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哈工大資料結構實驗三——圖形結構及其應用

2020-11-07 00:06:41 後端開發

資料結構實驗三目錄

  • 0.實驗要求
  • 1.實驗思路
    • 1.1實作圖的存盤
      • 1.1.1 圖的鄰接矩陣存盤
      • 1.1.2 使用圖的鄰接矩陣建立一個圖
      • 1.1.3 圖的鄰接表存盤
      • 1.1.4 使用圖的鄰接表建立一個圖
    • 1.2. 圖的鄰接矩陣和圖的鄰接表兩種存盤結構的轉換
      • 1.2.1 圖的鄰接矩陣轉向圖的鄰接表
      • 1.2.2 圖的鄰接表轉向圖的鄰接矩陣
    • 1.3 圖的深度優先遍歷
      • 1.3.1 鄰接矩陣表示的圖的深度優先遍歷
        • 1.3.1.1 遞回
        • 1.3.1.2 非遞回
      • 1.3.2 鄰接表表示的圖的深度優先遍歷
        • 1.3.2.1 遞回
        • 1.3.2.2 非遞回
    • 1.4圖的廣度優先遍歷
      • 1.4.1 鄰接矩陣表示的圖的廣度優先遍歷
      • 1.4.2鄰接表表示的圖的廣度優先遍歷
    • 1.5主程式
    • 1.6結果分析

0.實驗要求

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1.實驗思路

1.1實作圖的存盤

1.1.1 圖的鄰接矩陣存盤

圖的鄰接矩陣存盤就是，把圖看成是一個二維矩陣，矩陣A[i][j]的值就表示節點i和節點j之間的邊的權重，如果頂點i和頂點j之間沒有邊，則設定A[i][j] = 正無窮大，
因此，用鄰接矩陣的形式存盤圖的結構，我們需要以下三個資訊

  1. 鄰接矩陣
  2. 所有的頂點的資訊
  3. 圖的頂點個數和邊的個數
#include<iostream>
#include<fstream>
#include<queue>
#include<stack>
#define max 100
typedef int data;//權重的資料型別 
using namespace std;
bool visited[max];
int dfn[max];//頂點的先深編號 
int count=1;
//鄰接矩陣的存盤結構 
typedef struct{
 int vertex[max];//鄰接矩陣的頂點陣列
 data edge[max][max];//鄰接矩陣的邊值 
 int n,e;//鄰接矩陣的頂點和邊的個數 
}mygraph;

看一個實體，假設邊的權重為1表示兩個頂點之間有邊，邊的權重為0表示兩個頂點之間沒有邊，

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1.1.2 使用圖的鄰接矩陣建立一個圖

  1. 指定圖的頂點的個數和邊的個數
  2. 初始化鄰接表和鄰接矩陣
  3. 根據給定的頂點和頂點的權重改變鄰接矩陣的值， 注意:對于無向圖來說，鄰接矩陣是對稱的，所以如果頂點i , j之間權重為k,則A[i][j] = A[j][i] = k
void CreateGraph(mygraph *G){// 創建鄰接矩陣 
 int i,j,k,w;
    cout<<"輸入頂點個數和邊的個數"<<endl;
    cin>>G->n>>G->e;//輸入頂點個數和邊的個數；
    for(i=0;i<G->n;i++){
      G->vertex[i]=i;
   } 
   for(i=0;i<G->n ;i++)
     for(j=0;j<G->n ;j++)
         G->edge[i][j]=0;//初始化鄰接矩陣 
   for(k=0;k<G->e;k++){
     cout<<"輸入邊(i,j)和權重w"<<endl;
     cin>>i>>j>>w;
     G->edge[i][j]=w;//輸入邊(i,j)和權重w 
     G->edge[j][i]=w;
 }
}
void wenjianCreateGraph(mygraph *G){// 從檔案創建鄰接矩陣 
    fstream in;
    in.open("tu1.txt");
    int i,j,k,w;
    in>>G->n>>G->e;//輸入頂點個數和邊的個數；
    for(i=0;i<G->n;i++){
      G->vertex[i]=i;
   } 
   for(i=0;i<G->n ;i++)
     for(j=0;j<G->n ;j++)
       G->edge[i][j]=0;//初始化鄰接矩陣 
   for(k=0;k<G->e;k++){
     in>>i>>j>>w;
     G->edge[i][j]=w;//輸入邊(i,j)和權重w 
     G->edge[j][i]=w;
   }
   in.close();
}

