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Python小白的數學建模課-07 選址問題

2021-06-14 06:11:05 後端開發


選址問題是要選擇設施位置使目標達到最優，是數模競賽中的常見題型，

小白不一定要掌握所有的選址問題，但要能判斷是哪一類問題，用哪個模型，

進一步學習 PuLP工具包中處理復雜問題的字典格式快捷建模方法，

歡迎關注『Python小白的數學建模課 @ Youcans』系列，每周持續更新


1. 選址問題

選址問題是指在某個區域內選擇設施的位置使所需的目標達到最優，選址問題也是一種互斥的計劃問題，

例如投資場所的選址：企業要在 m 個候選位置選擇若干個建廠，已知建廠費用、運輸費及 n 個地區的產品需求量，應如何進行選址，

選址問題是運籌學中經典的問題之一，選址問題在生產生活、物流、甚至軍事中都有著非常廣泛的應用，如工廠、倉庫、急救中心、消防站、垃圾處理中心、物流中心、導彈倉庫的選址等，更重要的，選址問題也是數模競賽的熱點問題，

選址是重要的長期決策，選址的好壞直接影響到服務方式、服務質量、服務效率、服務成本等，從而影響到利潤和市場競爭力，選址問題的研究有著重大的經濟、社會和軍事意義，

選址問題有四個基本要素：設施、區域、距離和優化目標，

1.1 設施

選址問題中所說的設施，在具體題目中可以是工廠、倉庫、服務站等形式，

1.2 區域

選址問題中所說的區域，在具體題目中可以是工廠、車間的內部布局，也可以是給定的某個地區、甚至空間范圍，

按照規劃區域的特征，可以分為連續選址問題和離散選址問題，連續選址問題，設施可以布局在區域內的任意位置，就要求出最優選址的坐標；離散選址問題，只能從若干候選位置中進行選擇，運籌學中的選址問題通常是這類離散選址問題，

1.3 距離

選址問題中所說的距離，是指設施到服務物件之間的距離，在具體題目中也可以是某個選址位置的服務時間、成本、覆寫范圍，如果用圖論方法求解，通常就是連接頂點的邊的權值，

當問題所關注的是設施到服務物件之間的距離時，如果問題給出的不是頂點之間的距離，而是設施的位置坐標，要注意不是只有歐式距離，對于不同問題也可能是球面距離、曼哈頓距離、切比雪夫距離，

1.4 優化目標

選址問題要求選擇最好的選址位置，但選址位置只是決策變數，選擇的最終目的通常是實作加權距離最短、費用最小、利潤最大、時間最短，這才是優化問題的目標函式，

按照目標函式的特點，可以分為：中位問題，要求總成本最小；中心問題，服務于每個客戶的最大成本最小；反中心問題：服務于每個客戶的最小成本最大，



2. 常見選址問題及建模

2.1 P-中位問題（P-median problem）

P-中位問題，假設有 N 個候選服務站和 M 個需求點，要從 N 個候選服務站中選擇 P 個，使所有需求點到最近的服務站的加權距離 \(d_{ij}\) 的總和最小，需求點 i 的權值，通常是指該需求點的需求量，

這是一個 MinSum 問題，定義決策變數 \(x_j\) 為選中的服務站，\(y_{ij}\) 將各需求點匹配到最近的服務站：

\[x_j = \begin{cases} 1，& 服務站\ j\ 被選中\\ 0，& 服務站\ j\ 未被選中 \end{cases} \]

\[y_{ij} = \begin{cases} 1，& 需求點\ i\ 由服務站\ j\ 服務\\ 0，& 需求點\ i\ 不由服務站\ j\ 服務 \end{cases} \]

可以建立數學模型如下：

\[\begin{align*} & min\;\sum_{i \in M}\sum_{j \in N} w_i d_{ij}y_{ij}\\ & s.t.:\;\begin{cases} \sum_{j \in N} x_{j} = P\\ \sum_{j \in N} y_{ij} = 1，\forall i\\ y_{ij} - x_j \leq 0，\forall i,j\\ x_{j} \in \{0,1\}, \;y_{ij} \in \{0,1\} \end{cases} \end{align*} \]

