1 重點概念
1.1 結點概念
一棵二叉樹是節點的一個有限集合，該集合或者為空，或者由一個根節點加上兩棵左子樹和右子樹組成
結點是資料結構中的基礎，是構成復雜資料結構的基本組成單位，
1.2 樹結點宣告
本系列文章中提及的結點專指樹的結點，例如：結點A在圖中表示為：
2 樹
2.1 定義
樹（Tree）是n（n>=0)個結點的有限集，n=0時稱為空樹，在任意一顆非空樹中：
1）有且僅有一個特定的稱為根（Root）的結點；
2）當n>1時，其余結點可分為m(m>0)個互不相交的有限集T1、T2、......、Tn，其中每一個集合本身又是一棵樹，并且稱為根的子樹，
此外，樹的定義還需要強調以下兩點：
1）n>0時根結點是唯一的，不可能存在多個根結點，資料結構中的樹只能有一個根結點，
2）m>0時，子樹的個數沒有限制，但它們一定是互不相交的，
示例樹：
圖2.1為一棵普通的樹：
圖2.1 普通樹
由樹的定義可以看出，樹的定義使用了遞回的方式，遞回在樹的學習程序中起著重要作用，如果對于遞回不是十分了解，建議先看看[遞回演算法][Link 4]
2.2 結點的度
結點擁有的子樹數目稱為結點的度，
圖2.2中標注了圖2.1所示樹的各個結點的度，
圖2.2 度示意圖
2.3 結點關系
結點子樹的根結點為該結點的孩子結點，相應該結點稱為孩子結點的雙親結點，
圖2.2中，A為B的雙親結點，B為A的孩子結點，
同一個雙親結點的孩子結點之間互稱兄弟結點，
圖2.2中，結點B與結點C互為兄弟結點，
2.4 結點層次
從根開始定義起，根為第一層，根的孩子為第二層，以此類推，
圖2.3表示了圖2.1所示樹的層次關系
圖2.3 層示意圖
2.5 樹的深度
樹中結點的最大層次數稱為樹的深度或高度，圖2.1所示樹的深度為4，
3 二叉樹
3.1 定義
二叉樹是n(n>=0)個結點的有限集合，該集合或者為空集（稱為空二叉樹），或者由一個根結點和兩棵互不相交的、分別稱為根結點的左子樹和右子樹組成，
圖3.1展示了一棵普通二叉樹：
圖3.1 二叉樹
3.2 二叉樹特點
由二叉樹定義以及圖示分析得出二叉樹有以下特點：
1）每個結點最多有兩顆子樹，所以二叉樹中不存在度大于2的結點，
2）左子樹和右子樹是有順序的，次序不能任意顛倒，
3）即使樹中某結點只有一棵子樹，也要區分它是左子樹還是右子樹，
3.3 二叉樹性質
1）在二叉樹的第i層上最多有2i-1 個節點 ，（i>=1）
2）二叉樹中如果深度為k,那么最多有2k-1個節點，(k>=1）
3）n0=n2+1 n0表示度數為0的節點數，n2表示度數為2的節點數，
4）在完全二叉樹中，具有n個節點的完全二叉樹的深度為[log2n]+1，其中[log2n]是向下取整，
5）若對含 n 個結點的完全二叉樹從上到下且從左至右進行 1 至 n 的編號，則對完全二叉樹中任意一個編號為 i 的結點有如下特性：
(1) 若 i=1，則該結點是二叉樹的根，無雙親, 否則，編號為 [i/2] 的結點為其雙親結點;
(2) 若 2i>n，則該結點無左孩子， 否則，編號為 2i 的結點為其左孩子結點；
(3) 若 2i+1>n，則該結點無右孩子結點， 否則，編號為2i+1 的結點為其右孩子結點，
3.4 斜樹
斜樹：所有的結點都只有左子樹的二叉樹叫左斜樹，所有結點都是只有右子樹的二叉樹叫右斜樹，這兩者統稱為斜樹，
