文章目錄
- 前言
- 一、傳遞函式
- 1.什么是傳遞函式
- 2.FIR與IIR在傳遞函式上的區別（FIR）
- 3.FIR與IIR在傳遞函式上的區別（IIR）
- 4.FIR的抽頭系數/FIR的階數
- 5.FIR濾波器的線性相位
- 二、CIC濾波器與滑動平均濾波器
- 1.CIC濾波器
- 2.滑動平均濾波器（=CIC單級濾波器）
- 3.多級CIC在FPGA中累加器溢位的問題
前言
?本人常常使用matlab做資料處理，往往是會使用滑動平均濾波器，但是鑒于本人是做FPGA的，發現這個滑動平均濾波器和CIC濾波器極度相似，且自己在使用程序中對滑動平均濾波器的頻響比較模糊，所以在參考了書本以及大量csdn、知乎的博主后，寫一篇相關博客，來解釋滑動平均濾波器與CIC濾波器的關系以及FIR濾波器的一些內容，如果想探究詳細的數學推導還是看書最靠譜，本文盡可能使用簡單的公式與結論，
一、傳遞函式
?滑動平均濾波器與CIC濾波器都是FIR濾波器，也就是所謂的有限沖擊回應濾波器，這里先簡單介紹一下濾波器的相關概念，
1.什么是傳遞函式
?matlab中的filter函式的標準使用方法就是y=filter(b,a,x)，其中b和a共同構成了傳遞函式（也成為系統函式），x代表進入濾波器的資料，y代表濾波器輸出的資料，例如下圖中H（z）就是一個傳遞函式
?傳遞函式往往用拉氏變換（復頻域）或者z變換（圓頻域）來表示，都是頻域的一種表達形式，這個傳遞函式表示的就是系統的輸出/輸入的頻響曲線，濾波器也屬于一種系統，自然也有自己的傳遞函式來表征它的頻響特點，
?這個傳遞函式怎么來的呢，對于常見的線性時不變離散系統來講（對于matlab處理信號的大部分情況默認是這個就可以了），其表現形式一般是下圖
?其中，y(n)是輸出，x(n)是輸入，y(n-k)是y(n)延遲k個時刻，x(n-r)是x(n)延遲r個時刻，帶有角標的a和b就是系數，將上圖兩邊進行z變換，就可以得到下圖，
?Y(z)就是輸出的z變換，X(z)就是輸入的z變換，將Y(z)/X(z)，這就是傳遞函式H(z)，表征了這個系統的輸出/輸入的z變換形式，也就是頻響特征，再通過數學推導，并聯立下圖（時域的卷積）
?最終可以得到下圖
?h(n)就是系統的沖擊回應，也就是H(z)的逆z變換，在時域上表征系統的輸出/輸入，從上圖可以看出H(z)就是一個z的有理分數式，這也就是傳遞函式的由來，
2.FIR與IIR在傳遞函式上的區別（FIR）
?FIR，中文名是有限沖擊響濾波器，其實就是濾波器傳遞函式的逆z變換，也就是上圖中的h(n)，是有限的，那么FIR的傳遞函式就是如下所示，
?可以看到，求和上的∞變成了M，也就是這個FIR系統的沖激回應h(n)最多只有M個非零值，是有限的，其余必定是0，所以這就是有限沖擊回應濾波器的由來，再回過頭來看matlab中filter函式的定義，
?所以在使用matlab的filter designer工具時，生成了一個一位陣列，也就是b，根據FIR的傳遞函式的性質，a則可以直接為1，
3.FIR與IIR在傳遞函式上的區別（IIR）
?IIR，中文名是無限沖擊響濾波器，就是濾波器傳遞函式的逆z變換，也就是h(n)，是無限的，IIR的傳遞函式如下圖所示，
4.FIR的抽頭系數/FIR的階數
?FIR的濾波器在頻域上的體現就是傳遞函式，在時域上的體現是h(n)卷積x(n)，h(n)畢竟是有限的，所以FIR的表現形式如下圖所示，在a1與a(M)都不為0的情況下，濾波器的階數就是M+1，抽頭系數就是a，總計M+1個，
5.FIR濾波器的線性相位
