前言

提示：本文主要講述行列式的求解方法，所以本文側重于方法的講解，而并非推導，主要思路為從三階行列式舉例，再過渡到高階行列式的通用方法 ，

以下是本篇文章正文內容：

一、對角線法

▍以三階行列式為例：

D 3 = ∣ a 11 a 12 a 13 a 21 a 22 a 23 a 31 a 32 a 33 ∣ D_3= \left| \begin{matrix} a_{11}& a_{12}& a_{13}\\ a_{21}& a_{22}& a_{23}\\ a_{31}& a_{32}& a_{33}\\ \end{matrix} \right| D3?=∣∣∣∣∣∣?a11?a21?a31??a12?a22?a32??a13?a23?a33??∣∣∣∣∣∣?

①將第一、二列平移到行列式右側
②如圖做出六條斜對角線
③對角線上的元素相乘，紅色相加的和 減去 藍色相加的和

D 3 = D_3= D3?=

a 11 a 22 a 33 + a 12 a 23 a 31 + a 13 a 21 a 32 a_{11}a_{22}a_{33}+a_{12}a_{23}a_{31}+a_{13}a_{21}a_{32} a11?a22?a33?+a12?a23?a31?+a13?a21?a32?

? a 13 a 22 a 31 ? a 11 a 23 a 32 ? a 12 a 21 a 33 -a_{13}a_{22}a_{31}-a_{11}a_{23}a_{32}-a_{12}a_{21}a_{33} ?a13?a22?a31??a11?a23?a32??a12?a21?a33?

對角線法也是三階行列式計算使用最廣泛的方法

▍ 對角線法適用于二、三階行列式，對于更高階的行列式暫時未找到規律

二、代數余子式法

▍以三階行列式為例：

例 ： D 3 = ∣ a 11 a 12 a 13 a 21 a 22 a 23 a 31 a 32 a 33 ∣ 例：D_3= \left| \begin{matrix} a_{11}& a_{12}& a_{13}\\ a_{21}& a_{22}& a_{23}\\ a_{31}& a_{32}& a_{33}\\ \end{matrix} \right| 例：D3?=∣∣∣∣∣∣?a11?a21?a31??a12?a22?a32??a13?a23?a33??∣∣∣∣∣∣?

以 第 一 行 展 開 ， 得 D 3 = 以第一行展開，得D_3= 以第一行展開，得D3?=

= ( ? 1 ) 1 + 1 a 11 M 11 + ( ? 1 ) 1 + 2 a 12 M 12 + ( ? 1 ) 1 + 3 a 13 M 13 =\left( -1 \right) ^{1+1}a_{11}M_{11}+\left( -1 \right) ^{1+2}a_{12}M_{12}+\left( -1 \right) ^{1+3}a_{13}M_{13} =(?1)1+1a11?M11?+(?1)1+2a12?M12?+(?1)1+3a13?M13?

= a 11 ∣ a 22 a 23 a 32 a 33 ∣ ? a 12 ∣ a 21 a 23 a 31 a 33 ∣ + a 13 ∣ a 21 a 22 a 31 a 32 ∣ =a_{11}\left| \begin{matrix} a_{22}& a_{23}\\ a_{32}& a_{33}\\ \end{matrix} \right|-a_{12}\left| \begin{matrix} a_{21}& a_{23}\\ a_{31}& a_{33}\\ \end{matrix} \right|+a_{13}\left| \begin{matrix} a_{21}& a_{22}\\ a_{31}& a_{32}\\ \end{matrix} \right| =a11?∣∣∣∣?a22?a32??a23?a33??∣∣∣∣??a12?∣∣∣∣?a21?a31??a23?a33??∣∣∣∣?+a13?∣∣∣∣?a21?a31??a22?a32??∣∣∣∣?

