關于幅角原理的理解和Nyquist穩定性判據

關于幅角原理的理解和Nyquist穩定性判據

一、幅角原理

\quad 我們知道，一個系統的穩定性，要看他的倍訓傳遞函式的極點，設倍訓傳遞函式是 M ( s ) = G ( s ) 1 + G ( s ) H ( s ) M(s)=\frac{G(s)}{1+G(s)H(s)} M(s)=1+G(s)H(s)G(s)?,那么我們看的就是這個鬼鬼玩意 1 + G ( s ) H ( s ) 1+G(s)H(s) 1+G(s)H(s)的零點，設 F ( s ) = 1 + G ( s ) H ( s ) F(s)=1+G(s)H(s) F(s)=1+G(s)H(s),我們就去看F(S)的零點，其實在這里我們用幅角原理就是為了看零點的，
\quad 先看一下幅角原理的敘述：幅角原理是關于決議函式在簡單閉曲線內部的零點個數與極點個數之間的關系的定理，設Γ為一簡單閉曲線,函式f(z)滿足條件:1、f(z)在Γ的內部除有有限個極點外是決議的;2、f(z)沿Γ上決議且不為零; 則f(z)在簡單閉曲線Γ內部的零點與極點個數之差,等于z沿Γ之正向繞行一周時,argf(z)的改變數△argf(z)除以2π,即,這里N(f,Γ)和P(f,Γ)分別表示f(z)在Γ內部的零點個數和極點個數，注:上式右端的量可寫成積分(對數留數)，百度百科
\quad 用正常人的話翻譯一遍就是：我現在有一個函式F(s)，我想知道這個函式在某個區域B上有多少零點、多少極點，那我就把這個區域畫線圍起來，這個就是那個閉曲線，當然這個閉曲線不是隨便亂畫的，需要滿足這樣兩個條件，F(s)在這個曲線的內部除有有限個極點外是決議的，就是存在鄰域可導，F(s)沿Γ上決議且不為零，那么就可以得到以下的準則：自變數s順時針繞Γ一圈，這個曲線映射的軌跡Γf會順時針繞原點N圈，滿足N=Z-P，其中Z是F(s)在B內的零點，P是F(s)在B內的極點，一定要注意，這里的說的是順時針轉動！！！

二、Nyquist穩定性判據

\quad 那么，我們如何利用這個定理，首先我們知道，如果M(s)在右半平面上有極點的話，系統是不穩定的，即F(s)右半平面上有零點的話，系統是不穩定的，我們需要研究F(s)在右半平面的零點，需要畫一條曲線，將右半平面包圍，這條曲線就是：Nyquist路線，即奈式路線，
\quad 明白奈式路線是如何畫出來的以及要點請參考Nyquist穩定性判據通俗理解及應用，
\quad 再看Nyquist穩定性判據：因為我們畫的是G(S)H(S)的Nyquist圖，F(s)繞原點，相當于在G(S)H(S)上的Nyquist圖繞（-1,j0）很方便去看圈數N，當順時針繞一圈N=N+1,逆時針一圈N=N-1，又因為P是很容易看出來的，所以我們最后算出來Z=N+P，如果Z=0，就證明系統是穩定的啦！！！
\quad 注意：我們通常做G(S)H(S)的Nyquist圖是 ω \omega ω從 0 + 0_+ 0+?到 + ∞ +\infin +∞的，在計算N的時候，需要實軸對稱補出另一半，使得 ω \omega ω從 ? ∞ -\infin ?∞到 + ∞ +\infin +∞然后再去數N，切記切記！！！