確定部分分式中待定系數的留數方法

在將有理真分式化為確定部分分式和的程序中，可以使用留數對部分分式的系數進行求解，

這里介紹一篇論文，證明可以在論文中查看
設有理真分式
f ( x ) = P m ( x ) Q n ( x ) f(x)=\frac{P_m(x)}{Q_n(x)} f(x)=Qn?(x)Pm?(x)?
其中，
m ≤ n m\le n m≤n
分為以下兩種 情況進行討論

a. Q(x)=0的根均為單根

.
即，此時要確定的系數就是f（x）在對應極點上的留數

b.根中有重根

單根的確定方法同a情況中的確定方法，對于重根,設x₁ 為r重根,考慮B_k
B k = R e s [ ( x ? x 1 ) k ? 1 f ( x ) , x 1 ] 此 時 x 1 為 ( x ? x 1 ) k ? 1 f ( x ) 的 r ? ( k ? 1 ) = r ? k + 1 級 極 點 B_k=Res[(x-x_1)^{k-1}f(x),x_1 ] \\ 此時x_1為(x-x_1)^{k-1}f(x)的r-(k-1)=r-k+1級極點 Bk?=Res[(x?x1?)k?1f(x),x1?]此時x1?為(x?x1?)k?1f(x)的r?(k?1)=r?k+1級極點
利用留數極點計算公式 得，
B k = 1 ( r ? k ) ! lim ? x → x 1 [ ( x ? x 1 ) r f ( x ) ] r ? k = 1 ( r ? k ) ! [ ( x ? x 1 ) r f ( x ) ] r ? k ∣ x = x 1 B_k=\frac{1}{(r-k)!}\lim_{x \to x_1} [(x-x_1)^{r}f(x)]^{r-k} \\{\color{Blue}=\frac{1}{(r-k)!}[(x-x_1)^rf(x)]^{r-k}|_{x=x_1} } Bk?=(r?k)!1?x→x1?lim?[(x?x1?)rf(x)]r?k=(r?k)!1?[(x?x1?)rf(x)]r?k∣x=x1??

注：上述結論雖然是在實根條件下得出的，但經過博主研究，上述結論在根為復數單根，以及復數重根的條件下同樣成立，

c.總結——基本思想

要 將 有 理 真 分 式 f ( x ) = P m ( x ) Q n ( x ) 在 實 數 范 圍 內 化 為 部 分 分 式 和 的 形 式 ， 可 將 ｆ ( x ) 視 為 特 殊 的 復 變 函 數 ｆ ( z ) 先 將 ｆ ( z ) 化 為 部 分 分 式 和 的 形 式 , 根 據 復 變 函 數 的 積 分 和 留 數 理 論 可 得 其 待 定 系 數 為 ｆ ( z ) 在 極 點 處 的 留 數 要將有理真分式\\ f(x)=\frac{P_m(x)}{Q_n(x)} \\在實數范圍內化為部分分式和的形式，可將ｆ(x)視為特殊的復變函式ｆ(z) \\先將ｆ(z)化為部分分式和的形式,根據復變函式的積分和留數理論可得 \\其待定系數為ｆ(z)在極點處的留數 要將有理真分式f(x)=Qn?(x)Pm?(x)?在實數范圍內化為部分分式和的形式，可將ｆ(x)視為特殊的復變函數ｆ(z)先將ｆ(z)化為部分分式和的形式,根據復變函數的積分和留數理論可得其待定系數為ｆ(z)在極點處的留數