1. HFE

Hierarchical Feature Engineering，簡寫 HFE，包含四個階段，分別是：

• 特征工程階段（Feature engineering phase）
• 基于相關性的過濾階段（Correlation-based filtering phase）
• 基于資訊增益的過濾階段（Information Gain based filtering phase）
• 基于資訊增益的葉過濾階段（IG-based leaf filtering phase）

1.1. Feature engineering phase

上圖中，樹結構共有 8 層，前七層是生物學的分類：界（Kingdom）、門（Phylum），綱（Class），目（Order）、科（Family）、屬（Genus）和種（Species），論文中額外在最底層增加了一層：OTU 層，

資料集中原有的特征向量表示為：

( o j i ) n × m = [ o 1 1 o 2 1 … o m 1 o 1 2 o 2 2 … o m 2 … … … … o 1 n o 2 n … o m n ] , i ∈ [ 1 , 2 , … , n ] , j ∈ [ 1 , 2 , … , m ] . (o^i_j)_{n \times m}= \begin{bmatrix} o^1_1 & o^1_2 & \dots & o^1_m \\ o^2_1 & o^2_2 & \dots & o^2_m \\ \dots & \dots & \dots & \dots \\ o^n_1 & o^n_2 & \dots & o^n_m \\ \end{bmatrix}, i \in [1, 2, \dots, n], j \in [1, 2, \dots, m]. (oji?)n×m?=?????o11?o12?…o1n??o21?o22?…o2n??…………?om1?om2?…omn???????,i∈[1,2,…,n],j∈[1,2,…,m].

將較高分類單元 i k i_k ik? 視為潛在特征，其相對豐度是自下而上的樹遍歷中各自孩子 C C C 的相對豐度的累加和：

o i k = ∑ c ∈ C ( i k ) o c . o_{i_k} = \sum_{c \in C(i_k)} o_c. oik??=c∈C(ik?)∑?oc?.

樹結構中的某個非葉子節點，是一個具有較高層次的潛在特征，我們將其記為 i k i_k ik?，它的孩子節點的集合記為 C ( i k ) C(i_k) C(ik?)，則按照公式計算 i k i_k ik? 的相對豐度 o i k o_{i_k} oik??：

o i k = [ o i k 1 o i k 2 … o i k n ] = [ ∑ c ∈ C ( i k ) o c 1 ∑ c ∈ C ( i k ) o c 2 … ∑ c ∈ C ( i k ) o c n ] . o_{i_k} = \begin{bmatrix} o^1_{i_k} \\ o^2_{i_k} \\ \dots \\ o^n_{i_k} \\ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \sum_{c \in C(i_k)} o^1_c \\ \sum_{c \in C(i_k)} o^2_c \\ \dots \\ \sum_{c \in C(i_k)} o^n_c \\ \end{bmatrix}. oik??=?????oik?1?oik?2?…oik?n???????=?????∑c∈C(ik?)?oc1?∑c∈C(ik?)?oc2?…∑c∈C(ik?)?ocn???????.

所有較高層次的潛在特征，組成一個內部節點的特征集合，表示如下：
[ o i 1 1 o i 2 1 … o i m ￣ 1 o i 1 2 o i 2 2 … o i m ￣ 2 … … … … o i 1 n o i 2 n … o i m ￣ n ] \begin{bmatrix} o^1_{i_1} & o^1_{i_2} & \dots & o^1_{i_{\overline{m}}} \\ o^2_{i_1} & o^2_{i_2} & \dots & o^2_{i_{\overline{m}}} \\ \dots & \dots & \dots & \dots \\ o^n_{i_1} & o^n_{i_2} & \dots & o^n_{i_{\overline{m}}} \\ \end{bmatrix} ?????oi1?1?oi1?2?…oi1?n??oi2?1?oi2?2?…oi2?n??…………?oim?1?oim?2?…oim?n???????

