cinta加分作業2

G G G是阿貝爾群， H H H和 N N N是 G G G的子群，請證明 H N = { h n : h ∈ H ， n ∈ N } HN = \{hn: h\in H ，n\in N\} HN={hn:h∈H，n∈N}是群 G G G的子群，如果群 G G G不是阿貝爾群，結論是否依然成立，

存在單位元：因為 H H H和 N N N都是 G G G的子群，所以 H H H和 N N N都有單位元 e e e， e e = e ee=e ee=e，因為 h n e = e h n = h n hne = ehn = hn hne=ehn=hn，所以 e e e是 H N HN HN的子群，

滿足封閉性：假設有 h 1 , h 2 ∈ H , n 1 , n 2 ∈ N h_1,h_2 \in H, n_1,n_2\in N h1?,h2?∈H,n1?,n2?∈N， h 1 n 1 h 2 n 2 = h 1 h 2 n 1 n 2 h_1n_1h_2n_2 = h_1h_2n_1n_2 h1?n1?h2?n2?=h1?h2?n1?n2?，因為 h 1 h 2 ∈ H , n 1 n 2 ∈ N h_1h_2 \in H, n_1n_2\in N h1?h2?∈H,n1?n2?∈N，所以 h 1 h 2 n 1 n 2 ∈ N H h_1h_2n_1n_2\in NH h1?h2?n1?n2?∈NH，

存在逆元：假設 h ∈ H , n ∈ N h\in H, n\in N h∈H,n∈N，因為 H H H和 N N N都是子群，所以存在 h ? 1 ∈ H , n ? 1 ∈ N h^{-1}\in H ,n^{-1}\in N h?1∈H,n?1∈N，所以 h n , h ? 1 n ? 1 ∈ H N hn, h^{-1}n^{-1}\in HN hn,h?1n?1∈HN，因為 h n h ? 1 n ? 1 = h h ? 1 n n ? 1 = e hnh^{-1}n^{-1}=hh^{-1}nn^{-1}=e hnh?1n?1=hh?1nn?1=e，所以存在逆元，

不是阿貝爾群應該不行吧，，

H H H是群 G G G的子群（不必然是正規子群）， N N N是群 G G G的正規子群，則 H N HN HN是群 G G G的子群， H ∩ N H\cap N H∩N是 H H H的正規子群，且 H / ( H ∩ N ) ? H N / N H/(H\cap N)\cong HN/N H/(H∩N)?HN/N，
1，先證 H N HN HN的是群，設 h n , h ′ n ′ hn,h'n' hn,h′n′是 H N HN HN的兩個元素 h n h ′ n ′ = h h ′ ( h ′ ? 1 n h ′ ) n ′ hnh'n' = hh'(h'^{-1}nh')n' hnh′n′=hh′(h′?1nh′)n′，因為 h h ′ ∈ H hh'\in H hh′∈H，因為 N N N是正規子群，所以 h ′ ? 1 n h ′ ∈ N h'^{-1}nh'\in N h′?1nh′∈N，且 n ′ ∈ N n'\in N n′∈N，故 h n h ′ n ′ ∈ H N hnh'n'\in HN hnh′n′∈HN，故滿足封閉性，顯然存在單位元， ? h ， n 是 H ， N \forall h，n 是H，N ?h，n是H，N的元素，因為 H H H和 N N N都是子群，所以存在 h ? 1 ∈ H , n ? 1 ∈ N h^{-1}\in H ,n^{-1}\in N h?1∈H,n?1∈N，有因為 N N N是正規子群，那么 h n ? 1 h ? 1 ∈ N hn^{-1}h^{-1}\in N hn?1h?1∈N，所以有 h n ∈ H N , h ? 1 h n ? 1 h ? 1 hn\in HN,h^{-1}hn^{-1}h^{-1} hn∈HN,h?1hn?1h?1，因為 h n h ? 1 h n ? 1 h ? 1 = e = h ? 1 h n ? 1 h ? 1 h n hnh^{-1}hn^{-1}h^{-1} = e = h^{-1}hn^{-1}h^{-1}hn hnh?1hn?1h?1=e=h?1hn?1h?1hn，所以 H N HN HN存在逆元，
2，再證 N N N是 H N HN HN的一個正規子群，因為 N ? H N ? G N\subset HN\subset G N?HN?G，所以 N N N也是 H N HN HN的一個正規子群
3，構造從 H → H N / N H\rightarrow HN/N H→HN/N的同態映射 ? : h → h N \phi:h\rightarrow h\N ?:h→hN，因為 ? ( h 1 h 2 ) = h 1 h 2 N = h 1 h 2 N N = \phi(h1h2)=h1h2 \N=h1h2\N\N= ?(h1h2)=h1h2N=h1h2NN= h 1 N h 2 N = ? ( h 1 ) ? ( h 2 ) h1\N h2\N=\phi(h1)\phi(h2) h1Nh2N=?(h1)?(h2)，因為 h N h\N hN的單位元是 N N N，且 ? n ∈ N , n N = N \forall n \in N, nN=N ?n∈N,nN=N，所以 ? ? 1 ( N ) = N \phi^{-1}(N)=N ??1(N)=N，但是 ? \phi ?的定義域為 H H H，所以 K e r ? = N ∩ H Ker\phi=N\cap H Ker?=N∩H，所以 N ∩ H N\cap H N∩H是 H H H的正規子群，由第一同構定理有 G / K ? ? ( G ) G/K\cong\phi(G) G/K??(G)，這里 G = H , ? ( G ) = H N / N , K = N ∩ H G=H,\phi(G)=HN/N, K=N\cap H G=H,?(G)=HN/N,K=N∩H，所以 H / ( H ∩ N ) ? H N / N H/(H\cap N)\cong HN/N H/(H∩N)?HN/N，得證，
4，總體得思路是先構建 H H H到 H N / N HN/N HN/N的一個同態再找Kernel，