對于任一行（列）都可進行展開

▍例n階行列式：

D n = ∣ a 11 a 12 ? a 1 n a 21 a 22 ? a 2 n ? ? ? a n 1 a n 2 ? a n n ∣ D_n=\left| \begin{matrix} a_{11}& a_{12}& \cdots& a_{1n}\\ a_{21}& a_{22}& \cdots& a_{2n}\\ \vdots& \vdots& & \vdots\\ a_{n1}& a_{n2}& \cdots& a_{nn}\\ \end{matrix} \right| Dn?=∣∣∣∣∣∣∣∣∣?a11?a21??an1??a12?a22??an2??????a1n?a2n??ann??∣∣∣∣∣∣∣∣∣?

以第 i 行展開:

= ( ? 1 ) i + 1 a i 1 M i 1 + ( ? 1 ) i + 2 a i 2 M i 2 + ? + ( ? 1 ) i + n a i n M i n =\left( -1 \right) ^{i+1}a_{i1}M_{i1}+\left( -1 \right) ^{i+2}a_{i2}M_{i2}+\cdots +\left( -1 \right) ^{i+n}a_{in}M_{in} =(?1)i+1ai1?Mi1?+(?1)i+2ai2?Mi2?+?+(?1)i+nain?Min?

以第 j 列展開:

= ( ? 1 ) 1 + j a 1 j M 1 j + ( ? 1 ) 2 + j a 2 j M 2 j + ? + ( ? 1 ) n + j a n j M n j =\left( -1 \right) ^{1+j}a_{1j}M_{1j}+\left( -1 \right) ^{2+j}a_{2j}M_{2j}+\cdots +\left( -1 \right) ^{n+j}a_{nj}M_{nj} =(?1)1+ja1j?M1j?+(?1)2+ja2j?M2j?+?+(?1)n+janj?Mnj?

例 ： ∣ 0 1 0 2 15 3 1 41 2 ∣ = ( ? 1 ) 1 + 2 ∣ 3 2 2 1 ∣ = 1 例： \left| \begin{matrix} 0& 1& 0\\ 2& 15& 3\\ 1& 41& 2\\ \end{matrix} \right|=\left( -1 \right) ^{1+2}\left| \begin{matrix} 3& 2\\ 2& 1\\ \end{matrix} \right|=1 例：∣∣∣∣∣∣?021?11541?032?∣∣∣∣∣∣?=(?1)1+2∣∣∣∣?32?21?∣∣∣∣?=1

本例中，利用代數余子式法能夠簡便運算

三、等價轉化法

轉化法的核心思想是將行列式轉化成上三角行列式

直接舉例：

D 4 = ∣ 3 1 1 1 1 3 1 1 1 1 3 1 1 1 1 3 ∣ D_4=\left| \begin{matrix} 3& 1& 1& 1\\ 1& 3& 1& 1\\ 1& 1& 3& 1\\ 1& 1& 1& 3\\ \end{matrix} \right| D4?=∣∣∣∣∣∣∣∣?3111?1311?1131?1113?∣∣∣∣∣∣∣∣?

∣ 3 1 1 1 1 3 1 1 1 1 3 1 1 1 1 3 ∣ = r 1 + r 2 + r 3 + r 4 ∣ 6 6 6 6 1 3 1 1 1 1 3 1 1 1 1 3 ∣ = r 1 ÷ 6 6 ∣ 1 1 1 1 1 3 1 1 1 1 3 1 1 1 1 3 ∣ \left| \begin{matrix} 3& 1& 1& 1\\ 1& 3& 1& 1\\ 1& 1& 3& 1\\ 1& 1& 1& 3\\ \end{matrix} \right|\xlongequal{r_1+r_2+r_3+r_4}\left| \begin{matrix} 6& 6& 6& 6\\ 1& 3& 1& 1\\ 1& 1& 3& 1\\ 1& 1& 1& 3\\ \end{matrix} \right|\xlongequal{r_1\div 6}6\left| \begin{matrix} 1& 1& 1& 1\\ 1& 3& 1& 1\\ 1& 1& 3& 1\\ 1& 1& 1& 3\\ \end{matrix} \right| ∣∣∣∣∣∣∣∣?3111?1311?1131?1113?∣∣∣∣∣∣∣∣?r1?+r2?+r3?+r4? ∣∣∣∣∣∣∣∣?6111?6311?6131?6113?∣∣∣∣∣∣∣∣?r1?÷6 6∣∣∣∣∣∣∣∣?1111?1311?1131?1113?∣∣∣∣∣∣∣∣?