演算法時間復雜度：O（n^2+n+2e ）//n個頂點初始化，n^2個邊的初始化，輸入無向圖的2e條邊
演算法空間復雜度：O（n^2+n ）//存盤n個頂點及n^2個邊值資訊

void shuchugraph(mygraph *t){//列印鄰接矩陣的資訊 
   for(int i=0;i<t->n ;i++){
      cout<<"\t"<<i; 
  }
  cout<<endl;
  for(int i=0;i<t->n ;i++){
      cout<<i<<"\t";
    for(int j=0;j<t->n ;j++){
       if(t->edge[i][j]==0){
         cout<<"∞\t";
       }
       else
         cout<<t->edge[i][j]<<"\t";
    }
    cout<<endl;
 }
}

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1.1.3 圖的鄰接表存盤

圖的鄰接表存盤，就是對于每個頂點v來說，和這個頂點v相連的所有鄰接點構成一個線性表，

我們需要把頂點分成兩類，一類是主頂點，一類是和頂點鏈接的邊頂點，

對于每個主頂點，我們需要存盤以下資訊:

  1. 有一個指標域，指向的是和頂點v鄰接的第一個頂點，
  2. 頂點的下標，指明了頂點的編號
  3. 一個標記布爾型別的值，標記這個頂點是否被訪問過(用于圖的遍歷)
typedef struct {//頂點表節點 
   int dingdian;//頂點表節點
   bool zouguo;//標記節點是否被訪問過 
   Edgenode *firstedge;//邊鏈表頭指標 
}Vertex;

對于每一個邊頂點，我們需要存盤以下資訊，

  1. 頂點下標
  2. 和主頂點鄰接的邊的權重
  3. 指向下一邊表節點的指標
typedef struct node{//邊表節點 
  int xiabiao;//頂點下標
  data cost;/和主頂點鄰接的邊的權重
  struct node *next;//指向下一邊表節點的指標 
}Edgenode;

那么整個圖就可以用一個主頂點陣列來表示，同時需要指明圖的邊的個數和頂點的個數，

typedef struct {//圖的鄰接表 
    Vertex vexlist[max];//頂點陣列 
    int n,e;//頂點個數和邊的個數 
}adjgraph;

