Introduction

CAPM依賴于均值-方差假設將證券風險分解為兩部分有溢價的市場風險和無溢價的剩余風險，雖然依賴于偏好或支付的強條件，但是這種風險結構的分解具有普遍的經濟意義，這一章將摒棄偏好的假設，直接從風險結構出發，基于無套利假設，提出套利定價理論（Ross）

兩種思想的區別（博迪）

均值-方差框架中，當均衡價格被打破時，投資者將在一定程度上改變他們的投資組合，這取決于他們的風險厭惡程度，這些有限的投資組合改變的加總會產生大量的買賣行為，從而重建均衡價格，
在無套利原理中，當套利機會存在時，每個投資者都愿意盡可能多的持有頭寸，因此不需要很多投資者就會使價格恢復平衡，顯然后者更具有經濟意義，

14.1 線性因子模型

14.1.1 模型結構

14.1.2 模型解釋

套利定價理論將證券的收益率分為三個部分：

第一部分期望收益率 r ￣ n = E [ r ~ n ] \overline r_n=E[\tilde r_n] rn?=E[r~n?]

第二部分是其主要觀點：資產收益率由F個共同風險因子決定，即反映了系統風險，每個風險因子前的系數 b k b_k bk?表示第k個因子風險的大小，因此也叫第k個風險因子的載荷，共同因子無多重共線性，

第三部分是與共同風險因子無關的剩余風險 ε n \varepsilon_n εn?,并且假定各種資產的剩余風險因子是不相關的，否則就是共同因子，剩余風險的協方差陣為對角陣，

特別的，只有當因子F<N時，才有意義；不相關的假設并不是必須的，只是為了簡化我們的分析，

14.1.3 記號

為了記號的方便，我們用 r ~ \tilde r r~表示收益率向量（N維向量） r ￣ \overline r r為期望收益率向量，

f ~ \tilde f f~?為風險因子向量（F維向量）b為因子載荷矩陣（N×F）

那么可以把上述因子模型寫成向量模式：

r ~ = r ￣ + b f ~ + ε ~ \tilde r=\overline r+b\tilde f+\tilde \varepsilon r~=r+bf~?+ε~
其中：
（1） E [ f ~ ] = E [ ε ~ ] = 0 E[\tilde f]=E[\tilde \varepsilon]=0 E[f~?]=E[ε~]=0 (回歸到均值收益率)

（2） E [ f ~ f ~ ′ ] = I , E [ ε ~ ε ~ ′ ] = ∑ E[\tilde f\tilde f']=I,E[\tilde\varepsilon \tilde\varepsilon']=\sum E[f~?f~?′]=I,E[ε~ε~′]=∑（因子方差為1，特殊風險為對角陣）

（3） E [ f ~ ε ~ ′ ] = 0 E[\tilde f\tilde \varepsilon']=0 E[f~?ε~′]=0 （無相關）

14.2 精確因子模型

我們先考慮不存在剩余風險的情況，證明是線性因子，

14.2.1 單因子模型: r ~ n = r ￣ n + b n f ~ \tilde r_n=\overline r_n+ b_n\tilde f r~n?=rn?+bn?f~?

1、存在一個無風險組合和一個因子載荷為1的組合

證明：假設由兩個資產i和j，并且對于單因子模型中的載荷 b i =? b j b_i \not=b_j bi??=bj?且均不為0.

（1）構建組合

考慮兩個資產構成的組合** r ~ p = w r ~ i + ( 1 ? w ) r ~ j \tilde r_p=w\tilde r_i+(1-w)\tilde r_j r~p?=wr~i?+(1?w)r~j?

其中 r ~ i = r ￣ i + b i f ~ \tilde r_i=\overline r_i +b_i\tilde f r~i?=ri?+bi?f~? , r ~ j = r ￣ j + b j f ~ \tilde r_j=\overline r_j+b_j\tilde f r~j?=rj?+bj?f~?

