模糊數學基礎

1. 前言

1965年 美國著名控制論專家發表了Fuzzy Sets 從而開創了模糊數學的基本概念 用“隸屬度”和“隸屬函式”來描述差異的中間過渡，處理和刻畫模糊現象.

處理現實作象的數學模型可以分為三大類：

1. 確定性數學模型
2. 隨機性數學模型
3. 模糊性數學模型

前兩類模型的共同特點是所描述的食物本身的含義是確定的，它們賴以存在的基石-集合論，它滿足互補率，就是非此即彼的清晰概念的抽象.而模糊數學模型所描述的事物本身的含義是不確定的.

2. 區分隨機性和模糊性

隨機性：是針對事件的某種結果的機會而言，由于條件不充分而導致各種可能的結果，這是因果律的破缺而造成的不確定性，

模糊性：是指存在于現實中的不分明現象，如“穩定”與“不穩定”等，從差異的一方到另一方，中間經歷了一個從量變到質變的連續過渡程序，這是因排中律(在同一個思維程序中，兩種思想不能同假，其中必有一真，即“要么A要么非A”，是形式邏輯的基本規律之一，)的破缺而造成的不確定性，

3. 模糊數學的基本概念

1. 模糊集和隸屬函式

定義1：

被討論的物件的全體稱為論域.論域常用大寫字母 U,V 等來表示.

對于論域U的每個元素和某一子集A，在經典數學中，那么 x ∈ A x\in{A} x∈A ，要么 x ? A x\notin{A} x∈/?A.

描述這一事實的是特征函式 χ A ( x ) = { 1 , x ∈ A 0 , x ? A \chi_A(x)=\begin{cases} 1, x\in{A} \\0, x\notin{A} \end{cases} χA?(x)={1,x∈A0,x∈/?A? 即集合A由特征函式唯一確定.

在模糊數學中，稱沒有明確邊界(沒有清晰外延)的集合稱為模糊集合.常用大寫字母來表示.元素屬于模糊集合的程度用隸屬度來表示.用于計算隸屬度的函式稱為隸屬函式.它們的數學定義如下.

定義2 論域U到[0,1] (隸屬度的取值范圍) 閉區間上的任意映射

? M: U->[0,1],

? u->M(u),

都確定了U上的一個模糊集合,M(u)叫做M的隸屬函式,或稱為u對M的隸屬度.記作 M={ ( u , M ( u ) ∣ u ∈ U {(u,M(u)|u\in{U}} (u,M(u)∣u∈U}

使得M(u)=0.5的稱為模糊集M的過渡點,此點最具有模糊性.

我們一般稱模糊集為F集(來源于英文單詞Fuzzy),論域U上的F集記作 F ( U ) F(U) F(U).

2. 模糊集的表示

? 當論域U為有限集時，記U={u1,u2,···,un},則U上的模糊集M有下列三種常見表現形式.

1. 序偶表示法

   ? M = ( u 1 , M ( u 1 ) ) , ( u 2 , M ( u 2 ) ) , ? ? ? , ( u n , M ( u n ) ) . M={(u1,M(u1)),(u2,M(u2)),···,(un,M(un))}. M=(u1,M(u1)),(u2,M(u2)),???,(un,M(un)).

2. 向量表示法

   ? M = ( M ( u 1 ) , M ( u 2 ) , ? ? ? M ( u n ) ) . M=(M(u1),M(u2),···M(un)). M=(M(u1),M(u2),???M(un)).

3. 扎德表示法

   ? M = ∑ i = 1 n M ( u i ) u i = M ( u 1 ) u 1 + M ( u 2 ) u 2 + M ( u 3 ) u 3 + M ( u n ) u n M=\sum_{i=1}^{n}\frac{M(u_i)}{u_i}=\frac{M(u_1)}{u_1}+\frac{M(u_2)}{u_2}+\frac{M(u_3)}{u_3}+\frac{M(u_n)}{u_n} M=i=1∑n?ui?M(ui?)?=u1?M(u1?)?+u2?M(u2?)?+u3?M(u3?)?+un?M(un?)?

   注：" ∑ \sum ∑“和”+"不是求和的意思，只是表示集合元素的記號. M ( u i ) u i \frac{M(u_i)}{u_i} ui?M(ui?)?不是分數，它表示點 u i u_i ui?對模糊集M的隸屬度是 M ( u i ) M(u_i) M(ui?).

