1. 三角剖分與Delaunay剖分的定義
如何把一個散點集合剖分成不均勻的三角形網格，這就是散點集的三角剖分問題，散點集的三角剖分，對數值分析以及圖形學來說，都是極為重要的一項預處理技術，該問題圖示如下：
1.1.三角剖分定義
【定義】三角剖分：假設V是二維實數域上的有限點集，邊e是由點集中的點作為端點構成的封閉線段, E為e的集合，那么該點集V的一個三角剖分T=(V,E)是一個平面圖G，該平面圖滿足條件：
1.除了端點，平面圖中的邊不包含點集中的任何點，
2.沒有相交邊，
3.平面圖中所有的面都是三角面，且所有三角面的合集是散點集V的凸包，
1.2. Delaunay三角剖分的定義
在實際中運用的最多的三角剖分是Delaunay三角剖分，它是一種特殊的三角剖分，先從Delaunay邊說起：
【定義】Delaunay邊：假設E中的一條邊e（兩個端點為a,b），e若滿足下列條件，則稱之為Delaunay邊：存在一個圓經過a,b兩點，圓內(注意是圓內，圓上最多三點共圓)不含點集V中任何其他的點，這一特性又稱空圓特性，
【定義】Delaunay三角剖分：如果點集V的一個三角剖分T只包含Delaunay邊，那么該三角剖分稱為Delaunay三角剖分，
1.3.Delaunay三角剖分的準則
要滿足Delaunay三角剖分的定義，必須符合兩個重要的準則：
1、空圓特性：Delaunay三角網是唯一的（任意四點不能共圓），在Delaunay三角形網中任一三角形的外接圓范圍內不會有其它點存在，如下圖所示：
2、最大化最小角特性：在散點集可能形成的三角剖分中，Delaunay三角剖分所形成的三角形的最小角最大，從這個意義上講，Delaunay 三角網是“最接近于規則化的“的三角網，具體的說是指在兩個相鄰的三角形構成凸四邊形的對角線，在相互交換后，六個內角的最小角不再增大，如下圖所示：
1.4.Delaunay三角剖分的特性
以下是Delaunay剖分所具備的優異特性：
1.最接近：以最近臨的三點形成三角形，且各線段(三角形的邊)皆不相交，
2.唯一性：不論從區域何處開始構建，最終都將得到一致的結果，
3.最優性：任意兩個相鄰三角形形成的凸四邊形的對角線如果可以互換的話，那么兩個三角形六個內角中最小的角度不會變大，
4.最規則：如果將三角網中的每個三角形的最小角進行升序排列，則Delaunay三角網的排列得到的數值最大，
5.區域性：新增、洗掉、移動某一個頂點時只會影響臨近的三角形，
6.具有凸多邊形的外殼：三角網最外層的邊界形成一個凸多邊形的外殼，
1.5.區域最優化處理
理論上為了構造Delaunay三角網，Lawson提出的區域優化程序LOP(Local Optimization Procedure)，一般三角網經過LOP處理，即可確保成為Delaunay三角網，其基本做法如下所示：
1.將兩個具有共同邊的三角形合成一個多邊形，
2.以最大空圓準則作檢查，看其第四個頂點是否在三角形的外接圓之內，
3.如果在，修正對角線即將對角線對調，即完成區域優化程序的處理，
LOP處理程序如下圖所示：
2.Delaunay剖分的演算法
Delaunay剖分是一種三角剖分的標準，實作它有多種演算法，
2.1.Lawson演算法
逐點插入的Lawson演算法是Lawson在1977年提出的，該演算法思路簡單，易于編程實作，基本原理為：首先建立一個大的三角形或多邊形，把所有資料點包圍起來，向其中插入一點，該點與包含它的三角形三個頂點相連，形成三個新的三角形，然后逐個對它們進行空外接圓檢測，同時用Lawson設計的區域優化程序LOP進行優化，即通過交換對角線的方法來保證所形成的三角網為Delaunay三角網，
上述基于散點的構網演算法理論嚴密、唯一性好，網格滿足空圓特性，較為理想，由其逐點插入的構網程序可知，遇到非Delaunay邊時，通過洗掉調整，可以構造形成新的Delaunay邊，在完成構網后，增加新點時，無需對所有的點進行重新構網，只需對新點的影響三角形范圍進行區域聯網，且區域聯網的方法簡單易行，同樣，點的洗掉、移動也可快速動態地進行，但在實際應用當中，這種構網演算法當點集較大時構網速度也較慢，如果點集范圍是非凸區域或者存在內環，則會產生非法三角形，
2.2.Bowyer-Watson演算法
Lawson演算法的基本步驟是：
1、構造一個超級三角形，包含所有散點，放入三角形鏈表，
2、將點集中的散點依次插入，在三角形鏈表中找出其外接圓包含插入點的三角形（稱為該點的影響三角形），洗掉影響三角形的公共邊，將插入點同影響三角形的全部頂點連接起來，從而完成一個點在Delaunay三角形鏈表中的插入，
3、根據優化準則對區域新形成的三角形進行優化，將形成的三角形放入Delaunay三角形鏈表，
4、回圈執行上述第2步，直到所有散點插入完畢，
這一演算法的關鍵的第2步圖示如下：
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