所以 r ~ p = w ( r ￣ i + b i f ~ ) + ( 1 ? w ) ( r ￣ j + b j f ~ ) \tilde r_p=w(\overline r_i +b_i\tilde f)+(1-w)(\overline r_j+b_j\tilde f) r~p?=w(ri?+bi?f~?)+(1?w)(rj?+bj?f~?)

= w r ￣ i + ( 1 ? w ) r ￣ j + [ w b i + ( 1 ? w ) b j ] f =w\overline r_i+(1-w)\overline r_j+[wb_i+(1-w)b_j]f =wri?+(1?w)rj?+[wbi?+(1?w)bj?]f

（2）無風險組合

取 w b i + ( 1 ? w ) b j = 0 wb_i+(1-w)b_j=0 wbi?+(1?w)bj?=0**, 則無風險組合 r ~ 0 = w r ￣ i + ( 1 ? w ) r ￣ j \tilde r_0=w\overline r_i+(1-w)\overline r_j r~0?=wri?+(1?w)rj?

其中w= b j b j ? b i b_j\over b_j-b_i bj??bi?bj??,帶入上式有 r ~ 0 = \tilde r_0= r~0?= b j b j ? b i b_j\over b_j-b_i bj??bi?bj?? r ￣ i ? \overline r_i- ri?? b j b j ? b i b_j\over b_j-b_i bj??bi?bj?? r ￣ j = r F \overline r_j=r_F rj?=rF?

（3）定義λ

r ￣ j ? r F b j \overline r_j-r_F\over bj bjrj??rF??= r ￣ i ? r F b i \overline r_i-r_F\over bi biri??rF??= r ￣ j ? r i b j ? b i \overline r_j-r_i\over b_j-b_i bj??bi?rj??ri??=λ**，所以不論資產為什么都有這個關系，

（4）因子組合

具有單位因子得組合也叫做因子組合，選擇w使得因子載荷為1

即 w b i + ( 1 ? w ) b j = 1 wb_i+(1-w)b_j=1 wbi?+(1?w)bj?=1**, 得w= 1 ? b j b i ? b j 1-b_j\over b_i-b_j bi??bj?1?bj??

帶入原式有

r ~ 1 = \tilde r_1= r~1?= 1 ? b j b i ? b j 1-b_j\over b_i-b_j bi??bj?1?bj?? r ￣ i ? \overline r_i- ri?? 1 ? b i b i ? b j 1-b_i\over b_i-b_j bi??bj?1?bi?? r ￣ j \overline r_j rj?+ f ~ \tilde f f~?= r ￣ i ? r ￣ j b i ? b j \overline r_i-\overline r_j\over b_i-b_j bi??bj?ri??rj??+ b i r ￣ j ? b j r ￣ i b i ? b j b_i\overline r_j-b_j\overline r_i\over b_i-b_j bi??bj?bi?rj??bj?ri??= λ + r F λ+r_F λ+rF?+ f ~ \tilde f f~?

兩邊同時取期望：
r ￣ 1 = λ + r F \overline r_1=λ+r_F r1?=λ+rF?則 λ = r ￣ 1 ? r F λ=\overline r_1-r_F λ=r1??rF?

2、單因子模型

（1）理論： r ￣ n = r F + b n λ \overline r_n=r_F+b_nλ rn?=rF?+bn?λ

即用因子組合的風險溢價替代了因子的影響，

1、可以用無套利原理證明：相同的因子載荷具有相同的超額回報率，因為對于所有資產因子價格都是因子組合的溢價，

我們得到了因子組合后，取與證券n風險特征相同的一個組合 b n b_n bn?單位的因子組合和1- b n b_n bn?單位的無風險證券，那么未來支付為

組合： b n ( 1 + r ~ 1 ) + ( 1 ? b n ) ( 1 + r F ) = b n ( 1 + λ + r F b_n(1+\tilde r_1)+(1-b_n)(1+r_F)=b_n(1+λ+r_F bn?(1+r~1?)+(1?bn?)(1+rF?)=bn?(1+λ+rF?+ f ~ ) \tilde f) f~?)