其中：j 為服務站，i 為需求點，\(w_i\) 為需求點 i 的需求量， \(d_{ij}\) 為需求點 i 到服務站 j 的距離，


2.2 P-中心問題

P-中心問題，假設有 N 個候選服務站和 M 個需求點，要從 N個候選服務站中選擇 P個，使任一需求點到最近的服務站的最大距離最小，

這是一個 MinMax 問題，需要最小化任何需求點與其鄰近設施點的最大距離，P-中位問題追求總和最小，可以理解為發展經濟總量優先；P-中心問題關注最差個體的最好結果，可以理解為優先進行扶貧，

定義決策變數 \(x_j\) 為選中的服務站，\(y_{ij}\) 將各需求點匹配到最近的服務站：

\[x_j = \begin{cases} 1，& 服務站\ j\ 被選中\\ 0，& 服務站\ j\ 未被選中\end{cases} \]

\[y_{ij} = \begin{cases} 1，& 需求點\ i\ 由服務站\ j\ 服務\\ 0，& 需求點\ i\ 不由服務站\ j\ 服務\end{cases} \]

可以建立數學模型如下：

\[\begin{align*} & min\; D\\ & s.t.:\;\begin{cases} \sum_{j \in N} w_i d_{ij} y_{ij} \leq D, \forall i\\ \sum_{j \in N} x_{j} = P\\ \sum_{j \in N} y_{ij} = 1, \forall i\\ y_{ij} - x_j \leq 0, \forall i,j\\ x_{j} \in \{0,1\}, \;y_{ij} \in \{0,1\} \end{cases} \end{align*} \]

其中：j 為服務站，i 為需求點， \(d_{ij}\) 為需求點 i 到服務站 j 的距離，如果只求需求點到最近的服務站的最大距離，則 \(w_i = 1\) ；如果要求任一需求點到最近的服務站的最大運費，則 \(w_i\) 為需求點 i 的需求量，即加權最大距離，


2.3 集合覆寫問題

覆寫模型適用于一些特殊場景，例如消防中心、救護車、巡邏車等應急設施的區位選址問題，覆寫問題分為集合覆寫問題（Set covering problem）和最大覆寫問題（Maximal covering problem），

集合覆寫問題研究滿足覆寫所有需求點顧客的前提下，服務站的最少個數或建設費用最小的問題，假設有 N 個候選服務站和 M 個需求點，已知每個服務站的服務范圍（或服務容量），要從 N個候選服務站中選擇若干個，使所有需求點得到服務（到所屬服務站的距離或時間小于給定的臨界值），服務站的個數最少或成本最小，

定義引數 \(a_{ij}\) 為每個服務站的覆寫范圍：

\[a_{ij} = \begin{cases} 1，& 服務站\ j\ 可以覆寫需求點\ i\\ 0，& 服務站\ j\ 不能覆寫需求點\ i \end{cases} \]

定義決策變數 \(x_j\) 為選中的服務站：

\[x_j = \begin{cases} 1，& 服務站\ j\ 被選中\\ 0，& 服務站\ j\ 未被選中\end{cases} \]

可以建立數學模型如下：

\[\begin{align*} & min\; \sum_{j \in N} c_j x_{j}\\ & s.t.:\;\begin{cases} \sum_{j \in N_i} x_j \geq 1, \forall i \in M\\ x_{j} \in \{0,1\} \end{cases} \end{align*} \]

其中：j 為服務站，i 為需求點，\(c_j\) 為服務站 j 的建設費用（最少個數問題中不需要考慮），\(N_i=\{j:a_{ij}=1\}\) 是覆寫需求點 i 的候選服務站的集合，


2.4 最大覆寫問題

最大覆寫問題研究在已知服務站的數目和服務半徑的條件下，如何設立 P個服務站使得可接受的服務需求最大的問題，

定義決策變數 \(x_j\) 為選中的服務站：

\[x_j = \begin{cases} 1，& 服務站\ j\ 被選中\\ 0，& 服務站\ j\ 未被選中 \end{cases} \]

\[z_i = \begin{cases} 1，& 需求點\ i\ 被覆寫\\ 0，& 需求點\ i\ 未被覆寫\ \end{cases} \]

可以建立數學模型如下：

\[\begin{align*} & max\; \sum_{i \in N_i} w_i z_i\\ & s.t.:\; \begin{cases} z_i \leq \sum_{j \in N_i} x_j , \forall i \in M\\ \sum_{j \in M} x_j = p\\ x_{j} \in \{0,1\}, z_{i} \in \{0,1\} \end{cases} \end{align*} \]