圖3.2 左斜樹
圖3.3 右斜樹
3.5 滿二叉樹
滿二叉樹：在一棵二叉樹中，如果所有分支結點都存在左子樹和右子樹，并且所有葉子都在同一層上，這樣的二叉樹稱為滿二叉樹，
滿二叉樹的特點有：
1）葉子只能出現在最下一層，出現在其它層就不可能達成平衡，
2）非葉子結點的度一定是2，
3）在同樣深度的二叉樹中，滿二叉樹的結點個數最多，葉子數最多，
圖3.4 滿二叉樹
3.6 完全二叉樹
完全二叉樹：對一顆具有n個結點的二叉樹按層編號，如果編號為i(1<=i<=n)的結點與同樣深度的滿二叉樹中編號為i的結點在二叉樹中位置完全相同，則這棵二叉樹稱為完全二叉樹，
圖3.5展示一棵完全二叉樹
圖3.5 完全二叉樹
特點：
1）葉子結點只能出現在最下層和次下層，
2）最下層的葉子結點集中在樹的左部，
3）倒數第二層若存在葉子結點，一定在右部連續位置，
4）如果結點度為1，則該結點只有左孩子，即沒有右子樹，
5）同樣結點數目的二叉樹，完全二叉樹深度最小，
注：滿二叉樹一定是完全二叉樹，但反過來不一定成立，
3.7 二叉樹的存盤結構
3.7.1 順序存盤
二叉樹的順序存盤結構就是使用一維陣列存盤二叉樹中的結點，并且結點的存盤位置，就是陣列的下標索引，
圖3.6
圖3.6所示的一棵完全二叉樹采用順序存盤方式，如圖3.7表示：
圖3.7 順序存盤
由圖3.7可以看出，當二叉樹為完全二叉樹時，結點數剛好填滿陣列，
那么當二叉樹不為完全二叉樹時，采用順序存盤形式如何呢？例如：對于圖3.8描述的二叉樹：
圖3.8.png
其中淺色結點表示結點不存在，那么圖3.8所示的二叉樹的順序存盤結構如圖3.9所示：
圖3.9
其中，∧表示陣列中此位置沒有存盤結點，此時可以發現，順序存盤結構中已經出現了空間浪費的情況，
那么對于圖3.3所示的右斜樹極端情況對應的順序存盤結構如圖3.10所示：
圖3.10
由圖3.10可以看出，對于這種右斜樹極端情況，采用順序存盤的方式是十分浪費空間的，因此，順序存盤一般適用于完全二叉樹，
3.7.2 二叉鏈表
既然順序存盤不能滿足二叉樹的存盤需求，那么考慮采用鏈式存盤，由二叉樹定義可知，二叉樹的每個結點最多有兩個孩子，因此，可以將結點資料結構定義為一個資料和兩個指標域，表示方式如圖3.11所示：
圖3.11
定義結點代碼：
typedef struct BiTNode{
TElemType data;//資料 struct BiTNode *lchild, *rchild;//左右孩子指標 } BiTNode, *BiTree;
則圖3.6所示的二叉樹可以采用圖3.12表示，
圖3.12
圖3.12中采用一種鏈表結構存盤二叉樹，這種鏈表稱為二叉鏈表，
3.8 二叉樹遍歷
二叉樹的遍歷一個重點考查的知識點，
3.8.1 定義
二叉樹的遍歷是指從二叉樹的根結點出發，按照某種次序依次訪問二叉樹中的所有結點，使得每個結點被訪問一次，且僅被訪問一次，
二叉樹的訪問次序可以分為四種：
前序遍歷
中序遍歷
后序遍歷
層序遍歷
3.8.2 前序遍歷
前序遍歷通俗的說就是從二叉樹的根結點出發，當第一次到達結點時就輸出結點資料，按照先向左在向右的方向訪問，
3.13
圖3.13所示二叉樹訪問如下：
從根結點出發，則第一次到達結點A，故輸出A;
繼續向左訪問，第一次訪問結點B，故輸出B；