+ ( 1 ? b n ) ( 1 + r F ) = ( 1 + r F ) + b n λ + b n f ~ +(1-b_n)(1+r_F)=(1+r_F)+b_nλ+b_n\tilde f +(1?bn?)(1+rF?)=(1+rF?)+bn?λ+bn?f~?

證券n:1+ r ~ n = 1 + r ￣ n + b n f ~ \tilde r_n=1+\overline r_n+ b_n\tilde f r~n?=1+rn?+bn?f~?

兩者收益相等： r ￣ n = r F + b n λ \overline r_n=r_F+b_nλ rn?=rF?+bn?λ

所以因子用λ替代，是線性的，

2、可以用λ恒等式證明：
具有單位因子得組合也叫做因子組合，它的風險溢價λ叫做因子溢價，也就是風險因子得風險價格，下面我們看λ定義式：

r ￣ j ? r F b j \overline r_j-r_F\over bj bjrj??rF??= r ￣ i ? r F b i \overline r_i-r_F\over bi biri??rF??= r ￣ j ? r i b j ? b i \overline r_j-r_i\over b_j-b_i bj??bi?rj??ri??=λ

那么對于任意資產n有： r ￣ n = r F + b n λ \overline r_n=r_F+b_nλ rn?=rF?+bn?λ （1）

由因子組合 λ = r ￣ 1 ? r F λ=\overline r_1-r_F λ=r1??rF?

r ￣ n = r F + b n ( r ￣ 1 ? r F ) \overline r_n=r_F+b_n(\overline r_1-r_F) rn?=rF?+bn?(r1??rF?)

這樣我們就得到了一個結論： 任意資產的風險溢價取決于它負載的因子風險，因子風險大小由因子載荷度量，其中因子載荷為1的風險溢價λ為因子風險的價格，所以風險溢價為bλ，這就是單因子模型下的套利定價理論，

（2）理解：

式（1）基于無套利原理:如果存在一個資產n，不滿足（1）式，假設 r ￣ n > r F + b n λ \overline r_n>r_F+b_nλ rn?>rF?+bn?λ
考慮套利組合：買入一單位資產n，賣出 b n b_n bn?單位因子組合以及1- b n b_n bn?單位無風險資產，(初始投資為0)未來支付為
r ￣ n ? b n ( λ + r F ) ? ( 1 ? b n ) r F = r ￣ n ? b n λ ? r F > 0 \overline r_n-b_n(λ+r_F)-(1-b_n)r_F=\overline r_n-b_nλ-r_F>0 rn??bn?(λ+rF?)?(1?bn?)rF?=rn??bn?λ?rF?>0
這是一個套利機會，因此如果不存在套利機會，（1）式必須成立，

（3）與CAPM關系：

r ￣ n = r F + b n λ \overline r_n=r_F+b_nλ rn?=rF?+bn?λ

對因子組合 r ~ 1 = λ + r F \tilde r_1=λ+r_F r~1?=λ+rF?+ f ~ \tilde f f~?兩邊取期望得到

λ= r ￣ 1 ? r F \overline r_1-r_F r1??rF?將其帶入單因子模型 r ￣ n ? r F = b n ( r ￣ 1 ? r F ) \overline r_n-r_F=b_n(\overline r_1-r_F) rn??rF?=bn?(r1??rF?)