其中：j 為服務站，i 為需求點，\(w_i\) 為需求點 i 的需求量，


2.5 其它選址問題

其它選址問題，在數學建模中應用相對較少，限于篇幅不能逐一介紹其數學模型，在此將各模型的特點簡要介紹，以便判斷問題的型別，

帶固定費用和容量限制的選址問題

服務站建站的固定費用和服務站的容量（能力）限制這兩個因素具有很強的實際意義，經常作為基本選址問題的深化研究課題，
無容量限制的固定費用下的選址問題，就是去掉服務站個數的約束，并將固定建站費用加到 P-中位問題的目標函式上，

選址分配問題

選址分配問題類似于 P-中位問題，有 m 個服務站需要選址，n 個已知位置的顧客分配給不同的設施，已知每個服務站的能力和每個顧客的需求，要求服務站的選址和顧客對服務站的分配，使顧客與所分配服務站的距離總和最小，

隨機選址問題
服務站的運行時間、建設成本、需求點位置、需求數量等全部或部分引數是不確定的，但服從某種隨機分布，

動態選址問題
研究未來若干時間段內服務站的最優選址問題，在不同時間段內動態選址模型的引數是變化的，但在某一時間段內模型引數是確定的，

競爭選址問題
研究考慮市場上存在兩個以上同類產品或服務的提供者，或服務站提供多個產品或服務，


2.6 選址問題的求解演算法與編程實作

設施選址問題通常是是 NP 問題，不存在多項式時間演算法，常用的近似解法有：

線性規劃舍入演算法，相當于整數規劃問題的求解演算法，首先給出原問題的整數規劃模型，然后求解相應的線性規劃松弛問題得到分數最優解，根據可行要求對分數最優解進行改造，構造原問題的整數可行解，

原始對偶演算法，首先找到對偶問題的一個可行解，再根據該對偶可行解構造原始問題的整數可行解，不斷調整對偶問題的可行解，直到找到最優解為止，

區域搜索演算法：給定初始可行解，定義適當的鄰域，通過引入恰當的調整策略，在鄰域中得到改進的可行解，依次迭代，直到調整策略不能改進為止

啟發式演算法或隨機優化演算法，

本節作為線性規劃問題系列的一篇，仍然選擇 PuLP工具包求解選址問題，很多選址問題適合用圖論方法描述和求解，這將在后續課程中進行介紹，


3. 案例 1：PuLP求解指派問題

說明：本案例是指派問題，不是選址問題，因指派問題未單獨成文，因此將該案例放在本文中，

另外，本案例給出了 PuLP 工具包使用字典方式快捷編程的使用方法，這在選址問題中是非常方便的，

3.1 游泳接力賽的指派問題

游泳隊中 A、B、C、D 四名運動員組成 4x100米混合泳接力隊，運動員各種泳姿的成績如下表所示：

隊員\專案 自由泳 蛙泳 蝶泳 仰泳
A 56 74 61 63
B 63 69 65 71
C 57 77 63 67
D 55 76 62 62

如何安排 A、B、C、D 四名運動員的泳姿，才最有可能取得好成績？


3.2 指派問題建模分析

引入 0-1 變數 \(x_{ij}\)：

\[x_{i,j} = \begin{cases} 0，第\;i\;人不游第\;j\;種姿勢\\ 1，第\;i\;人游第\;j\;種姿勢，i,j=1,...4 \end{cases} \]

指派問題的數學模型就可以描述為：

\[\begin{align*} & min\;f(x) = \sum_{i=1} ^n \sum_{j=1} ^n (c_{ij} x_{ij})\\ & s.t.:\;\begin{cases} \sum_{j=1} ^n x_{ij} = 1，i=1,...,n\\ \sum_{i=1} ^n x_{ij} = 1，j=1,...,n\\ x_{ij} = 0,1，i,j=1,...,n \end{cases} \end{align*} \]

其中：

\[c_{i,j}=\left( \begin{matrix} 56 & 74 & 61 & 63 \\ 63 & 69 & 65 & 71 \\ 57 & 77 & 63 & 67 \\ 55 & 76 & 62 & 62 \end{matrix} \right) \]

