1. 信號的能量和功率

信號主要分為兩種兩種，連續信號和離散信號，連續信號采樣可以得到離散信號，離散信號也可以恢復成為連續信號，

關于信號本身最重要的概念是能量和功率，
對于電功率一般定義為：
1 t 2 ? t 1 ∫ t 1 t 2 p ( t ) ? d t = 1 t 2 ? t 1 ∫ t 1 t 2 1 R v 2 ? d t \frac{1}{t_2-t_1}\int_{t_1}^{t_2}p(t)\,\mathrm dt= \frac{1}{t_2-t_1}\int_{t_1}^{t_2}\frac{1}{R}v^2\,\mathrm dt t2??t1?1?∫t1?t2??p(t)dt=t2??t1?1?∫t1?t2??R1?v2dt
這個例子給出了我們定義能量和功率的一個思路，由于信號可能是復數，通過平方將為我們提供極大的便利，

隨后考慮去掉常數，更簡單地定義一個信號的能量和功率，

2. 自變數變換

2.1. 時移和時變

高中考點：函式的平移和伸縮變換綜合應用

一般地討論：

• Q1：如何繪制 A x ( a t + b ) Ax(at+b) Ax(at+b)：先向左平移 b b b，然后將橫坐標變為原來的 1 a \frac{1}{a} a1?，縱坐標變為原來的 A A A倍，或者先壓縮，再平移 b a \frac{b}{a} ab?
• Q2（DSP）：通過 x [ n ] x[n] x[n]，構成 x [ a n ] x[an] x[an]中可能出現無定義或者資訊損失， a ∈ N , ∣ a ∣ > 1 a\in \N, |a| > 1 a∈N,∣a∣>1時，比如 a = 2 a = 2 a=2，此時奇數無定義，如果無定義處補齊稱為內插，若 ∣ a ∣ < 1 |a|<1 ∣a∣<1，比如 a = 1 2 a=\frac{1}{2} a=21?時，資訊發生損失，稱為抽取，

2.2. 周期性

基波周期（Fundamental Period）：最小正周期

思考

• Q1：無基波周期的周期函式？Dirichlet函式
• Q2：周期函式相加不一定是周期函式，比如 T 1 T 2 = π \displaystyle\frac{T_1}{T_2} = \pi T2?T1??=π，由于無最小公倍數，加和所得函式的周期將趨近無窮大，
• Q3： f f f和 g g g是 T T T為基波周期的函式，相加所得函式的可能周期為 T m , m ∈ N \frac{T}{m}, m\in\N mT?,m∈N
• Q4： f f f和 g g g分別是 T T T和 2 T 2T 2T為基波周期的函式，相加所得函式的可能周期為 2 T 2 m + 1 , m ∈ N \frac{2T}{2m+1},m\in\N 2m+12T?,m∈N

  1. 對兩個函式可以構造出更小的基波周期的函式，我們可以反向理解，我們可以通過先構造 2 T 3 \frac{2T}{3} 32T?為基波周期的 H H H函式，然后同 f f f相加，就可以得到 g g g
  2. 分母不能為偶數，否則利用如上的方法，上下約分之后，得到 g g g的周期為 T T T，這是矛盾的，

2.3. 奇偶性

E v { x ( t ) } = △ x ( t ) + x ( ? t ) 2 O d { x ( t ) } = △ x ( t ) ? x ( ? t ) 2 \mathrm{Ev}\{x(t)\}\xlongequal{\triangle}\frac{x(t)+x(-t)}{2}\\ \mathrm{Od}\{x(t)\}\xlongequal{\triangle}\frac{x(t)-x(-t)}{2} Ev{x(t)}△ 2x(t)+x(?t)?Od{x(t)}△ 2x(t)?x(?t)?

δ \delta δ函式為偶函式，

3. 典型信號與重要的奇異信號

3.1. 指數信號和正弦信號

復指數在工程上不存在，但為數學的分析提供了便利，

3.2. 單位階躍信號

• 是沖激函式的積分，
• 用于截取正向的信號

3.3. 單位沖激信號

極限定義比較直觀但數學上不易使用，利用Dirac定義和分布函式定義更易使用，
∫ ? ∞ ∞ δ ( t ) ? d t = 1 δ ( t ) = 0 , ( t =? 0 ) \int_{-\infty}^{\infty}\delta(t)\,\mathrm dt = 1\\ \delta(t) = 0, (t \not =0) ∫?∞∞?δ(t)dt=1δ(t)=0,(t?=0)

4. 基本的系統性質

4.1. 因果性

不依賴未來情況，物理可實作的系統均具有因果性，表示如下：
y ( t ) = ∑ i = 0 n x ( t ? t i ) y(t) = \sum\limits_{i = 0}^n x(t-t_i) y(t)=i=0∑n?x(t?ti?)

