主頁 > 後端開發 > 一元線性模型的中位數回歸

一元線性模型的中位數回歸

2021-04-14 10:52:41 後端開發

一元線性模型的中位數回歸

  • 一、演算法目的
  • 二、演算法推導
  • 三、實際案例與python編程計算
    • 3.1中位數回歸方程的計算
    • 3.2資料可視化
    • 3.3回歸引數檢驗
  • 四、參考文獻

一、演算法目的

對于線性模型： Y = β 0 + β 1 X + ε (1) Y=\beta_{0}+\beta_{1}X+\varepsilon \tag{1} Y=β0?+β1?X+ε(1) 通過最小一乘法進行中位數回歸，給出引數 β 0 \beta_{0} β0?和 β 1 \beta_{1} β1?的估計 β 0 ^ \widehat{\beta_{0}} β0? ?和 β 1 ^ \widehat{\beta_{1}} β1? ?.

二、演算法推導

我們的目標函式為：
min ? Q ( β 0 , β 1 ) = ∑ i = 1 n ∣ y i ? β 0 ? β 1 x i ∣ (2) \min Q(\beta_{0},\beta_{1})=\sum_{i=1}^{n}|y_{i}-\beta_{0}-\beta_{1}x_{i}| \tag{2} minQ(β0?,β1?)=i=1∑n?∣yi??β0??β1?xi?∣(2)
首先對 β 0 , β 1 \beta_{0},\beta_{1} β0?,β1?加以約束，使得回歸直線 y = β 0 + β 1 x y=\beta_{0}+\beta_{1}x y=β0?+β1?x過點 ( x k , y k ) (x_{k},y_{k}) (xk?,yk?)，其中 y k y_{k} yk?為資料 y i , i = 1 , 2 , ? ? , n y_{i},i=1,2,\cdots,n yi?,i=1,2,?,n的中位數，
作變換如下：
{ x i ′ = x i ? x k y i ′ = y i ? y k , i = 1 , 2 , ? ? , n (3) \begin{cases} x_{i}'=x_{i}-x_{k}\\ y_{i}'=y_{i}-y_{k} \end{cases},i=1,2,\cdots,n \tag{3} {xi′?=xi??xk?yi′?=yi??yk??,i=1,2,?,n(3)
這樣，(2)就轉化成了(4).
min ? Q ( β 1 ) = ∑ i = 1 n ∣ y i ′ ? β 1 x i ′ ∣ (4) \min Q(\beta_{1})=\sum_{i=1}^{n}|y_{i}'-\beta_{1}x_{i}'| \tag{4} minQ(β1?)=i=1∑n?∣yi′??β1?xi′?∣(4)
為了后面的書寫運算方便，我們仍用 ( x i , y i ) (x_{i},y_{i}) (xi?,yi?)來表示經過變換(3)得到的資料 ( x i ′ , y i ′ ) (x_{i}',y_{i}') (xi′?,yi′?),這樣(4)式就可以寫成下式：
min ? Q ( β 1 ) = ∑ i = 1 n ∣ y i ? β 1 x i ∣ (5) \min Q(\beta_{1})=\sum_{i=1}^{n}|y_{i}-\beta_{1}x_{i}| \tag{5} minQ(β1?)=i=1∑n?∣yi??β1?xi?∣(5)
在求解(5)之前我們先來考慮對于任意的 i i i， Q i ( β 1 ) = ∣ y i ? β i x i ∣ Q_{i}(\beta_{1})=|y_{i}-\beta_{i}x_{i}| Qi?(β1?)=∣yi??βi?xi?∣的最小值，如圖2.1，在 β = y i / x i \beta=y_{i}/x_{i} β=yi?/xi?時， Q i ( β ) Q_{i}(\beta) Qi?(β)取最小值，圖中兩條直線的斜率互為相反數分別為 ? ∣ x i ∣ -|x_{i}| ?∣xi?∣和 ∣ x i ∣ |x_{i}| ∣xi?∣，
在這里插入圖片描述