看一個例子
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1.1.4 使用圖的鄰接表建立一個圖

輸入頂點個數和邊的個數
初始化頂點鄰接表
根據給定的鄰接頂點i和j,創建邊頂點p和q分別存盤頂點i和j的資訊,讓主頂點i指向q，且讓主頂點j指向邊頂點q，

void CreateadjGraph(adjgraph *G){// 創建鄰接表
     int i,k,j;
     data weight;
     cout<<"請輸入頂點個數和邊的個數"<<endl; 
     cin>>G->n >>G->e ; 
    for(i=0;i<G->n;i++){
       G->vexlist[i].dingdian=i;
       G->vexlist[i].firstedge=NULL;//初始化鄰接表 
 }
    for(k=0;k<G->e ;k++){
      cout<<"輸入邊(i,j)和權重w"<<endl;
      cin>>i>>j>>weight;
      Edgenode* p=new Edgenode;
      p->xiabiao =j;p->cost =weight; 
      p->next =G->vexlist[i].firstedge ;
      G->vexlist[i].firstedge =p;
      Edgenode* q=new Edgenode;
      q->xiabiao =i;q->cost =weight; 
      q->next =G->vexlist[j].firstedge ;
     G->vexlist[j].firstedge =q;
 }
}
void wenjianCreateadjGraph(adjgraph *G){// 從檔案創建鄰接表
      fstream in;
      in.open("tu2.txt");
      int i,k,j;
      data weight;
      in>>G->n >>G->e ; 
      for(i=0;i<G->n;i++){
         G->vexlist[i].dingdian=i;
         G->vexlist[i].firstedge=NULL;//初始化鄰接表 
 }
     for(k=0;k<G->e ;k++){
         in>>i>>j>>weight;
         Edgenode* p=new Edgenode;
         p->xiabiao =j;p->cost =weight; 
	 p->next =G->vexlist[i].firstedge ;
         G->vexlist[i].firstedge =p;
         Edgenode* q=new Edgenode;
         q->xiabiao =i;q->cost =weight; 
         q->next =G->vexlist[j].firstedge ;
        G->vexlist[j].firstedge =q;
 }
 	in.close();
}
void shuchuadjgraph(adjgraph *t){//列印鄰接表 
    for(int i=0;i<t->n ;i++){
      cout<<i<<":\t";
      Edgenode *p;
      p=t->vexlist[i].firstedge;
      while(p!=NULL){
        cout<<p->xiabiao<<"\t";
        p=p->next ;
     }
      cout<<endl;  
   } 
}

1.2. 圖的鄰接矩陣和圖的鄰接表兩種存盤結構的轉換

1.2.1 圖的鄰接矩陣轉向圖的鄰接表

  1. 思路很簡單，先初始化鄰接矩陣，根據頂點個數和邊的個數，
  2. 然后遍歷鄰接矩陣，如果A[i][j] 不等于0 , 則表示頂點i 和 頂點j
    之間鄰接，邊權重為A[i][j]，然后用之前講過的鄰接表創建圖的方法來創建鄰接表，
void jzhuanhuanb(mygraph *G,adjgraph *T){//將鄰接矩陣G轉化為鄰接表T 
     T->n=G->n ;//初始化鄰接表 
     T->e =G->e;//初始化鄰接表 
     for(int i=0;i<G->n;i++ ){//初始化鄰接表
        T->vexlist[i].dingdian =i;
        T->vexlist[i].firstedge=NULL;
     }
     for(int j=0;j<G->n;j++){
        for(int k=0;k<G->n ;k++){
          if(G->edge[j][k]!=0){
              Edgenode *p=new Edgenode;
              p->xiabiao=G->vertex[k];//頂點賦值 
              p->cost =G->edge[j][k];  //邊權重賦值 
              p->next =T->vexlist[j].firstedge  ;
              T->vexlist[j].firstedge=p;
         }  
      }
    }  
}

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1.2.2 圖的鄰接表轉向圖的鄰接矩陣

思路同上，先初始化，然后遍歷每個頂點的鄰接頂點，然后給鄰接矩陣賦值即可，

void bzhuanhuanj(mygraph *G,adjgraph *T){//將鄰接表轉換為鄰接矩陣
    Edgenode *p;
    G->n =T->n;//初始化鄰接矩陣
    G->e =T->e ;//初始化鄰接矩陣
    int i,j;
    for(i=0;i<G->n;i++){
       for( j=0;j<G->n;j++){
          G->edge[i][j]=0;//初始化鄰接矩陣 
      }
     }
     for(int k=0;k<G->n;k++){
        p=T->vexlist[k].firstedge ;
        while(p!=NULL){
           G->edge[k][p->xiabiao]=p->cost;//將邊權重賦值 
          p=p->next ;
      }
     }
}