其中 t i ≥ 0 t_i \geq 0 ti?≥0則稱為因果系統

例 y ( t ) = x ( t 3 ) y(t) = x(\frac{t}{3}) y(t)=x(3t?)不是因果系統， t < 0 t<0 t<0時，系統取決于未來的情況， y ( t ) = d x d t y(t)=\frac{\mathrm dx}{\mathrm dt} y(t)=dtdx?當導數通過右導數定義時，就是非因果的，

4.2. 記憶性

記憶性可以看成非因果系統的擴充，

這句話反過來說，非記憶系統一定是因果系統，

• 按照定義，非因果系統也稱為記憶系統
• 通常，利用導數定義的系統都會有記憶性（通過積分，可以把過去的情況呈現在當下）
• 實際系統中，記憶直接與能量存盤相關

4.3. 線性

齊次性+可加性

線性的證明通常判別兩個不同如數的輸出是否可以按權加和輸出，

反例：
y ( t ) = x ( t ) + 1 y(t) = x(t) + 1 y(t)=x(t)+1
不是一個時不變系統，但是除去常數部分之后，具有線性，因而稱為增量線性系統

例：
y ( t ) = 2 y ( 1 ) + x ( t ) y(t) = 2y(1) + x(t) y(t)=2y(1)+x(t)

代入 t = 1 t = 1 t=1，可求 y ( 1 ) = ? x ( 1 ) y(1) = -x(1) y(1)=?x(1)，從而使得原式化簡為：
y ( t ) = ? x ( 1 ) + x ( t ) y(t)=-x(1)+x(t) y(t)=?x(1)+x(t)
此例是一個線性系統，同上一例不同的是，看似是常數的 x ( 1 ) x(1) x(1)實際上是與輸入函式相關的，

與輸入關聯和非關聯的輸出成分，分別對應后面講到的

4.4. 時不變性

輸入和輸出的時移特征相同，
這一點說明如果內層有使其加倍的，那么將成為時變的，因為時移也被再映射了，

比如： y ( t ) = x ( 2 t ) y(t) = x(2t) y(t)=x(2t)就是一個時變系統？
y ( t ? t 0 ) = x ( 2 ( t ? t 0 ) ) = x ( 2 t ? 2 t 0 ) =? x ( 2 t ? t 0 ) y(t-t_0) = x(2(t-t_0)) = x(2t-2t_0) \not = x(2t - t_0) y(t?t0?)=x(2(t?t0?))=x(2t?2t0?)?=x(2t?t0?)

4.5. 穩定性

使系統傾向于收束，

穩定性判據：BIBO

也可以利用微分方程定性分析穩定，

4.6. 可逆性

可以建立輸入和輸出的一一對應

• 值域不重復（可求反函式）
• 不丟失定義域（原系統利用內插進行定義）

對應這兩個問題，有以下兩個例題：

• 反 例 1 \color{#FF0000}{反例}1 反例1 y ( t ) = x ( t ) + x ( 1 ? t ) y(t) = x(t) + x(1-t) y(t)=x(t)+x(1?t)有 y ( 0 ) = y ( 1 ) = x ( 0 ) + x ( 1 ) y(0) = y(1) = x(0) + x(1) y(0)=y(1)=x(0)+x(1)
• 反 例 2 \color{#FF0000}{反例}2 反例2 y ( t ) = x ( 2 t ) y(t) = x(2t) y(t)=x(2t)是可逆的， y [ n ] = x [ 2 n ] y[n] = x[2n] y[n]=x[2n]是不可逆的，這個離散系統在映射程序當中發生了資料丟失，

另一個略顯復雜的例題：
y ( t ) = x ( t ) ( a + cos ? ( ω t ) ) y(t) = x(t)(a+\cos(\omega t)) y(t)=x(t)(a+cos(ωt))
首先，無論 x x x是什么，只要 ∣ a ∣ ≤ 1 |a| \leq 1 ∣a∣≤1則一定會出現多個零點，反函式稱為多值函式，
分析 a a a足夠大時，才能使得波動的影響比較小，輸出與輸入近似為線性，使得其一 一對應，