當因子是市場超額收益率時，單因子模型和CAPM具有相同的形式，

（4）實證分析**：計量經濟學估計組合的期望收益率

計算一個組合的期望收益 需要知道，β，無風險利率，市場組合的期望收益所以CAPM要估計市場組合收益（N個證券的期望收益率），β(N個收益率的方差，N(N-1)/2個協方差）

單因子模型： r ~ n = r ￣ n + b n f ~ + ε n \tilde r_n=\overline r_n+ b_n\tilde f+\varepsilon_n r~n?=rn?+bn?f~?+εn?
1、因子的期望也需要估計1
2、估計市場收益率需要： N個證券的期望收益率
3、估計協差陣需要：N個b，N個殘差方差，1因子方差，估計β，

收益率的方差為： σ i 2 = b n 2 σ f 2 + σ 2 ( ε n ) σ_i^2=b_n^2σ_f^2+ σ^2(\varepsilon_n) σi2?=bn2?σf2?+σ2(εn?)
協方差被簡化: C o v ( r i , r j ) = b i b j σ f 2 Cov(r_i,r_j)=b_ib_jσ_f^2 Cov(ri?,rj?)=bi?bj?σf2?

顯然在單因子模型下引數大大優化了（主要是對β的估計）

14.2.2 精確F因子模型： r ~ = r ￣ l + b f ~ \tilde r=\overline rl+b\tilde f r~=rl+bf~? 其中E f ~ = 0 \tilde f=0 f~?=0

1 套利組合

考慮一個套利組合z， z T l = 0 z^Tl=0 zTl=0,根據無套利原理，其期望收益也應該為0.如果 z T b = 0 z^Tb=0 zTb=0,顯然有 z T r ~ = 0 z^T\tilde r=0 zTr~=0,如果組合的載荷為0，那么組合收益率也為0.

2 F因子模型 r ￣ = λ 0 l + ∑ k b k λ k \overline r=λ_0l+\sum_kb_kλ_k r=λ0?l+∑k?bk?λk?

假設： r ~ = r ￣ + b f ~ \tilde r=\overline r+b\tilde f r~=r+bf~? 其中E f ~ = 0 \tilde f=0 f~?=0

給定收益的F因子模型，根據無套利原理有 r ￣ = λ 0 l + ∑ k b k λ k \overline r=λ_0l+\sum_kb_kλ_k r=λ0?l+∑k?bk?λk?,

其中k表示第k個因子，

證明：任意 { z : z T l = 0 , z T b = 0 , k = 1 , 2 , … , F } \{z: z^Tl=0,z^Tb=0,k=1,2,…,F\} {z:zTl=0,zTb=0,k=1,2,…,F}

意味著 z T r ~ = 0 z^T\tilde r=0 zTr~=0,即零成本和零風險因子的組合期望收益也為0.否則就可以套利

所以 r ￣ \overline r r與 l 和 b 共 線 l和b共線 l和b共線，即線性表出，可以寫成 r ￣ = λ 0 l + ∑ k b k λ k \overline r=λ_0l+\sum_kb_kλ_k r=λ0?l+∑k?bk?λk?

如果至少有F+1個資產的收益率是線性無關的，那么上述定理成立，也就是說存在無風險證券和F個因子組合且 λ 0 = r F λ_0=r_F λ0?=rF?，

事實上，對于F個風險因子，可以構造F個因子組合，求出對應的λ，

14.3 極限套利（統計套利）

在精確因子模型中，我們可以用F個因子和無風險證券來復制其他資產的收益，從而由無套利原理得到APT定價關系，
在一般因子模型中，F個因子只能復制一個資產的因子風險，不能消除或復制特殊風險即非系統性風險，所以通過無套利原理，無法達到嚴格的套利定價關系，此時，我們必須考慮極限套利，過去時間漲得慢的股票，未來可能漲的快，

14.3.1 基本思想

極限套利：如果因子的個數遠小于資產的個數，那么我們可以使用多個資產構造組合以分散每個資產的特殊風險，如果特殊風險被分散的足夠小，那么資產組合幾乎只有因子風險，那么我們的精確因子模型就可以應用了，