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1.3 圖的深度優先遍歷

1.3.1 鄰接矩陣表示的圖的深度優先遍歷

1.3.1.1 遞回

思路:借助一個標記陣列，標記了每個頂點是否被訪問過，

  1. 首先對每個頂點標記為未訪問過，
  2. 然后對于頂點v，如果頂點v沒有被訪問過，則訪問這個頂點，并且把這個頂點標記為訪問過，然后遞回的訪問這個頂點鄰接的頂點，
  3. 訪問完頂點v的所有鄰接的節點后，把森林的個數加1，然后再去訪問沒有訪問過的頂點k，再轉2.
void DFSX(mygraph *G,int x){//輔助深度遞回 (通過鄰接矩陣)
    visited[x]=true;
    cout<<G->vertex[x]<<" ";
    for(int j=0;j<G->n;j++){
       if(!visited[j]&&G->edge[x][j]!=0)
          DFSX(G,G->vertex[j]);
    }
   }
void diguishen(mygraph *G){    //鄰接矩陣深度遞回演算法 
     for(int i=0;i<G->n;i++){//將每個節點標記為未訪問過 
        visited[i]=false;
    }
     int count=1;//森林個數 
     for(int i=0;i<G->n;i++){
       if(!visited[i]){
         cout<<"森林"<<count++<<":"; 
         DFSX(G,i);
         cout<<endl;
     }  
    }
 }

1.3.1.2 非遞回

一般對于所有的遞回演算法來說，要把它變成非遞回演算法，則要利用堆疊，
演算法原理:

  1. 首先對每個頂點標記為未訪問過，
  2. 然后遍歷所有的頂點，對于頂點v，如果頂點v沒有被訪問過，則訪問這個頂點，并且把這個頂點標記為訪問過，并且把這個頂點壓入堆疊中，
  3. 當堆疊不為空時，取堆疊頂頂點t，然后訪問所有和頂點t鄰接的頂點x，如果頂點x沒有被訪問過，則訪問這個頂點，并且把這個頂點標記為訪問過，并且把這個頂點x壓入堆疊中，然后再去訪問頂點x鄰接的所有頂點，
  4. 考察完頂點v所鄰接的所有頂點之后，再去訪問沒有訪問過的頂點，
void feidiguishen2(mygraph *G){ //鄰接矩陣深度非遞回演算法 
    for(int l=0;l<G->n ;l++)//將每個節點標記為未訪問過 
       visited[l]=false;
    stack<int>s;
    int count=1;//森林個數 
     for(int j=0;j<G->n;j++){
       if(!visited[j]){
        cout<<"森林"<<count++<<":";
        visited[j]=true;
        s.push(j);
       cout<<G->vertex[j]<<" ";
       while(!s.empty() ){
         int t = s.top();
         bool flag = false;
         for(int k=0;k<G->n ;k++){
           if(G->edge[t][k]!=0){
             if(!visited[k]){
               visited[k]=true;
               cout<<G->vertex[k]<<" ";
               s.push(k);
               flag = true;
             break ;
          }
        }
    }
       if (flag == false )
       s.pop() ;    
    }
        cout<<endl;
  } 
 }
}

1.3.2 鄰接表表示的圖的深度優先遍歷

思路一樣，就是代碼不一樣

1.3.2.1 遞回

void DFSX2(adjgraph *G,int x){//鄰接表深度遞回輔助演算法 
    Edgenode *p;
    visited[x]=true;//標記為訪問過 
    cout<<G->vexlist[x].dingdian<<" ";
    p=G->vexlist[x].firstedge;
    while(p){
     if(!visited[p->xiabiao])
       DFSX2(G,p->xiabiao);
       p=p->next ;
}
}
void diguishen2(adjgraph *G){//鄰接表深度遞回演算法 
    for(int i=0;i<G->n;i++){//將每個節點標記為未訪問過 
        visited[i]=false;
    }
    int count=1;
    for(int i=0;i<G->n;i++){//遍歷每一個節點 
       if(!visited[i]){
         cout<<"森林"<<count++<<":"; 
         DFSX2(G,i);
        cout<<endl;
     }  
   }
}