圖2.1

現在考慮如下資料表：

序號 x i x_{i} xi? y i y_{i} yi?
113
211
324
表2.1

分別畫出 Q 1 ( β 1 ) = ∣ 3 ? β 1 ∣ , Q 2 ( β 1 ) = ∣ 1 ? β 1 ∣ , Q 3 ( β 1 ) = ∣ 4 ? 2 β 1 ∣ Q_{1}(\beta_{1})=|3-\beta_{1}|,Q_{2}(\beta_{1})=|1-\beta_{1}|,Q_{3}(\beta_{1})=|4-2\beta_{1}| Q1?(β1?)=∣3?β1?∣,Q2?(β1?)=∣1?β1?∣,Q3?(β1?)=∣4?2β1?∣和 ∑ i = 1 3 Q i ( β 1 ) \sum_{i=1}^{3}Q_{i}(\beta_{1}) ∑i=13?Qi?(β1?)的圖形，如圖2.2，
可以看出 ∑ i = 1 3 Q i ( β 1 ) \sum_{i=1}^{3}Q_{i}(\beta_{1}) ∑i=13?Qi?(β1?)是一條折線凸函式，該結論對 ∑ i = 1 n Q i ( β 1 ) \sum_{i=1}^{n}Q_{i}(\beta_{1}) ∑i=1n?Qi?(β1?)也是成立的，即 ∑ i = 1 n Q i ( β 1 ) \sum_{i=1}^{n}Q_{i}(\beta_{1}) ∑i=1n?Qi?(β1?)是一折線凸函式，
在這里插入圖片描述