   當論域U為無限集時，U上的模糊集M可表示為: M = ∫ u ∈ M M ( u ) u M=\int_{u\in{M}}{\frac{M(u)}{u}} M=∫u∈M?uM(u)?

   注：" ∫ \int ∫"也不是代表積分的意思

3. 確定隸屬函式的方法

隸屬函式通常采用模糊統計方法、例證法和指派法確定.下面重點給出指派法確定隸屬函式.

指派法是一種主觀的方法，它主要依據人們的實踐經驗來確定某些模糊集合的隸屬函式.如果模糊集定義在實數域上，則隸屬函式稱為模糊分布.常見的幾個模糊分布如下表所示.

來幾個栗子：

4. 與傳統集合論的區分

對于某F集A，若A(u)僅取0和1兩個數時，A就退化為普通集合.所以,普通集合是模糊集的特殊情形.

若A(u)=0,則A為空集 ? \emptyset ?;若A(u)=1,則A為全集U,即A=U.一般A(u)會是等于一個隸屬函式.

4.模糊數學的基本運算

1.模糊集的運算

設A,B為論域U上的兩個模糊集合，則A與B的并集 A ∪ B A\cup{B} A∪B、交集 A ∩ B A\cap{B} A∩B、補集 A ￣ \overline{A} A也是論域上的模糊集合，其定義如下：

并集: A ∪ B = { ( u , A ∪ B ( u ) ) ∣ A ∪ B ( u ) = m a x { A ( u ) , B ( u ) } , u ∈ U } A\cup{B}=\{(u,A\cup{B(u)})|A\cup{B(u)}=max\{A(u),B(u)\},u\in{U}\} A∪B={(u,A∪B(u))∣A∪B(u)=max{A(u),B(u)},u∈U}

交集: A ∩ B = { ( u , A ∩ B ( u ) ) ∣ A ∩ B ( u ) = m i n { A ( u ) , B ( u ) } , u ∈ U } A\cap{B}=\{(u,A\cap{B(u)})|A\cap{B(u)}=min\{A(u),B(u)\},u\in{U}\} A∩B={(u,A∩B(u))∣A∩B(u)=min{A(u),B(u)},u∈U}

補集: A ￣ = ( u , A ￣ u ) ∣ A ￣ ( u ) = 1 ? A ( u ) , u ∈ U \overline{A}={(u,\overline{A}{u})|\overline{A}(u)=1-A(u),u\in{U}} A=(u,Au)∣A(u)=1?A(u),u∈U

來個栗子

2.模糊關系與運算

1. 關系與模糊關系

關系是對兩個普通集合的直積釋加某種條件限制后得到的序偶集合，常用R表示.

栗（這里我直接參考一個教材上的栗子）：

可以看到，用矩陣表示關系會顯得很清晰明了 前面的直積比較類似于矩陣乘法 np.dot(A,B) A(3,1) B(1,3)

模糊關系指對普通集合的直積釋加某種模糊條件限制后得到的模糊關系，也記作R.

模糊關系可用扎德表示法、隸屬函式或矩陣形式來表示.

來個模糊關系的栗子：

2. 模糊關系矩陣的運算

設 R = ( r i j ) m × n , S = ( s i j ) m × n R=(r_{ij})_{m\times{n}},S=(s_{ij})_{m\times{n}} R=(rij?)m×n?,S=(sij?)m×n?為同一論域U上的兩個模糊關系矩陣，i=1,2,···,m

j=1,2,···,n,則其并、交、補運算分別定義為(因markdown實在不好打出 故采用手寫)

來個模糊關系矩陣合成的例子：

可以看到，其運算程序和矩陣乘法基本相同 也需要滿足左邊矩陣的列維度等于右邊矩陣的行維度

不同的只是最后并不是相乘積 而是用交并的形式(max和min)

3. python程式求解法

我們還可以撰寫python程式來求解

import numpy as np
a=np.array([0.3,0.35,0.1]); aa=np.tile(a,(len(a),1)) # 或者說平鋪 第一個引數為axis=0復制幾倍 第二個引數為axis=1軸復制幾倍 使得維度與b匹配
b=np.array([[0.3,0.5,0.2],[0.2,0.2,0.4],[0.3,0.4,0.2]])
#模擬模糊關系矩陣合成運算
c=np.minimun(aa.T,b) #兩個矩陣的元素對應求最小值 
T=c.max(axis=0) #矩陣逐列求最大值成行向量
print("T=",T)