1、極限套利機會

給定資產 n = 1 , 2 … n=1,2… n=1,2…由前n個資產構成套利組合序列 z n z^n zn,下面n都表示序列，而不是次數.
當n→∞時，有 ( z n ) T r ￣ n → δ > 0 且 V a r [ ( z n ) T r ~ n ] → 0 (z^n)^T\overline r^n→\delta>0且Var[(z^n)^T\tilde r^n]→0 (zn)Trn→δ>0且Var[(zn)Tr~n]→0
即具有平穩的收益率序列，向均值回歸于一個正常數，則稱這個套利組合序列為極限套利機會，

2、APT定價理論適用條件

兩個條件

剩余風險有界、不存在極限套利機會，

解釋：
其中 r ￣ i \overline r_i ri?時，資產i的真實期望收益率

而 λ 0 + b i λ λ_0+biλ λ0?+biλ為精確因子模型定價關系

兩者相減類似殘差平方和的意思，上式的意思就是使殘差平方和小于某個值，即使得n趨于無窮大時，所有資產的定價誤差有限，

證明：
step1:問題描述
假設存在剩余風險，則有：n個證券，F個因子
根據，剩余風險假定，有 η ( n ) T l = 0 , η ( n ) T b ( n ) = 0 \eta^{(n)T}l=0, \eta^{(n)T}b^{(n)}=0 η(n)Tl=0,η(n)Tb(n)=0即剩余風險期望為

0，且與共同風險不相關，我們要證明n→∞時， Q ( n ) = η ( n ) T η ( n ) < A Q^{(n)}=\eta^{(n)T}\eta^{(n)}<A Q(n)=η(n)Tη(n)<A.

step2:反證法

假設n→∞時， Q ( n ) = η ( n ) T η ( n ) → ∞ Q^{(n)}=\eta^{(n)T}\eta^{(n)}→∞ Q(n)=η(n)Tη(n)→∞,同樣找到一個因子風險和成本為0的組合，證明其支付大于0即可，
step3: 尋找零因子風險和零成本的組合

考慮套利組合 z ( n ) = h ( n ) η ( n ) z^{(n)}=h^{(n)}\eta^{(n)} z(n)=h(n)η(n),使得 h ( n ) η ( n ) l = 0 h^{(n)}\eta^{(n)}l=0 h(n)η(n)l=0; h ( n ) η ( n ) b ( n ) = 0 h^{(n)}\eta^{(n)}b^{(n)}=0 h(n)η(n)b(n)=0

step4：求組合的期望收益和方差
(1)期望：

E [ h ( n ) η ( n ) T r ~ ( n ) ] = h ( n ) η ( n ) T r ￣ ( n ) E[h^{(n)}\eta^{(n)T}\tilde r^{(n)}]=h^{(n)}\eta^{(n)T}\overline r^{(n)} E[h(n)η(n)Tr~(n)]=h(n)η(n)Tr(n)

將初始條件帶入
有： E [ h ( n ) η ( n ) T r ~ ( n ) ] = h ( n ) η ( n ) T E[h^{(n)}\eta^{(n)T}\tilde r^{(n)}]=h^{(n)}\eta^{(n)T} E[h(n)η(n)Tr~(n)]=h(n)η(n)T r ￣ ( n ) = h ( n ) η ( n ) T η ( n ) = h ( n ) Q ( n ) \overline r^{(n)}=h^{(n)}\eta^{(n)T}\eta^{(n)}=h^{(n)}Q^{(n)} r(n)=h(n)η(n)Tη(n)=h(n)Q(n)

（2）方差：

V a r [ h ( n ) η ( n ) T r ~ ( n ) ] = V a r [ h ( n ) η ( n ) T e ~ ( n ) ] = ( h ( n ) ) 2 η ( n ) T ∑ η ( n ) Var[h^{(n)}\eta^{(n)T}\tilde r^{(n)}]=Var[h^{(n)}\eta^{(n)T}\tilde e^{(n)}]= (h^{(n)})^2\eta^{(n)T}\sum\eta^{(n)} Var[h(n)η(n)Tr~(n)]=Var[h(n)η(n)Te~(n)]=(h(n))2η(n)T∑η(n)

= ( h ( n ) ) 2 ∑ i σ i 2 η i 2 < σ ￣ 2 ( h ( n ) ) 2 ∑ i η i 2 =(h^{(n)})^2\sum_i\sigma_i^2\eta_i^2<\overline \sigma^2(h^{(n)})^2\sum_i\eta_i^2 =(h(n))2∑i?σi2?ηi2?<σ2(h(n))2∑i?ηi2?