圖2.2

所以，對于 Q ( β 1 ) = ∑ i = 1 n Q i ( β 1 ) Q(\beta_{1})=\sum_{i=1}^{n}Q_{i}(\beta_{1}) Q(β1?)=∑i=1n?Qi?(β1?)， Q ( β 1 ) Q(\beta_{1}) Q(β1?)有 n n n個折點，在 β 1 \beta_{1} β1?軸上，每個折點的橫坐標為 y i / x i , i = 1 , 2 , ? ? , n y_{i}/x_{i},i=1,2,\cdots,n yi?/xi?,i=1,2,?,n，下面我們按照 y i / x i y_{i}/x_{i} yi?/xi?的大小來排序,我們令最小的 y i / x i = β ( 1 ) y_{i}/x_{i}=\beta_{(1)} yi?/xi?=β(1)?，同時，將 β ( 1 ) \beta_{(1)} β(1)?所對應的 Q i ( β 1 ) Q_{i}(\beta_{1}) Qi?(β1?)重新賦值給 Q 1 ( β 1 ) Q_{1}(\beta_{1}) Q1?(β1?)以此類推： β ( 1 ) ≤ β ( 2 ) ≤ ? ≤ β ( n ) \beta_{(1)}\leq \beta_{(2)}\leq \cdots\leq \beta_{(n)} β(1)?≤β(2)?≤?≤β(n)?，且 n n n個 Q i ( β 1 ) Q_{i}(\beta_{1}) Qi?(β1?)在平面坐標系中從左到右依次為 Q 1 ( β 1 ) , Q 2 ( β 1 ) , ? ? , Q n ( β 1 ) Q_{1}(\beta_{1}),Q_{2}(\beta_{1}),\cdots,Q_{n}(\beta_{1}) Q1?(β1?),Q2?(β1?),?,Qn?(β1?)，且它們原來所對應的 x i x_{i} xi?分別重新記為 x 1 , x 2 , ? ? , x n x_{1},x_{2},\cdots,x_{n} x1?,x2?,?,xn?，則當 β ≤ β ( 1 ) \beta\leq \beta_{(1)} β≤β(1)?時，對于所有的 i i i都有 Q i ( β ) Q_{i}(\beta) Qi?(β)的斜率為 ? ∣ x i ∣ -|x_{i}| ?∣xi?∣,故此時， Q ( β 1 ) = ? ∑ i = 1 n ∣ x i ∣ Q(\beta_{1})=-\sum_{i=1}^{n}|x_{i}| Q(β1?)=?∑i=1n?∣xi?∣，我們記 M = ∑ i = 1 n ∣ x i ∣ M=\sum_{i=1}^{n}|x_{i}| M=∑i=1n?∣xi?∣，
當 β ( 1 ) ≤ β ≤ β ( 2 ) \beta_{(1)}\leq \beta\leq\beta_{(2)} β(1)?≤β≤β(2)?時，由于 Q 1 ( β 1 ) Q_{1}(\beta_{1}) Q1?(β1?)的斜率為 ∣ x i ∣ |x_{i}| ∣xi?∣，故 Q ( β 1 ) = ? ∑ i = 1 n ∣ x i ∣ + 2 ∣ x 1 ∣ Q(\beta_{1})=-\sum_{i=1}^{n}|x_{i}|+2|x_{1}| Q(β1?)=?∑i=1n?∣xi?∣+2∣x1?∣，
由此可見，折線 Q ( β 1 ) Q(\beta_{1}) Q(β1?)的斜率只在 β 1 = β ( i ) , i = 1 , 2 , ? ? , n \beta_{1}=\beta_{(i)},i=1,2,\cdots,n β1?=β(i)?,i=1,2,?,n時改變，所以 β 1 = β ( i ) , i = 1 , 2 , ? ? , n \beta_{1}=\beta_{(i)},i=1,2,\cdots,n β1?=β(i)?,i=1,2,?,n是折線 Q ( β 1 ) Q(\beta_{1}) Q(β1?)的折點的橫坐標，并且只有這些折點，從左到右經過每個折點，斜率就會增加 2 ∣ x i ∣ 2|x_{i}| 2∣xi?∣，根據這些，我們就可以找到求出 Q ( β 1 ) Q(\beta_{1}) Q(β1?)最小值的方法，
設最小值點在 β ( r ) \beta_{(r)} β(r)?處達到，那么對于 r r r有
{ ? ∑ i = 1 n ∣ x i ∣ + 2 ∑ j = 1 r ? 1 ∣ x 1 ∣ < 0 , ? ∑ i = 1 n ∣ x i ∣ + 2 ∑ j = 1 r ∣ x 1 ∣ ≥ 0 (6) \begin{cases} -\sum_{i=1}^{n}|x_{i}|+2\sum_{j=1}^{r-1}|x_{1}|<0,\\ -\sum_{i=1}^{n}|x_{i}|+2\sum_{j=1}^{r}|x_{1}|\ge0 \end{cases} \tag{6} {?∑i=1n?∣xi?∣+2∑j=1r?1?∣x1?∣<0,?∑i=1n?∣xi?∣+2∑j=1r?∣x1?∣≥0?(6)或者等價表示為
{ ∑ j = 1 r ? 1 ∣ x 1 ∣ < M 2 , ∑ j = 1 r ∣ x 1 ∣ ≥ M 2 (7) \begin{cases} \sum_{j=1}^{r-1}|x_{1}|<\frac{M}{2},\\ \sum_{j=1}^{r}|x_{1}|\ge\frac{M}{2} \end{cases} \tag{7} {∑j=1r?1?∣x1?∣<2M?,∑j=1r?∣x1?∣≥2M??(7)
下面我們分兩種情況進行討論：
（1）若 ∑ j = 1 r ∣ x 1 ∣ > M 2 \sum_{j=1}^{r}|x_{1}|>\frac{M}{2} ∑j=1r?∣x1?∣>2M?,此時 β 1 ^ = β ( r ) \widehat{\beta_{1}}=\beta_{(r)} β1? ?=β(r)?，由 y k = β 0 ^ + β 1 ^ x k y_{k}=\widehat{\beta_{0}}+\widehat{\beta_{1}}x_{k} yk?=β0? ?+β1? ?xk?得到， β 0 ^ = y k ? β 1 ^ x k = y k ? β ( r ) x k \widehat{\beta_{0}}=y_{k}-\widehat{\beta_{1}}x_{k}=y_{k}-\beta_{(r)}x_{k} β0? ?=yk??β1? ?xk?=yk??β(r)?xk?，此時中位數回歸直線方程為： y = y k ? β ( r ) x k + β ( r ) x (8) y=y_{k}-\beta_{(r)}x_{k}+\beta_{(r)}x \tag{8} y=yk??β(r)?xk?+β(r)?x(8)
（2）若 ∑ j = 1 r ∣ x 1 ∣ = M 2 \sum_{j=1}^{r}|x_{1}|=\frac{M}{2} ∑j=1r?∣x1?∣=2M?,此時 [ β ( r ) , β ( r + 1 ) ] [\beta_{(r)},\beta_{(r+1)}] [β(r)?,β(r+1)?]上所有的點都是 β 1 \beta_{1} β1?的最優估計，我們不妨就取 β 1 ^ = β ( r ) \widehat{\beta_{1}}=\beta_{(r)} β1? ?=β(r)?，最后中位數回歸直線方程于式(8)相同，

