??思維導圖整理大廠面試高頻陣列19: 股票問題III的dp陣列構建/初始化和空間優化難點, 力扣123??

此專欄文章是對力扣上演算法題目各種方法的總結和歸納, 整理出最重要的思路和知識重點并以思維導圖形式呈現, 當然也會加上我對導圖的詳解.

目的是為了更方便快捷的記憶和回憶演算法重點(不用每次都重復看題解), 畢竟演算法不是做了一遍就能完全記住的. 所以本文適合已經知道解題思路和方法, 想進一步加強理解和記憶的朋友, 并不適合第一次接觸此題的朋友(可以根據題號先去力扣看看官方題解, 然后再看本文內容).

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文章目錄

• • 0.導圖整理
  • 1.dp陣列的構建
  • 2.確定遞推公式
  • 3.dp陣列如何初始化
  • 4.最侄訓傳結果
  • 5.空間優化的解釋
  • 原始碼
  • • Python:
    • java:

題目鏈接: https://leetcode-cn.com/problems/best-time-to-buy-and-sell-stock-iii/solution/si-wei-dao-tu-zheng-li-dpshu-zu-gou-jian-csyk/

0.導圖整理

1.dp陣列的構建

本題最難的地方就在于 dp陣列的構建了, 因為它不像前面講過的兩道股票問題那樣, dp陣列只需要用兩種狀態就可以表示了: 當天持有/不持有股票. 本題由于加了 最多買賣兩次 的條件, 使問題一下子就變得復雜了, 用之前的兩種狀態并不能體現 最多買賣兩次 的限制, 所以我們需要重新設計dp陣列.

用上圖中的五種狀態就可以完美地體現出 最多買賣兩次 的限制, 然后經過分析可以看出第一種狀態利潤為0, 對結果沒什么影響, 所以我們最終只要定義剩下的4個狀態即可. 定義dp陣列的名稱還是一貫地采用比較容易識別的名稱, 這比那些用到二維dp陣列, 甚至有些題解用到了三維dp陣列要好多了.

2.確定遞推公式

定義出了dp陣列之后, 按照前面兩題的經驗, 遞推公式就沒太大難度了, 還是每種狀態都由兩種情況組合而來, 最終取最大值:

3.dp陣列如何初始化

本題的初始化也有一定難度, 畢竟dp陣列實在太多了.

先來明確下題目中的隱含條件: 無論題目中是否允許「在同一天買入并且賣出」這一操作, 最終的答案都不會受到影響, 這是因為這一操作帶來的收益為零, 所以為了方便初始化, 這里默認是可以的. 于是就有了下面的初始化程序:

如果題目不允許的話, 那初始化就會稍微麻煩一些了, 比如sell1[i]就只能在第二天進行sell1[1]的初始化了, 同理: buy2[i]在第三天進行buy2[2]的初始化, sell2[i]在第四天進行sell2[3]的初始化, 這就是能否「在同一天買入并且賣出」的不同之處.

4.最侄訓傳結果

在動態規劃結束后,由于我們可以進行不超過兩筆交易,因此最終的答案在0,sell1[i],sell2[i]中, 且為三者中的最大值, 由于在邊界條件中sell1[i],sell2[i]的值已經為0, 并且在狀態轉移的程序中我們維護的是最大值, 因此sell1[i],sell2[i]最終一定大于等于0.

同時, 如果最優的情況對應的是恰好一筆交易, 那么它也會因為我們在轉移時允許在同一天買入并且賣出這一寬松的條件, 從sell1[i]轉移至sell2[i], 可以理解假如最優是 sell1[i] 的話, 可以當天再做一次買賣, 也就是完成兩次交易, 所以無論如何都可以是 sell2[i] 最優.

5.空間優化的解釋

代碼在空間優化上和我們之前說過的直接將陣列用變數來替換就可以了, 但是它在理解上還是有一定難度的.

例如在計算sell1[i]時, 我們直接使用buy1[i]而不是buy1[i-1]進行轉移，buy1[i]比 buy[i-1]多考慮的是在第i天買入股票的情況, 而轉移到sell1[i]時, 考慮的是在第i天賣出股票的情況, 這樣在同一天買入并且賣出收益為零, 不會對答案產生影響, 所以我們才能這樣進行優化.

原始碼

Python:

## 未進行空間優化
class Solution:
    def maxProfit(self, prices: List[int]) -> int:
        n = len(prices)
        buy1 = [0] * n
        sell1 = [0] * n
        buy2 = [0] * n
        sell2 = [0] * n
        buy1[0] = buy2[0] = -prices[0]
        sell1[0] = sell2[0] = 0
        for i in range(1, n):
            buy1[i]  = max(buy1[i-1], -prices[i])
            sell1[i] = max(sell1[i-1], buy1[i-1] + prices[i])
            buy2[i]  = max(buy2[i-1], sell1[i-1] - prices[i])
            sell2[i] = max(sell2[i-1], buy2[i-1] + prices[i])
        return sell2[-1]

## 空間優化
class Solution:
    def maxProfit(self, prices: List[int]) -> int:
        n = len(prices)
        buy1 = buy2 = -prices[0]
        sell1 = sell2 = 0
        for i in range(1, n):
            buy1 = max(buy1, -prices[i])
            sell1 = max(sell1, buy1 + prices[i])
            buy2 = max(buy2, sell1 - prices[i])
            sell2 = max(sell2, buy2 + prices[i])
        return sell2

java:

//未進行空間優化
class Solution {
    public int maxProfit(int[] prices) {
        int n = prices.length;
        int[] buy1 = new int[n];
        int[] sell1 = new int[n];
        int[] buy2 = new int[n];
        int[] sell2 = new int[n];
        buy1[0] = -prices[0]; sell1[0] = 0;
        buy2[0] = -prices[0]; sell2[0] = 0;
        for (int i = 1; i < n; ++i) {
            buy1[i]  = Math.max(buy1[i-1], -prices[i]);
            sell1[i] = Math.max(sell1[i-1], buy1[i-1] + prices[i]);
            buy2[i]  = Math.max(buy2[i-1], sell1[i-1] - prices[i]);
            sell2[i] = Math.max(sell2[i-1], buy2[i-1] + prices[i]);
        }
        return sell2[n-1];
    }
}

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