1.3.2.2 非遞回

void feidiguishen(adjgraph *G){//鄰接表深度非遞回演算法 
    stack<int>s;
    Edgenode *p;
    for(int j=0;j<G->n;j++){//將每個節點標記為未訪問過 
      visited[j]=false; }
      int count=1;//森林數目 
      for(int i=0;i<G->n;i++){//遍歷每個節點 
         if(!visited[i]){
         cout<<"森林"<<count<<":"; 
         visited[i]=true;
         s.push(i);
         cout<<G->vexlist[i].dingdian<<" ";
         p=G->vexlist[i].firstedge;
         while(!s.empty()){
            p=G->vexlist[s.top()].firstedge ;
            bool flag = false;
            while(p){
             if(!visited[p->xiabiao ]){
                 visited[p->xiabiao ]=true;
                 cout<<G->vexlist[p->xiabiao].dingdian<<" ";//輸出該節點 
     		 s.push(p->xiabiao );  
    		 p=G->vexlist[p->xiabiao].firstedge ;
    		 flag = true;
     		break;
    }
    	else{
    		 p=p->next ;
   	 }
  	 }
   	if(flag == false){
    	 s.pop() ;
    }
  } 
  cout<<endl;
  count++;
  }
 } 
}

1.4圖的廣度優先遍歷

廣度優先遍歷和我們之前將的二叉樹的層序遍歷幾乎一樣，有一個不同的地方就是圖不一定是連通的，可能有幾個森林，而二叉樹一定是連通的，
思路:借助佇列來實作，

  1. 首先對每個頂點標記為未訪問過，
  2. 然后遍歷所有的頂點，對于頂點v，如果頂點v沒有被訪問過，則訪問這個頂點，并且把這個頂點標記為訪問過，并且把這個頂點壓入佇列中，
  3. 當佇列不為空時，取隊首頂點t，然后訪問所有和頂點t鄰接的頂點x，如果頂點x沒有被訪問過，則訪問這個頂點，并且把這個頂點標記為訪問過，把這個頂點x壓入佇列中，每一次訪問頂點就從隊首取出一個頂點即可，
  4. 當佇列為空時，再去考察其他沒有訪問過的頂點，

1.4.1 鄰接矩陣表示的圖的廣度優先遍歷

void guangdu2(mygraph *G) {//鄰接矩陣廣度優先遍歷 
    for(int j=0;j<G->n;j++){
       visited[j]=false;
   }
    queue<int>s;
    int count=1;
    for(int i=0;i<G->n;i++){
       if(!visited[i]){
       cout<<"森林"<<count++<<":"; 
       visited[i]=true;
       cout<<G->vertex[i]<<" ";
       s.push(G->vertex[i]);
    while(!s.empty() ){
        int k=s.front()  ;
        s.pop() ;
        for(int j=0;j<G->n;j++){
          if(G->edge [k][j]!=0){
             if(!visited[j]){
                visited[j]=true;
               cout<<G->vertex[j]<<" ";
               s.push(G->vertex[j]); 
        }      
       } 
      }
    }
   cout<<endl;
   }   
  }
}

1.4.2鄰接表表示的圖的廣度優先遍歷

void guangdu(adjgraph *G){//鄰接表廣度優先遍歷 
    for(int j=0;j<G->n;j++){
      visited[j]=false;
    }
    queue<int>s;
    Edgenode *p;
    int count=1;
    for(int i=0;i<G->n;i++){
      if(!visited[i]){
        cout<<"森林"<<count++<<":"; 
        visited[i]=true;
        cout<<G->vexlist[i].dingdian<<" ";
        s.push(G->vexlist[i].dingdian);
        while(!s.empty() ){
           p=G->vexlist[s.front()].firstedge;
           s.pop() ;
           while(p!=NULL){
             if(!visited[p->xiabiao]){
                visited[p->xiabiao]=true;
          	cout<<G->vexlist[p->xiabiao].dingdian<<" ";
      		 s.push(p->xiabiao); 
     		}
         p=p->next;    
      } 
     }
      cout<<endl;
   } 
  