三、實際案例與python編程計算

3.1中位數回歸方程的計算

我們來考慮如下這樣一組資料：

y y y x x x
2204
1463
4387
491
952
3036
2615
表3.1.1

下面給出計算中位數回歸方程完整 p y t h o n python python源代碼：

import pandas as pd
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
import math
#一元線性模型的中位數回歸
#匯入資料
dataset=pd.read_excel('LAD for dimension of one.xlsx')

#尋找y的中位數,因為取中位數函式np.median()有時會把中間兩項求平均值，這與我們的目的不和，故自己寫一個程式
dataset=dataset.sort_values(by='y',ascending=True)
n=len(dataset)#資料量大小n
k=math.ceil(n/2)#中位數下標k
yk=dataset.iloc[k-1,0]
xk=dataset.iloc[k-1,1]

#作以中位數為中心的變換
reversef_x=lambda x:x-xk
reversef_y=lambda y:y-yk
dataset['x']=reversef_x(dataset['x'])
dataset['y']=reversef_y(dataset['y'])

#洗掉xi=0的資料
dataset=dataset.drop(dataset[dataset['x'].isin([0])].index)

#計算βi=yi/xi,并以βi的大小排序
dataset['beta']=dataset['y']/dataset['x']
dataset=dataset.sort_values(by='beta',ascending=True)

#計算M
fabs=lambda x:abs(x)
dataset['|x|']=fabs(dataset['x'])
M=dataset['|x|'].sum()

#尋找最優的βr
a=0
for i in range(len(dataset)):
   a+=dataset.iloc[i,3]
   if a<M/2:
       continue
   else:
       beta_r=dataset.iloc[i,2]
       break
#輸出結果
print("中位數回歸曲線方程為：y={}+{}x".format(yk-beta_r*xk,beta_r))

下面給出程式運行結果：
在這里插入圖片描述

3.2資料可視化

下面畫出回歸方程與資料點的圖：
在這里插入圖片描述

圖3.2.1

可以看出中位數回歸直線一定過點 ( x k , y k ) (x_{k},y_{k}) (xk?,yk?)，而且還會經過資料點中的另一個點，
資料可視化部分的代碼如下： 

#資料可視化
#畫出資料散點圖
dataset=pd.read_excel('LAD for dimension of one.xlsx')
plt.scatter(dataset['x'],dataset['y'],c='red',label='原始資料點')
#畫出回歸直線圖
x=np.arange(0,9,1)
y=[]
for i in x:
    yi=yk-beta_r*xk+beta_r*i
    y.append(yi)
plt.plot(x,y,label='回歸直線')
#設定圖例
plt.legend(loc='upper left',frameon=True)
plt.title('中位數回歸直線',size=15)
plt.xlabel('x',size=15)
plt.ylabel('y',size=15)
plt.show()