3.3 指派問題模型求解的編程

模型求解，用標準模型的優化演算法對模型求解，得到優化結果，模型求解的編程步驟如下：

（0）匯入 PuLP庫函式

    import pulp

（1）定義一個規劃問題

    AssignLP = pulp.LpProblem("Assignment_problem_for_swimming_relay_race", sense=pulp.LpMinimize)

pulp.LpProblem 用來定義問題的建構式，引數 sense 指定問題求目標函式的最小值/最大值 ，

（2）定義決策變數

    rows = cols = range(0, 4)
    x = pulp.LpVariable.dicts("x", (rows, cols), cat="Binary")

pulp.LpVariable 用來定義決策變數的函式，引數 cat 設定變數型別，' Binary ' 表示 0/1 變數，

注意，指派問題、選址問題中都涉及 N*M 維矩陣變數，變數個數很多，如果逐一定義非常冗長，而且容易出錯、不便修改，本例使用 pulp.LpVariable.dicts 提供的字典格式定義了 4*4 個變數 \(x_{ij}\)，使程式大為簡化，

（3）添加目標函式

    scoreM = [[56,74,61,63],[63,69,65,71],[57,77,63,67],[55,76,62,62]]
    AssignLP += pulp.lpSum([[x[row][col]*scoreM[row][col] for row in rows] for col in cols])

本例程在陳述句內使用兩重 for 回圈遍歷串列實作所有變數的線性組合 ，使程式大為簡化，

（4）添加約束條件

    for row in rows:
        AssignLP += pulp.lpSum([x[row][col] for col in cols]) == 1 # sum(x(i,j),j=1,4)=1, i=1,4
    for col in cols:
        AssignLP += pulp.lpSum([x[row][col] for row in rows]) == 1 # sum(x(i,j),i=1,4)=1, j=1,4

快捷方法對于約束條件的定義與對目標函式的定義相似，使用字典定義引數，使用回圈定義約束條件，使程式簡單、結構清楚，

（5）求解和結果輸出

    AssignLP.solve()  # youcans
    print(AssignLP.name)
    member = ["隊員A","隊員B","隊員C","隊員D"]
    style = ["自由泳","蛙泳","蝶泳","仰泳"]
    if pulp.LpStatus[AssignLP.status] == "Optimal":  # 獲得最優解
        xValue = https://www.cnblogs.com/youcans/archive/2021/06/13/[v.varValue for v in AssignLP.variables()]
        # [0.0, 0.0, 1.0, 0.0, 0.0, 1.0, 0.0, 0.0, 1.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 1.0]
        xOpt = np.array(xValue).reshape((4, 4))  # 將 xValue 格式轉換為 4x4 矩陣
        print("最佳分配：" )
        for row in rows:
            print("{}\t{} 參加專案：{}".format(xOpt[row],member[row],style[np.argmax(xOpt[row])]))
        print("預測最好成績為：{}".format(pulp.value(AssignLP.objective)))

xValue 獲得的是串列變數，通過 numpy 的 reshape() 函式轉換為 4*4 矩陣，便于格式化輸出，


3.4 指派問題 Python 例程

# mathmodel08_v1.py
# Demo08 of mathematical modeling algorithm
# Solving assignment problem with PuLP.
# Copyright 2021 Youcans, XUPT
# Crated：2021-06-02
# Python小白的數學建模課 @ Youcans

import pulp      # 匯入 pulp 庫
import numpy as np

# 主程式
def main():
    # 問題建模：
    """
        決策變數：
            x(i,j) = 0, 第 i 個人不游第 j 種姿勢
            x(i,j) = 1, 第 i 個人游第 j 種姿勢
            i=1,4, j=1,4
        目標函式：
            min time = sum(sum(c(i,j)*x(i,j))), i=1,4, j=1,4
        約束條件：
            sum(x(i,j),j=1,4)=1, i=1,4
            sum(x(i,j),i=1,4)=1, j=1,4
        變數取值范圍：
            x(i,j) = 0,1 
    """