= r 2 ? r 1 , r 3 ? r 1 , r 4 ? r 1 6 ∣ 1 1 1 1 0 2 0 0 0 0 2 0 0 0 0 2 ∣ = 6 × 1 × 2 × 2 × 2 = 48 \xlongequal{r_2-r_1,r_3-r_1,r_4-r_1}6\left| \begin{matrix} 1& 1& 1& 1\\ 0& 2& 0& 0\\ 0& 0& 2& 0\\ 0& 0& 0& 2\\ \end{matrix} \right|=6\times1\times 2\times 2\times 2=48 r2??r1?,r3??r1?,r4??r1? 6∣∣∣∣∣∣∣∣?1000?1200?1020?1002?∣∣∣∣∣∣∣∣?=6×1×2×2×2=48

四、逆序數法

▍以三階行列式為例
D 3 = ∣ a 11 a 12 a 13 a 21 a 22 a 23 a 31 a 32 a 33 ∣ = ∑ ( ? 1 ) t a 1 p 1 a 2 p 2 a 3 p 3 D_3=\left| \begin{matrix} a_{11}& a_{12}& a_{13}\\ a_{21}& a_{22}& a_{23}\\ a_{31}& a_{32}& a_{33}\\ \end{matrix} \right| =\sum{\left( -1 \right) ^ta_{1p_1}a_{2p_2}a_{3p_3}} D3?=∣∣∣∣∣∣?a11?a21?a31??a12?a22?a32??a13?a23?a33??∣∣∣∣∣∣?=∑(?1)ta1p1??a2p2??a3p3??

t 為排列 p 1 p 2 p 3 的逆序數 t\text{為排列 }p_1p_2p_3\ \text{的逆序數} t為排列 p1?p2?p3? 的逆序數

其 中 p 1 、 p 2 、 p 3 ≤3，且各不相同 其中p_1\text{、}p_2\text{、}p_3\text{≤3，且各不相同} 其中p1?、p2?、p3?≤3，且各不相同

▍對于n階行列式：

D n = ∣ a 11 a 12 ? a 1 n a 21 a 22 ? a 2 n ? ? ? a n 1 a n 2 ? a n n ∣ D_n=\left| \begin{matrix} a_{11}& a_{12}& \cdots& a_{1n}\\ a_{21}& a_{22}& \cdots& a_{2n}\\ \vdots& \vdots& & \vdots\\ a_{n1}& a_{n2}& \cdots& a_{nn}\\ \end{matrix} \right| Dn?=∣∣∣∣∣∣∣∣∣?a11?a21??an1??a12?a22??an2??????a1n?a2n??ann??∣∣∣∣∣∣∣∣∣?

= ∑ ( ? 1 ) t a 1 p 1 a 2 p 2 ? a n p n =\sum{\left( -1 \right) ^ta_{1p_1}a_{2p_2}\cdots a_{np_n}} =∑(?1)ta1p1??a2p2???anpn??

t 為排列 p 1 p 2 ? p n 的逆序數 t\text{為排列 }p_1p_2\cdots p_n\ \text{的逆序數} t為排列 p1?p2??pn? 的逆序數

其 中 p 1 、 p 2 ? p n ≤n，且各不相同 其中p_1\text{、}p_2\cdots p_n\text{≤n，且各不相同} 其中p1?、p2??pn?≤n，且各不相同

總結

本文講述了四種行列式的計算方法：

▍其中對角線法，是使用最簡單、最廣泛的方法

▍代數余子式法和等價轉化法，在特定情況下能極大程度上簡便運算，但需要讀者對行列式進行靈活地觀察

▍逆序數法，是一種更加基礎的方法，使用起來比較復雜