這是我的第一個 Scala 程式 * 以 ......

    uj5u.com 2023-04-20 07:23:58 more
  • 理解函式指標和回呼函式

    理解 函式指標 指向函式的指標。比如： 理解函式指標的偽代碼 void (*p)(int type, char *data); // 定義一個函式指標p void func(int type, char *data); // 宣告一個函式func p = func; // 將指標p指向函式func ......

    uj5u.com 2023-04-20 07:23:52 more
  • Django筆記二十五之資料庫函式之日期函式

    本文首發于公眾號：Hunter后端 原文鏈接：Django筆記二十五之資料庫函式之日期函式 日期函式主要介紹兩個大類，Extract() 和 Trunc() Extract() 函式作用是提取日期，比如我們可以提取一個日期欄位的年份，月份，日等資料 Trunc() 的作用則是截取，比如 2022-0 ......

    uj5u.com 2023-04-20 07:23:45 more
  • 一天吃透JVM面試八股文

    什么是JVM？ JVM，全稱Java Virtual Machine（Java虛擬機），是通過在實際的計算機上仿真模擬各種計算機功能來實作的。由一套位元組碼指令集、一組暫存器、一個堆疊、一個垃圾回收堆和一個存盤方法域等組成。JVM屏蔽了與作業系統平臺相關的資訊，使得Java程式只需要生成在Java虛擬機 ......

    uj5u.com 2023-04-20 07:23:31 more
  • 使用Java接入小程式訂閱訊息！

    更新完微信服務號的模板訊息之后，我又趕緊把微信小程式的訂閱訊息給實作了！之前我一直以為微信小程式也是要企業才能申請，沒想到小程式個人就能申請。 訊息推送平臺🔥推送下發【郵件】【短信】【微信服務號】【微信小程式】【企業微信】【釘釘】等訊息型別。 https://gitee.com/zhongfuch ......

    uj5u.com 2023-04-20 07:22:59 more
  • java -- 緩沖流、轉換流、序列化流

    緩沖流 緩沖流, 也叫高效流, 按照資料型別分類： 位元組緩沖流：BufferedInputStream，BufferedOutputStream 字符緩沖流：BufferedReader，BufferedWriter 緩沖流的基本原理，是在創建流物件時，會創建一個內置的默認大小的緩沖區陣列，通過緩沖 ......

    uj5u.com 2023-04-20 07:22:49 more
  • Java-SpringBoot-Range請求頭設定實作視頻分段傳輸

    老實說，人太懶了，現在基本都不喜歡寫筆記了，但是網上有關Range請求頭的文章都太水了 下面是抄的一段StackOverflow的代碼...自己大修改過的，寫的注釋挺全的，應該直接看得懂，就不解釋了 寫的不好...只是希望能給視頻網站開發的新手一點點幫助吧. 業務場景：視頻分段傳輸、視頻多段傳輸（理 ......

    uj5u.com 2023-04-20 07:22:42 more
  • Windows 10開發教程_編程入門自學教程_菜鳥教程-免費教程分享

    教程簡介 Windows 10開發入門教程 - 從簡單的步驟了解Windows 10開發，從基本到高級概念，包括簡介，UWP，第一個應用程式，商店，XAML控制元件，資料系結，XAML性能，自適應設計，自適應UI，自適應代碼，檔案管理，SQLite資料庫，應用程式到應用程式通信，應用程式本地化，應用程式 ......

    uj5u.com 2023-04-20 07:22:35 more

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