原始特征和內部節點衍生出來的特征，共同構成擴展特征向量，其表示形式如下所示：
F = [ o 1 1 o 2 1 … o m 1 o i 1 1 o i 2 1 … o i m ￣ 1 o 1 2 o 2 2 … o m 2 o i 1 2 o i 2 2 … o i m ￣ 2 … … … … … … … … o 1 n o 2 n … o m n o i 1 n o i 2 n … o i m ￣ n ] F = \begin{bmatrix} o^1_1 & o^1_2 & \dots & o^1_m & o^1_{i_1} & o^1_{i_2} & \dots & o^1_{i_{\overline{m}}} \\ o^2_1 & o^2_2 & \dots & o^2_m & o^2_{i_1} & o^2_{i_2} & \dots & o^2_{i_{\overline{m}}} \\ \dots & \dots & \dots & \dots & \dots & \dots & \dots & \dots \\ o^n_1 & o^n_2 & \dots & o^n_m & o^n_{i_1} & o^n_{i_2} & \dots & o^n_{i_{\overline{m}}} \\ \end{bmatrix} F=?????o11?o12?…o1n??o21?o22?…o2n??…………?om1?om2?…omn??oi1?1?oi1?2?…oi1?n??oi2?1?oi2?2?…oi2?n??…………?oim?1?oim?2?…oim?n???????

1.2. Correlation-based filtering phase

對于層級中每對 “父親-孩子”，皮爾遜相關系數（Pearson correlation coefficient） ρ \rho ρ 是父親節點和孩子節點的一組向量計算出來的，
如果 ρ \rho ρ 比預定義的閾值 θ p \theta_{p} θp? 大，那么移除孩子節點；否則保留孩子節點作為層級結構的一部分，

operation = { remove , if ρ > θ p ; retain , otherwise. \text{operation} = \begin{cases} \text{remove}, \text{ if } \rho > \theta_{p}; \\ \text{retain}, \text{ otherwise.} \end{cases} operation={remove, if ρ>θp?;retain, otherwise.?

對于任意的非葉子節點 i k i_k ik?，它的孩子節點集合是 C ( i k ) C(i_k) C(ik?)，則

? i k , c ∈ C ( i k ) \forall i_k, c \in C(i_k) ?ik?,c∈C(ik?),
operation = { remove c , if ρ ( i k , c ) > θ p ; retain c , otherwise. \text{operation } = \begin{cases} \text{remove } c, \text{ if } \rho(i_k, c) > \theta_{p}; \\ \text{retain } c, \text{ otherwise.} \end{cases} operation ={remove c, if ρ(ik?,c)>θp?;retain c, otherwise.?

1.3. Information Gain ( I G IG IG) based filtering phase

根據上一階段保留的節點，從葉子到根（即每個 OTU 的世系）構建所有路徑，

對每條路徑而言，計算路徑上每個節點關于標簽/類別 L L L 的 I G IG IG，

平均 I G IG IG 作為閾值 θ \theta θ，用于丟棄具有較小 I G IG IG 值或者零值的節點，

需要注意的是，具有不完整路徑上的葉子節點不參與這一步，這些葉子節點將在 1.4. 中處理，

公式表示如下：
θ i g = ∑ p ∈ P I G ( o p , L ) ∣ P ∣ \theta_{ig} = \frac{\sum_{p \in P} IG(o_p, L)}{\left| P \right|} θig?=∣P∣∑p∈P?IG(op?,L)?

? c in a complete leaf-root path P in T \forall c \text{ in a complete leaf-root path } P \text{ in } T ?c in a complete leaf-root path P in T,

operation = { remove c , if I G ( o c , L ) < θ i g ; retain c , otherwise. \text{operation } = \begin{cases} \text{ remove } c, \text{ if } IG(o_c, L) < \theta_{ig}; \\ \text{ retain } c, \text{ otherwise.} \end{cases} operation ={ remove c, if IG(oc?,L)<θig?; retain c, otherwise.?

1.4. I G IG IG-based leaf filtering phase

為了處理 OTUs 中完整的分類資訊，

對于那些具有不完整分類資訊的 OTU（路徑不完整： incomplete paths），如果它的 I G IG IG 大于 1.3. 中完整路徑中所有節點的全域平均 I G IG IG 值，那么保留該節點；否則，丟棄該節點，

用公式表示：

θ t = ∑ c ∈ T I G ( o c , L ) ∣ T ∣ . \theta_{t} = \frac{\sum_{c \in T} IG(o_c, L)}{\left| T \right|}. θt?=∣T∣∑c∈T?IG(oc?,L)?.

operation = { remove c , if I G ( o i , L ) < θ t ; retain c , otherwise. \text{operation } = \begin{cases} \text{ remove } c, \text{ if } IG(o_i, L) < \theta_{t}; \\ \text{ retain } c, \text{ otherwise.} \end{cases} operation ={ remove c, if IG(oi?,L)<θt?; retain c, otherwise.?

2. DOI

1. https://doi.org/10.1186/s12859-018-2205-3