3.3回歸引數檢驗

下面我們對回歸的情況進行一些必要的檢驗：
在這里插入圖片描述

圖3.3.1

引數檢驗代碼如下： 

#回歸引數檢驗
def get_lr_stats(x, y):
    n = len(x)
    y_prd = yk-beta_r*xk+beta_r*x
    Regression = sum((y_prd - np.mean(y)) ** 2)  # 回歸平方和
    Residual = sum((y - y_prd) ** 2)  # 殘差平方和
    total = sum((y - np.mean(y)) ** 2)  # 總體平方和
    R_square = 1 - Residual / total  # 相關性系數R^2
    message1 = ('相關系數(R^2)： ' + str(R_square) + '；' + '\n' + '總體平方和(TSS)： ' + str(total) + '；' + '\n')
    message2 = ('回歸平方和(RSS)： ' + str(Regression) + '；' + '\n殘差平方和(ESS)： ' + str(Residual) + '；' + '\n')
    return print('\n' + message1 + message2)
get_lr_stats(dataset['x'], dataset['y'])

四、參考文獻

[1]李仲來.最小一乘法介紹[J].數學通報,1992(02):42-45.

轉載請註明出處，本文鏈接：https://www.uj5u.com/houduan/275794.html

標籤：python

上一篇：Python簡單？先來40道基礎面試題測驗下

下一篇：標準BP演算法、累積BP演算法Python實作

標籤雲
其他(157675) Python(38076) JavaScript(25376) Java(17977) C(15215) 區塊鏈(8255) C＃(7972) AI(7469) 爪哇(7425) MySQL(7132) html(6777) 基礎類(6313) sql(6102) 熊猫(6058) PHP(5869) 数组(5741) R(5409) Linux(5327) 反应(5209) 腳本語言(PerlPython)(5129) 非技術區(4971) Android(4554) 数据框(4311) css(4259) 节点.js(4032) C語言(3288) json(3245) 列表(3129) 扑(3119) C++語言(3117) 安卓(2998) 打字稿(2995) VBA(2789) Java相關(2746) 疑難問題(2699) 细绳(2522) 單片機工控(2479) iOS(2429) ASP.NET(2402) MongoDB(2323) 麻木的(2285) 正则表达式(2254) 字典(2211) 循环(2198) 迅速(2185) 擅长(2169) 镖(2155) 功能(1967) .NET技术(1958) Web開發(1951) python-3.x(1918) HtmlCss(1915) 弹簧靴(1913) C++(1909) xml(1889) PostgreSQL(1872) .NETCore(1853) 谷歌表格(1846) Unity3D(1843) for循环(1842)

熱門瀏覽
  • 【C++】Microsoft C++、C 和匯編程式檔案

    ......

    uj5u.com 2020-09-10 00:57:23 more
  • 例外宣告

    相比于斷言適用于排除邏輯上不可能存在的狀態，例外通常是用于邏輯上可能發生的錯誤。 例外宣告 Item 1：當函式不可能拋出例外或不能接受拋出例外時，使用noexcept 理由 如果不打算拋出例外的話，程式就會認為無法處理這種錯誤，并且應當盡早終止，如此可以有效地阻止例外的傳播與擴散。 示例 //不可 ......

    uj5u.com 2020-09-10 00:57:27 more
  • Codeforces 1400E Clear the Multiset(貪心 + 分治)

    鏈接：https://codeforces.com/problemset/problem/1400/E 來源：Codeforces 思路：給你一個陣列，現在你可以進行兩種操作，操作1：將一段沒有 0 的區間進行減一的操作，操作2：將 i 位置上的元素歸零。最終問：將這個陣列的全部元素歸零后操作的最少 ......

    uj5u.com 2020-09-10 00:57:30 more
  • UVA11610 【Reverse Prime】

    本人看到此題沒有翻譯，就附帶了一個自己的翻譯版本 思考 這一題，它的第一個要求是找出所有 $7$ 位反向質數及其質因數的個數。 我們應該需要質數篩篩選1~$10^{7}$的所有數，這里就不慢慢介紹了。但是，重讀題，我們突然發現反向質數都是 $7$ 位，而將它反過來后的數字卻是 $6$ 位數，這就說明 ......