    # 游泳比賽的指派問題 (assignment problem)
    # 1.建立優化問題 AssignLP: 求最小值(LpMinimize)
    AssignLP = pulp.LpProblem("Assignment_problem_for_swimming_relay_race", sense=pulp.LpMinimize)  # 定義問題，求最小值
    # 2. 建立變數
    rows = cols = range(0, 4)
    x = pulp.LpVariable.dicts("x", (rows, cols), cat="Binary")
    # 3. 設定目標函式
    scoreM = [[56,74,61,63],[63,69,65,71],[57,77,63,67],[55,76,62,62]]
    AssignLP += pulp.lpSum([[x[row][col]*scoreM[row][col] for row in rows] for col in cols])
    # 4. 施加約束
    for row in rows:
        AssignLP += pulp.lpSum([x[row][col] for col in cols]) == 1 # sum(x(i,j),j=1,4)=1, i=1,4
    for col in cols:
        AssignLP += pulp.lpSum([x[row][col] for row in rows]) == 1 # sum(x(i,j),i=1,4)=1, j=1,4
    # 5. 求解
    AssignLP.solve()  # youcans
    # 6. 列印結果
    print(AssignLP.name)
    member = ["隊員A","隊員B","隊員C","隊員D"]
    style = ["自由泳","蛙泳","蝶泳","仰泳"]
    if pulp.LpStatus[AssignLP.status] == "Optimal":  # 獲得最優解
        xValue = https://www.cnblogs.com/youcans/archive/2021/06/13/[v.varValue for v in AssignLP.variables()]
        # [0.0, 0.0, 1.0, 0.0, 0.0, 1.0, 0.0, 0.0, 1.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 1.0]
        xOpt = np.array(xValue).reshape((4, 4))  # 將 xValue 格式轉換為 4x4 矩陣
        print("最佳分配：" )
        for row in rows:
            print("{}\t{} 參加專案：{}".format(xOpt[row],member[row],style[np.argmax(xOpt[row])]))
        print("預測最好成績為：{}".format(pulp.value(AssignLP.objective)))

    return

if __name__ == '__main__':  # Copyright 2021 YouCans, XUPT
    main()  # Python小白的數學建模課 @ Youcans

3.5 Python 例程運行結果

Welcome to the CBC MILP Solver 
Version: 2.9.0 
Build Date: Feb 12 2015 

Result - Optimal solution found

Assignment_problem_for_swimming_relay_race
最佳分配：
[0. 0. 1. 0.]	隊員A 參加專案：蝶泳
[0. 1. 0. 0.]	隊員B 參加專案：蛙泳
[1. 0. 0. 0.]	隊員C 參加專案：自由泳
[0. 0. 0. 1.]	隊員D 參加專案：仰泳
預測最好成績為：249.0

4. 案例 2：PuLP求解選址問題

4.1 消防站的選址問題

例題 2：某城市有 8 個區，每個區最多建一個消防站，擬建設消防站到各區的最長時間如下表所示，現要求任何區域發生火警時，消防車能在 10分鐘內趕到，在此條件下盡量減少消防站數量，應該在哪幾個區建設消防站？

區域 1 2 3 4 5 6 7 8
1 7 12 18 20 24 26 25 28
2 14 5 8 15 16 18 18 18
3 19 9 4 14 10 22 16 13
4 14 15 15 10 18 15 14 18
5 20 18 12 20 9 25 14 12
6 18 21 20 16 20 6 10 15
7 22 18 20 15 16 15 5 9
8 30 22 15 20 14 18 8 6

4.2 選址問題建模分析

首先判斷這是一個集合覆寫問題，要求從 8 個候選消防站中選擇若干個，在所有需求點得到服務的時間都小于臨界值 10分鐘的條件下，選擇消防站的數量最少，本問題不考慮各候選站點建設費用的差異，即不帶權重，

定義引數 \(R_{ij}\) 為每個消防站的覆寫范圍：

\[R_{ij} = \begin{cases} 1，& 消防站\ j\ 可以覆寫區域\ i\\ 0，& 消防站\ j\ 不能覆寫區域\ i \end{cases} \]

由擬建消防站到各區的最長時間表可以得到引數 \(R_{ij}\) 如下表：

區域 1 2 3 4 5 6 7 8
1 1 0 0 0 0 0 0 0
2 0 1 1 0 0 0 0 0
3 0 1 1 0 1 0 0 0
4 0 0 0 1 0 0 0 0
5 0 0 0 0 1 0 0 0
6 0 0 0 0 0 1 1 0
7 0 0 0 0 0 0 1 1
8 0 0 0 0 0 0 1 1

定義決策變數 \(x_j\) 為選中的服務站：

\[x_j = \begin{cases} 1，& 消防站\ j\ 被選中\\ 0，& 消防站\ j\ 未被選中\end{cases} \]

可以建立數學模型如下：

\[\begin{align*} & min\; f(x) = \sum_{j=1}^8 x_{j}\\ & s.t.:\;\begin{cases} \sum_{j=1}^8 x_j R_{ij} \geq 1, &i=1,..8\\ x_{j} \in \{0,1\}, &j=1,..8 \end{cases} \end{align*} \]

