2020年全國大學生數學建模競賽ABC題怎么分析？

至少花兩個小時用來確定題目，
A 題 爐溫曲線
B 題 穿越沙漠
C 題 中小微企業的信貸決策

一貫繼承我之前的風格，在這里和大家分享一下我的題目剖析結果，

仔細看了一下ABC三道題，A題是熱力學仿真方向的題目，其本質是優化問題，B題也可以看作是優化的題目，至少第一問是這樣，后面的題目涉及到博弈心理方面的知識，C題是常見的信貸決策類大資料分析題目，

依據開放性由大到小進行排序：C>B>A，C題最終的目標是給出合理的信貸策略，這個策略是依據資料分析結果合理給出的即可，B題除第一問要求玩家最佳策略及最終結果外，之后的每一問只要求給出最佳策略和具體討論，這里的討論就有很大的發揮空間，A題延續了以往優化題目的有合理答案區間的特點，故而開放性最小，

依據難易度偏好由低到高進行選題：C>A>B，可以肯定，這次選C題的人必然最多，因為C題是常規題型，且較為簡單，其次是A題，雖然A題是物理熱力學與優化問題的結合，但只需查閱幾篇文獻對熱量傳遞有所了解，就可以通過假設將這個問題轉化為完全的數學優化問題，從而進行求解，B題可能在一部分人看起來挺簡單的，但隨著題目的深入，便會發現其不如表面表現得那么有趣和人畜無害，其涉及到圖論求最短路徑，背包問題，博弈論等諸多方面，

依據我的興趣由高到低進行選題：B>A>C，這次的B題讓我想起了去年國賽的多人顛小球問題，同樣都是這樣有趣，甚至這次的B題更加有趣，因為游戲設計是我挺感興趣的一個方面，如有同好，可以考慮選這道題，A題涉及物理熱力學方面，因為在之前的比賽中總是沒選過這類題（油罐散熱、浴缸保溫），所以好想嘗試一下的，嘿嘿，C題嘛，這類題之前做過不少，興趣乏乏，

下面逐題進行分析：

C題 中小微企業的信貸決策

**背景：**中小微企業規模相對較小，也缺少抵押資產，因此銀行通常是依據信貸政策、企業的交易票據資訊和上下游企業的影響力，向實力強、供求關系穩定的企業提供貸款，并可以對信譽高、信貸風險小的企業給予利率優惠，銀行首先根據中小微企業的實力、信譽對其信貸風險做出評估，然后依據信貸風險等因素來確定是否放貸及貸款額度、利率和期限等信貸策略，

資料分析題最重要的就是觀察資料、理解資料，而后再動手解題，

問題 1： 對123家企業的信貸風險進行量化分析，給出該銀行在年度信貸總額固定時對這些企業的信貸策略，

**思路：**查看附件1發現有3個表格，分別是企業資訊、進項發票、銷項發票，如何對信貸風險進行量化分析，其實在題目中已經指出了方向——“根據中小微企業的實力、信譽”做出評估，實力由企業的交易票據資訊和上下游企業的影響力體現，信譽由信譽評級體現，此時可以給出銀行的信貸策略，

**問題 2：**在問題1的基礎上，對302家企業的信貸風險進行量化分析，并給出該銀行在年度信貸總額為1億元時對這些企業的信貸策略，

思路：這里需要解決的問題是302家企業無信貸記錄，自然無信譽評級，那么企業的信譽如何刻劃？或者說信貸風險是否采取不一樣的量化方式，取消信譽評級所占比重，這個問題解決了，問題二就解決了，

問題 3：綜合考慮附件2中各企業的信貸風險和可能的突發因素對各企業的影響，給出該銀行在年度信貸總額為1億元時的信貸調整策略，

**思路：**此問的關鍵是找到指標來刻劃企業抵御突發因素影響的能力，將其納入到信貸風險評價體系中，重新確定信貸策略，

B題 穿越沙漠

**背景：**小游戲，玩家憑借一張地圖，利用初始資金購買一定數量的水和食物（包括食品和其他日常用品），從起點出發，在沙漠中行走，途中會遇到不同的天氣，也可在礦山、村莊補充資金或資源，目標是在規定時間內到達終點，并保留盡可能多的資金，有8條游戲的基本規則，需要根據游戲的不同設定，建立數學模型，解決問題，