    uj5u.com 2020-09-10 00:57:36 more
  • 統計區間素數數量

    1 #pragma GCC optimize(2) 2 #include <bits/stdc++.h> 3 using namespace std; 4 bool isprime[1000000010]; 5 vector<int> prime; 6 inline int getlist(int ......

    uj5u.com 2020-09-10 00:57:47 more
  • C/C++編程筆記：C++中的 const 變數詳解，教你正確認識const用法

    1、C中的const 1、區域const變數存放在堆疊區中，會分配記憶體（也就是說可以通過地址間接修改變數的值）。測驗代碼如下： 運行結果： 2、全域const變數存放在只讀資料段（不能通過地址修改，會發生寫入錯誤）， 默認為外部聯編，可以給其他源檔案使用（需要用extern關鍵字修飾） 運行結果： ......

    uj5u.com 2020-09-10 00:58:04 more
  • 【C++犯錯記錄】VS2019 MFC添加資源不懂如何修改資源宏ID

    1. 首先在資源視圖中，添加資源 2. 點擊新添加的資源，復制自動生成的ID 3. 在解決方案資源管理器中找到Resource.h檔案，編輯，使用整個專案搜索和替換的方式快速替換 宏宣告 4. Ctrl+Shift+F 全域搜索，點擊查找全部，然后逐個替換 5. 為什么使用搜索替換而不使用屬性視窗直 ......

    uj5u.com 2020-09-10 00:59:11 more
  • 【C++犯錯記錄】VS2019 MFC不懂的批量添加資源

    1. 打開資源頭檔案Resource.h，在其中預先定義好宏 ID（不清楚其實ID值應該設定多少，可以先新建一個相同的資源項，再在這個資源的ID值的基礎上遞增即可） 2. 在資源視圖中選中專案資源，按F7編輯資源檔案，按 ID 型別 相對路徑的形式添加 資源。（別忘了先把檔案拷貝到專案中的res檔案 ......

    uj5u.com 2020-09-10 01:00:19 more
  • C/C++編程筆記：關于C++的參考型別，專供新手入門使用

    今天要講的是C++中我最喜歡的一個用法——參考，也叫別名。 參考就是給一個變數名取一個變數名，方便我們間接地使用這個變數。我們可以給一個變數創建N個參考，這N + 1個變數共享了同一塊記憶體區域。(參考型別的變數會占用記憶體空間，占用的記憶體空間的大小和指標型別的大小是相同的。雖然參考是一個物件的別名，但 ......

    uj5u.com 2020-09-10 01:00:22 more
  • 【C/C++編程筆記】從頭開始學習C ++：初學者完整指南

    眾所周知，C ++的學習曲線陡峭，但是花時間學習這種語言將為您的職業帶來奇跡，并使您與其他開發人員區分開。您會更輕松地學習新語言，形成真正的解決問題的技能，并在編程的基礎上打下堅實的基礎。 C ++將幫助您養成良好的編程習慣（即清晰一致的編碼風格，在撰寫代碼時注釋代碼，并限制類內部的可見性），并且由 ......

    uj5u.com 2020-09-10 01:00:41 more
最新发布
  • Rust中的智能指標:Box<T> Rc<T> Arc<T> Cell<T> RefCell<T> Weak

    Rust中的智能指標是什么 智能指標（smart pointers）是一類資料結構，是擁有資料所有權和額外功能的指標。是指標的進一步發展 指標（pointer）是一個包含記憶體地址的變數的通用概念。這個地址參考，或 ” 指向”（points at）一些其 他資料 。參考以 & 符號為標志并借用了他們所 ......

    uj5u.com 2023-04-20 07:24:10 more
  • Java的值傳遞和參考傳遞

    值傳遞不會改變本身，參考傳遞（如果傳遞的值需要實體化到堆里）如果發生修改了會改變本身。 1.基本資料型別都是值傳遞 package com.example.basic; public class Test { public static void main(String[] args) { int ......