= σ ￣ 2 ( h ( n ) ) 2 η ( n ) T η ( n ) = σ ￣ 2 ( h ( n ) ) 2 Q ( n ) =\overline\sigma^2(h^{(n)})^2\eta^{(n)T}\eta^{(n)}=\overline\sigma^2(h^{(n)})^2Q^{(n)} =σ2(h(n))2η(n)Tη(n)=σ2(h(n))2Q(n)

其中 ( ∑ ) n = σ n 2 < σ ￣ 2 (\sum)_n=\sigma_n^2<\overline \sigma^2 (∑)n?=σn2?<σ2即剩余風險有限，而且是對角陣

(3)取 h ( n ) = ( Q ( n ) ) ( ? 2 / 3 ) h^{(n)}=(Q^{(n)})^{(-2/3)} h(n)=(Q(n))(?2/3):

E = h ( n ) Q ( n ) = ( Q ( n ) ) ( 1 / 3 ) → ∞ E=h^{(n)}Q^{(n)}=(Q^{(n)})^{(1/3)}→∞ E=h(n)Q(n)=(Q(n))(1/3)→∞

V a r = σ ￣ 2 ( h ( n ) ) 2 Q ( n ) = ( Q ( n ) ) ( ? 1 / 3 ) → 0 Var =\overline\sigma^2(h^{(n)})^2Q^{(n)}=(Q^{(n)})^{(-1/3)}→0 Var=σ2(h(n))2Q(n)=(Q(n))(?1/3)→0

顯然，這是一個極限套利組合，所以假設不成立，

一個條件：不存在極限套利機會

這是只有少部分資產APT是無效的，

14.3.2 無極限套利和無套利

無套利是均衡條件，而無極限套利則不是均衡條件（實際上包含著對偏好的假定如常數絕對風險厭惡的負指數效用函式）類似前面正態分布求解程序（與書上答案不同？）解出價格向量之后，即可計算收益率，發現收益率只與殘差項有關，即只有剩余風險，但是其收益率顯著不為0，顯然違反了APT套利定價理論，
另一方面：建立與無風險頭寸相反的風險頭寸即成本為0但是組合期望和方差滿足極限套利組合，說明存在極限套利機會，（簡單解釋為其風險厭惡系數不變，無論財富多少，對風險溢價的要求相同，反映在市場上會使得證券的價值偏高）

14.1 作為均衡結果的APT

APT只是近似的定價效果：在不存在極限套利機會時，效果較好，這一部分對經濟結構進行限制后，APT套利定價關系是一般均衡的結果，

市場結構：1只無風險證券和N只風險證券，證券市場具有因子結構，其中有一個是無風險證券：即支付因子載荷為0，

x ~ = x ￣ + b x f ~ + ε ~ \tilde x=\overline x +b_x\tilde f +\tilde \varepsilon x~=x+bx?f~?+ε~

E [ ε ∣ f ~ ] = 0 E[\varepsilon|\tilde f]=0 E[ε∣f~?]=0, 獨立

定理:均衡結果

6條假設下，APT是均衡的結果：
（1）證券支付具有因子結構，且其中存在無風險證券，0因子載荷
（2）每個因子都可由證券支付線性表出
（3）參與者的1期消費可由證券支付線性表出
（4）參與者的1期總稟賦可由因子線性表出
（5）參與者是嚴格厭惡風險的
（6）均衡配置是內部解
類似CAPM 10個假設，了解即可