?FIR濾波器可以最突出的特點就是可以做到線性相位，而IIR的相位特性是非線性的，當FIR的有限沖擊回應h(n)，即抽頭系數，滿足偶對稱或者奇對稱，即h(n)=h(N-1-n)或h(n)=-h(N-1-n)時，FIR的相位特性是線性的，matlab中的眾多FIR抽頭系數設計函式或工具，都可以自動保持線性相位，例如工具filter designer，
?得到的抽頭系數，plot出來就是
?可以看到就是偶對稱的，自然可以做到線性相位，
?關于FIR與IIR的優缺點，如果能夠理解上述內容，隨便百度一下，就能夠看懂，如果不能理解原理，那知道優缺點的內容也沒什么實質意義，
二、CIC濾波器與滑動平均濾波器
?如果上面的東西已經理解了，那么現在就可以去研究一下CIC濾波器和滑動平均濾波器了，
?第一章的內容多是參考書本，但第二章的內容很多就是參考眾多帶佬所提煉出來的了，出于傳播知識的同時也要尊重知識的想法，會把鏈接放出來，希望想深究的可以自己親自研究一下，
1.CIC濾波器
知乎關于CICl濾波器的決議
單級CIC的幅頻回應推導
多級CIC的使用
?CIC濾波器的硬體結構為積分器與梳妝FIR濾波器，共同構成了CIC濾波器，它的傳遞函式如下圖所示，
?把上圖中的分子因式分解就可以約掉分母，得到
?這也就滿足了FIR濾波器的傳遞函式運算式，
?設D=10，
?在matlab畫出這個CIC的幅頻回應，為
?可以看到它是一個低通濾波器，在2*pi/D，也就是Fs/D（Fs：采樣率）的整數倍（最大只能到pi/D，也就是Fs/2D）上的抑制效果很明顯，但是阻帶衰減能力不足,只有13db左右，應當注意一點的是以上所講的只是最簡單的單級CIC，如果看了上面這些博客，會發現CIC很大的用處是級聯使用，應用于抽取和內插，配合Noble等式，在硬體上，例如FPGA中，以非常低的資源消耗實作想要的濾波效果，
2.滑動平均濾波器（=CIC單級濾波器）
?從上一節的傳遞函式約掉分母可以看出，滑動平均濾波器是CIC濾波器的一種，也就是單級CIC，滑動平均濾波器可以使波形變得更平滑，其實本質上，它是一個FIR低通濾波器，假設它的窗寬是DM，那么下圖所示就是根據它的傳遞函式得出傅里葉變換運算式（圓頻率下）
?當w趨近于0時，這個濾波器有著最大的幅度增益，也就是窗寬DM，增益就是20log（DM）db，可以看到上圖窗寬為10時，原點是20db，這就是為什么在滑動濾波器的實際使用中，抽頭系數要用1/DM來表示，那么頻率為0時，增益最大就是0db，
?那如何根據實際需要設計滑動平均濾波器呢？其實就是設計低通濾波器的截止頻率，至于你的截止頻率設定在多少肯定要根據你自己的信號處理要求了，
?下面對涉及采樣定律的滑動平均濾波器的幅頻回應進行推導，沒有找到相似的內容，這里直接進行手寫：
?上圖中，Fs代表采樣率，f代表頻率，D為窗寬，如果已知-3db時的截止頻率，想計算窗寬，只需對sinc函式的值域了解一下，知道sinc函式在0.707左右時，x的值約等于0.443，然后根據x=f*D/Fs反推f的值就可以了，這里給一個一般性結論，即
3.多級CIC在FPGA中累加器溢位的問題
?可以看到，CIC濾波器如果單級使用，在FPGA也可以不用累加器和梳妝FIR，就當成滑動平均來用，但如果級聯CIC的情況下，必然要使用累加器和梳妝FIR，累加器就是無限加法，梳妝FIR就是減法，但是累加器有一個問題就是會因為不停加法而溢位，在數字信號處理的書中與上面的一篇知乎文章中都有提及，就是如果累加器位寬滿足一定要求，并且采用補碼進行運算的話，則不會有這個問題，
?需要宣告一點，關于這個內容的推導我并沒有進行，也沒有深究，只是疑惑累加器溢位的問題而找到了一些答案，
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