  }
 }

1.5主程式

void zrh(){
      int x=0;//用來判斷當前的無向圖是用鄰接矩陣還是鄰接表來表示的，0代表鄰接矩陣，1代表鄰接表 
     cout<<"-----------------------------------------------------------------"<<endl;
     cout<<"0.退出                                                          |"<<endl;
    cout<<"1.通過從檔案讀入創建一個無向圖的鄰接矩陣                        |"<<endl;
    cout<<"2.通過從檔案讀入創建一個無向圖的鄰接表                          |"<<endl;
    cout<<"3.通過輸入創建一個無向圖的鄰接矩陣                              |"<<endl;
    cout<<"4.通過輸入創建一個無向圖的鄰接表                                |"<<endl;
    cout<<"5.顯示鄰接矩陣                                                  |"<<endl;
    cout<<"6.顯示鄰接表                                                    |"<<endl;
    cout<<"7.將鄰接矩陣轉化為鄰接表并顯示                                  |"<<endl;
    cout<<"8.將鄰接表轉化為鄰接矩陣并顯示                                  |"<<endl;
    cout<<"9.深度優先遞回遍歷無向圖                                        |"<<endl;
    cout<<"10.深度優先非遞回遍歷無向圖                                     |"<<endl;
    cout<<"11.廣度優先遍歷無向圖                                           |"<<endl;
    cout<<"-----------------------------------------------------------------"<<endl; 
    mygraph g;//創建無向圖 的鄰接矩陣 
    adjgraph t;//創建無向圖的鄰接表 
    int n;
    cin>>n;
    while(n){
      switch(n){
        case 1:
          wenjianCreateGraph(&g);
          x=0;
         break;
       case 2:
        wenjianCreateadjGraph(&t);
        x=1;
        break;   
      case 3:
         CreateGraph(&g);
       x=0;
      break;  
     case 4:
        CreateadjGraph(&t);
        x=1;
        break;  
     case 5:
       shuchugraph(&g);
       x=0;
       break;  
     case 6:
       shuchuadjgraph(&t);
         x=1;
        break;  
    case 7:
       adjgraph t1;
       cout<<"鄰接矩陣為："<<endl; 
       shuchugraph(&g);
       cout<<"轉化為鄰接表后為："<<endl ;
      jzhuanhuanb(&g,&t1);
     shuchuadjgraph(&t1);
     break;
    case 8:
      mygraph t2;
      cout<<"鄰接表為："<<endl; 
      shuchuadjgraph(&t);
      cout<<"轉化為鄰接矩陣后為："<<endl ;
      bzhuanhuanj(&t2,&t);
      shuchugraph(&t2);
      break;
    case 9:
    if(x==1){ 
       diguishen2(&t);
   }   
    else{
       diguishen(&g);
    }     
       break;
     case 10:
       if(x==1){
        feidiguishen(&t); 
     }
      else{
         feidiguishen2(&g);
     } 
     break;
    case 11:
       if(x==0){
           guangdu2(&g);
      }
     else{
         guangdu(&t);
      } 
      break;
     default :
      n=0;
     break;                      
 }
 cout<<"-----------------------------------------------------------------"<<endl;
 cout<<"0.退出                                                          |"<<endl;
 cout<<"1.通過從檔案讀入創建一個無向圖的鄰接矩陣                        |"<<endl;
 cout<<"2.通過從檔案讀入創建一個無向圖的鄰接表                          |"<<endl;
 cout<<"3.通過輸入創建一個無向圖的鄰接矩陣                              |"<<endl;
 cout<<"4.通過輸入創建一個無向圖的鄰接表                                |"<<endl;
 cout<<"5.顯示鄰接矩陣                                                  |"<<endl;
 cout<<"6.顯示鄰接表                                                    |"<<endl;
 cout<<"7.將鄰接矩陣轉化為鄰接表并顯示                                  |"<<endl;
 cout<<"8.將鄰接表轉化為鄰接矩陣并顯示                                  |"<<endl;
 cout<<"9.深度優先遞回遍歷無向圖                                        |"<<endl;
 cout<<"10.深度優先非遞回遍歷無向圖                                     |"<<endl;
 cout<<"11.廣度優先遍歷無向圖                                           |"<<endl;
 cout<<"-----------------------------------------------------------------"<<endl; 
 if(x==0)
  cout<<"當前無向圖為鄰接矩陣表示法，請根據提示選擇正確的操作："<<endl;
 else
   cout<<"當前無向圖為鄰接表表示法，請根據提示選擇正確的操作："<<endl;
 if(n!=0)
  cin>>n;
 } 
}

1.6結果分析

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