這個題目看著著實有趣，但細細思來，所需要考慮的多種因素相互制約，需要共同優化才能求的滿意的結果，整體難的還是偏高的，但也不用怕，建模也不是必須做到最完美才能獲得最高獎項，比大多數好即可，

在背景中的“目標”二字我進行了加粗，因為這個是B題所有問題的最高要求，做B題，我們需要仔細研究8潭訓本規則，根據規則來對做出能保留盡可能多的資金的決策，

問題 1： 假設只有一名玩家，在整個游戲時段內每天天氣狀況事先全部已知，試給出一般情況下玩家的最優策略，求解附件中的“第一關”和“第二關”，并將相應結果分別填入Result.xlsx，

**思路：**就第一問而言，首先需要將地圖用散列矩陣的方式表示出任意兩個區域之間是否相鄰，且最短的路程需要跨越幾次邊界，其次需要計算出直接向終點出發、先去礦山采礦去村莊購物再向終點出發等多種方案的最終剩余資金，最后對不同方案的剩余資金進行比較，選擇剩余資金最多的方案，存入Result.xlsx中，

**問題 2：**假設只有一名玩家，玩家僅知道當天的天氣狀況，可據此決定當天的行動方案，試給出一般情況下玩家的最佳策略，并對附件中的“第三關”和“第四關”進行具體討論，

**思路：**這里提到了“一般情況”，在附件中提到，第三關，玩家僅知道當天的天氣狀況，但已知10天內不會出現沙暴天氣，第四關，玩家僅知道當天的天氣狀況，但已知30天內較少出現沙暴天氣，此時可以按照問題一的方法確定多種方案，通過每種方案所走路線和天數，而后倒推出在之后每一天都是高溫天氣情況下，出發時應該購買的水和食物，而后計算出到終點后的最終剩余資金，進行比較，給出最佳策略，

問題 3：現有n名玩家，他們有相同的初始資金，且同時從起點出發，若某天其中的任意k名玩家均從區域A行走到區域B，則他們中的任一位消耗的資源數量均為基礎消耗量的2*k倍；若某天其中的任意k名玩家在同一礦山挖礦，則他們中的任一位消耗的資源數量均為基礎消耗量的3倍，且每名玩家一天可通過挖礦獲得的資金是基礎收益的1/k；若某天其中的任意k名玩家在同一村莊購買資源，每箱價格均為基準價格的4倍，其他情況下消耗資源數量與資源價格與單人游戲相同，

（1）假設在整個游戲時段內每天天氣狀況事先全部已知，每名玩家的行動方案需在第0天確定且此后不能更改，試給出一般情況下玩家應采取的策略，并對附件中的“第五關”進行具體討論，

**思路：**第五關n=2，在問題三中，要求行動方案需提前設定好，增加了玩家“同行”時的消耗，降低了玩家“同挖”時的收益，提高了玩家“同買”時的價格，這就要求玩家們在設定行動方案時要盡量避免與其他玩家相遇，這里的關鍵是“猜”其他玩家的心理，這就是博弈論，

（2）假設所有玩家僅知道當天的天氣狀況，從第1天起，每名玩家在當天行動結束后均知道其余玩家當天的行動方案和剩余的資源數量，隨后確定各自第二天的行動方案，試給出一般情況下玩家應采取的策略，并1對附件中的“第六關”進行具體討論，

思路：這一小問不再要求行動方案需提前設定好，而是每一天結束都可以知道所有玩家的這一天的行動方案和資源數量，這就使得需要使用每天的動態資料預測其他玩家第二天的行動方案，從而在不與其他玩家相遇的可行方案中，挑選出最終剩余資金期望最高的第二天的行動方案，而后逐日迭代，

A題 爐溫曲線

背景：電子產品生產中，需要將安裝有各種電子元件的印刷電路板放置在回焊爐中，通過加熱，將電子元件自動焊接到電路板上，讓回焊爐的各部分保持工藝要求的溫度，對產品質量至關重要，目前，這方面的許多作業是通過實驗測驗來進行控制和調整的，本題旨在通過機理模型來進行分析研究，