選址問題的模型求解，用標準模型的優化演算法對模型求解，得到優化結果，

模型求解的編程步驟與指派問題是一致的，且在例程中給出了詳細的注釋，就不再進行逐項解釋了，

需要注意的是，選址問題的決策變數、引數、約束條件的數量較大（N*M），如果對變數、約束條件逐個進行定義，編程程序將是非常冗長和痛苦的，因此需要使用串列、字典等快捷方式進行定義，對于更大規模的問題，模型中的資料要通過讀取資料檔案獲得，就更需要采用這種方式來編程，


4.3 選址問題 Python 例程

# mathmodel09_v1.py
# Demo08 of mathematical modeling algorithm
# Solving set covering problem with PuLP.
# Copyright 2021 Youcans, XUPT
# Crated：2021-06-06
# Python小白的數學建模課 @ Youcans

import pulp      # 匯入 pulp 庫

# 主程式
def main():

    # 問題建模：
    """
        決策變數：
            x(j) = 0, 不選擇第 j 個消防站
            x(j) = 1, 選擇第 j 個消防站, j=1,8
        目標函式：
            min fx = sum(x(j)), j=1,8
        約束條件：
            sum(x(j)*R(i,j),j=1,8) >=1, i=1,8
        變數取值范圍：
            x(j) = 0,1
    """

    # 消防站的選址問題 (set covering problem, site selection of fire station)
    # 1.建立優化問題 SetCoverLP: 求最小值(LpMinimize)
    SetCoverLP = pulp.LpProblem("SetCover_problem_for_fire_station", sense=pulp.LpMinimize)  # 定義問題，求最小值
    # 2. 建立變數
    zones = list(range(8))  #  定義各區域 youcans
    x = pulp.LpVariable.dicts("zone", zones, cat="Binary")  # 定義 0/1 變數，是否在該區域設消防站
    # 3. 設定目標函式
    SetCoverLP += pulp.lpSum([x[j] for j in range(8)])  # 設定消防站的個數
    # 4. 施加約束
    reachable = [[1, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0],
                 [0, 1, 1, 0, 0, 0, 0, 0],
                 [0, 1, 1, 0, 1, 0, 0, 0],
                 [0, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 0],
                 [0, 0, 0, 0, 1, 0, 0, 0],
                 [0, 0, 0, 0, 0, 1, 1, 0],
                 [0, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 1],
                 [0, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 1]]  # 引數矩陣，第 i 消防站能否在 10分鐘內到達第 j 區域
    for i in range(8):
        SetCoverLP += pulp.lpSum([x[j]*reachable[j][i] for j in range(8)]) >= 1

    # 5. 求解
    SetCoverLP.solve()
    # 6. 列印結果
    print(SetCoverLP.name)
    temple = "區域 %(zone)d 的決策是：%(status)s"  # 格式化輸出
    if pulp.LpStatus[SetCoverLP.status] == "Optimal":  # 獲得最優解
        for i in range(8):
            output = {'zone': i+1,  # 與問題中區域 1~8 一致
                      'status': '建站' if x[i].varValue else '--'}
            print(temple % output)
        print("需要建立 {} 個消防站，".format(pulp.value(SetCoverLP.objective)))

    return

if __name__ == '__main__':  # Copyright 2021 YouCans, XUPT
    main()  # Python小白的數學建模課 @ Youcans

4.4 Python 例程運行結果

Welcome to the CBC MILP Solver 
Version: 2.9.0 
Build Date: Feb 12 2015 

Result - Optimal solution found

SetCover_problem_for_fire_station
區域 1 的決策是：建站
區域 2 的決策是：--
區域 3 的決策是：建站
區域 4 的決策是：建站
區域 5 的決策是：--
區域 6 的決策是：建站
區域 7 的決策是：建站
區域 8 的決策是：--
需要建立 5.0 個消防站

5. 小結

  1. 關于規劃問題，我們從線性規劃、整數規劃、0-1規劃到一些特殊型別問題，用 5節課進行了介紹，到這里就暫告一段落了，后面根據需要，可能還會講非線性規劃，實際上主要是非線性優化問題了，
  2. 雖然各種規劃問題的求解演算法差別很大，但我們所用的編程實作方法都是基于 PuLP工具包，編程步驟都是一致的，
  3. 本系列集中體現了與其它課程的區別，沒有展開講演算法的實作步驟，而是重點講編程方法的選擇、建立模型方程的程序和編程實作的步驟，這主要是為了便于小白學習和掌握，

【本節完】


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