    uj5u.com 2023-04-20 07:24:04 more
  • [2]SpinalHDL教程——Scala簡單入門

    第一個 Scala 程式 shell里面輸入 $ scala scala> 1 + 1 res0: Int = 2 scala> println("Hello World!") Hello World! 檔案形式 object HelloWorld { /* 這是我的第一個 Scala 程式 * 以 ......

    uj5u.com 2023-04-20 07:23:58 more
  • 理解函式指標和回呼函式

    理解 函式指標 指向函式的指標。比如： 理解函式指標的偽代碼 void (*p)(int type, char *data); // 定義一個函式指標p void func(int type, char *data); // 宣告一個函式func p = func; // 將指標p指向函式func ......

    uj5u.com 2023-04-20 07:23:52 more
  • Django筆記二十五之資料庫函式之日期函式

    本文首發于公眾號：Hunter后端 原文鏈接：Django筆記二十五之資料庫函式之日期函式 日期函式主要介紹兩個大類，Extract() 和 Trunc() Extract() 函式作用是提取日期，比如我們可以提取一個日期欄位的年份，月份，日等資料 Trunc() 的作用則是截取，比如 2022-0 ......

    uj5u.com 2023-04-20 07:23:45 more
  • 一天吃透JVM面試八股文

    什么是JVM？ JVM，全稱Java Virtual Machine（Java虛擬機），是通過在實際的計算機上仿真模擬各種計算機功能來實作的。由一套位元組碼指令集、一組暫存器、一個堆疊、一個垃圾回收堆和一個存盤方法域等組成。JVM屏蔽了與作業系統平臺相關的資訊，使得Java程式只需要生成在Java虛擬機 ......

    uj5u.com 2023-04-20 07:23:31 more
  • 使用Java接入小程式訂閱訊息！

    更新完微信服務號的模板訊息之后，我又趕緊把微信小程式的訂閱訊息給實作了！之前我一直以為微信小程式也是要企業才能申請，沒想到小程式個人就能申請。 訊息推送平臺🔥推送下發【郵件】【短信】【微信服務號】【微信小程式】【企業微信】【釘釘】等訊息型別。 https://gitee.com/zhongfuch ......

    uj5u.com 2023-04-20 07:22:59 more
  • java -- 緩沖流、轉換流、序列化流

    緩沖流 緩沖流, 也叫高效流, 按照資料型別分類： 位元組緩沖流：BufferedInputStream，BufferedOutputStream 字符緩沖流：BufferedReader，BufferedWriter 緩沖流的基本原理，是在創建流物件時，會創建一個內置的默認大小的緩沖區陣列，通過緩沖 ......

    uj5u.com 2023-04-20 07:22:49 more
  • Java-SpringBoot-Range請求頭設定實作視頻分段傳輸

    老實說，人太懶了，現在基本都不喜歡寫筆記了，但是網上有關Range請求頭的文章都太水了 下面是抄的一段StackOverflow的代碼...自己大修改過的，寫的注釋挺全的，應該直接看得懂，就不解釋了 寫的不好...只是希望能給視頻網站開發的新手一點點幫助吧. 業務場景：視頻分段傳輸、視頻多段傳輸（理 ......

    uj5u.com 2023-04-20 07:22:42 more
  • Windows 10開發教程_編程入門自學教程_菜鳥教程-免費教程分享

    教程簡介 Windows 10開發入門教程 - 從簡單的步驟了解Windows 10開發，從基本到高級概念，包括簡介，UWP，第一個應用程式，商店，XAML控制元件，資料系結，XAML性能，自適應設計，自適應UI，自適應代碼，檔案管理，SQLite資料庫，應用程式到應用程式通信，應用程式本地化，應用程式 ......

    uj5u.com 2023-04-20 07:22:35 more

Copyright © 2010-2020 有解無憂