**機理模型，**亦稱白箱模型，根據物件、生產程序的內部機制或者物質流的傳遞機理建立起來的精確數學模型，

仔細閱讀題目，攝取關鍵的資訊和資料指標，

1、回焊爐分4個大溫區（預熱區、恒溫區、回流區、冷卻區），11個小溫區，進入回焊爐的傳送帶為勻速，并給出每個小溫區長度為30.5cm，相鄰小溫區之間有5cm的間隙，爐前區域和爐后區域長度均為25cm，

2、爐內空氣溫度會在短時間內達到穩定，故假設開始加工時爐內空氣溫度穩定，

3、通過溫度傳感器測驗某些位置上焊接區域中心的溫度，稱之為爐溫曲線，傳感器在焊接區域中心的溫度達到30oC時開始作業，電路板進入回焊爐開始計時，給出了一次實驗中的小溫區溫度、傳送帶速度、焊接區域厚度的資料，

4、各小溫區設定溫度可以進行10oC范圍內的調整，調整時要求小溫區1~ 5中的溫度保持一致，小溫區8~ 9中的溫度保持一致，小溫區10 ~ 11中的溫度保持25oC，傳送帶的過爐速度調節范圍為65~100 cm/min，

5、給出了制程界限，即在回焊爐電路板焊接生產中，爐溫曲線應滿足一定的要求，

圖1 回焊爐截面圖

問題 1： 請對焊接區域的溫度變化規律建立數學模型，假設傳送帶過爐速度為78 cm/min，各溫區溫度的設定值分別為173oC（小溫區1~ 5）、 198oC （小溫區6）、 230oC（小溫區7）和257oC（小溫區8~ 9），請給出焊接區域中心的溫度變化情況，列出小溫區3、6、7中點及小溫區8結束處焊接區域中心的溫度，畫出相應的爐溫曲線，并將每隔0.5 s焊接區域中心的溫度存放在提供的result.csv中，

**思路：**題中給出一次實驗的設定資料及在設定條件下對電路板中心測溫的爐溫曲線資料，首先通過熱力學知識，將回焊爐的設定資料轉變為在傳送帶上的溫度分布曲線，而后與電路板加工時溫度變化的曲線進行對應，找出溫差與電路板溫度變化的規律，之后對問題1中的設定資料求解傳送帶上的溫度分布曲線，應用前述規律對電路板焊接區域中心的溫度進行逆向求解，

**問題 2：**假設各溫區溫度的設定值分別為182oC（小溫區1~ 5）、203oC（小溫區6）、237oC（小溫區7）、 254oC（小溫區8~9），請確定允許的最大傳送帶過爐速度，

**思路：**與問題1不同，這里是已知制程界限，即已知爐溫曲線需要滿足的條件，而后找到可以滿足最低條件的最大傳送帶速度，這里可以先分析滿足加工條件的最低爐溫曲線，而后應用熱力學知識對升、降溫速度進行求解，進而求得最大過爐速度，

**問題 3：**在焊接程序中，焊接區域中心的溫度超過217oC的時間不宜過長，峰值溫度也不宜過高，理想的爐溫曲線應使超過217oC到峰值溫度所覆寫的面積（圖2中陰影部分）最小，請確定在此要求下的最優爐溫曲線，以及各溫區的設定溫度和傳送帶的過爐速度，并給出相應的面積，圖2 爐溫曲線示意圖

**思路：**要求超過217oC的爐溫曲線覆寫面積最小，首先限制在217oC以上的時間為最小值，而后分析各小溫區溫度對峰值溫度的影響，盡量使得溫度盡快到達240~250oC之間，而后盡快降溫，此時的陰影部分面積最小，此時的爐溫曲線即為所求，

**問題 4：**在焊接程序中，除滿足制程界限外，還希望以峰值溫度為中心線的兩側超過217oC的爐溫曲線應盡量對稱（參見圖2），請結合問題3，進一步給出最優爐溫曲線，以及各溫區設定的溫度及傳送帶過爐速度，并給出相應的指標值，

**思路：**要求以峰值溫度為中心線的兩側超過217oC的爐溫曲線應盡量對稱，分析可得，即要求在峰值溫度兩側的升、降溫速度盡量一致，升降溫速度與兩點之間溫度差有關，所以等同于要求傳送帶上的溫度分布曲線在峰值溫度對應的時間附近對稱，最后通過熱力學知識，將傳送帶上的溫度分布曲線轉變為回焊爐的設定資料，

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