按照同樣規則，輸出D，輸出H；
當到達葉子結點H，回傳到D，此時已經是第二次到達D，故不在輸出D，進而向D右子樹訪問，D右子樹不為空，則訪問至I，第一次到達I，則輸出I；
I為葉子結點，則回傳到D，D左右子樹已經訪問完畢，則回傳到B，進而到B右子樹，第一次到達E，故輸出E；
向E左子樹，故輸出J；
按照同樣的訪問規則，繼續輸出C、F、G；
則3.13所示二叉樹的前序遍歷輸出為：
ABDHIEJCFG
3.8.3 中序遍歷
中序遍歷就是從二叉樹的根結點出發，當第二次到達結點時就輸出結點資料，按照先向左在向右的方向訪問，
圖3.13所示二叉樹中序訪問如下：
從根結點出發，則第一次到達結點A，不輸出A，繼續向左訪問，第一次訪問結點B，不輸出B；繼續到達D，H；
到達H，H左子樹為空，則回傳到H，此時第二次訪問H，故輸出H；
H右子樹為空，則回傳至D，此時第二次到達D，故輸出D；
由D回傳至B，第二次到達B，故輸出B；
按照同樣規則繼續訪問，輸出J、E、A、F、C、G；
則3.13所示二叉樹的中序遍歷輸出為：
HDIBJEAFCG
3.8.4 后序遍歷
后序遍歷就是從二叉樹的根結點出發，當第三次到達結點時就輸出結點資料，按照先向左在向右的方向訪問，
圖3.13所示二叉樹后序訪問如下：
從根結點出發，則第一次到達結點A，不輸出A，繼續向左訪問，第一次訪問結點B，不輸出B；繼續到達D，H；
到達H，H左子樹為空，則回傳到H，此時第二次訪問H，不輸出H；
H右子樹為空，則回傳至H，此時第三次到達H，故輸出H；
由H回傳至D，第二次到達D，不輸出D；
繼續訪問至I，I左右子樹均為空，故第三次訪問I時，輸出I；
回傳至D，此時第三次到達D，故輸出D；
按照同樣規則繼續訪問，輸出J、E、B、F、G、C，A；
則圖3.13所示二叉樹的后序遍歷輸出為：
HIDJEBFGCA
雖然二叉樹的遍歷程序看似繁瑣，但是由于二叉樹是一種遞回定義的結構，故采用遞回方式遍歷二叉樹的代碼十分簡單，
3.8.5 層次遍歷
層次遍歷就是按照樹的層次自上而下的遍歷二叉樹，針對圖3.13所示二叉樹的層次遍歷結果為：
ABCDEFGHIJ
3.8.6 遍歷常考考點
對于二叉樹的遍歷有一類典型題型，
1）已知前序遍歷序列和中序遍歷序列，確定一棵二叉樹，
例題：若一棵二叉樹的前序遍歷為ABCDEF，中序遍歷為CBAEDF，請畫出這棵二叉樹，
分析：前序遍歷第一個輸出結點為根結點，故A為根結點，早中序遍歷中根結點處于左右子樹結點中間，故結點A的左子樹中結點有CB，右子樹中結點有EDF，
如圖3.14所示：
圖3.14
按照同樣的分析方法，對A的左右子樹進行劃分，最后得出二叉樹的形態如圖3.15所示：
圖3.15.png
2）已知后序遍歷序列和中序遍歷序列，確定一棵二叉樹，
后序遍歷中最后訪問的為根結點，因此可以按照上述同樣的方法，找到根結點后分成兩棵子樹，進而繼續找到子樹的根結點，一步步確定二叉樹的形態，
注：已知前序遍歷序列和后序遍歷序列，不可以唯一確定一棵二叉樹，
4 總結
通過上述的介紹，已經對于二叉樹有了初步的認識，本篇文章介紹的基礎知識希望讀者能夠牢牢掌握，并且能夠在腦海中建立一棵二叉樹的模型，為后續學習打好基礎，
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