公鑰密碼體制又稱公開密鑰密碼體系，公鑰密碼體制是現代密碼學的最重要的發明和進展，在1976年，Whitfield Diffie和Martin Hellman發表了“New directions in cryptography”這篇劃時代的文章奠定了公鑰密碼系統的基礎，公鑰密碼體制根據其所依據的難題一般分為三類：大素數分解問題類、離散對數問題類、橢圓曲線類，
1：大數因子分解
具體說明：
Ⅰ）給定兩個素數p,q,計算乘積p·q=n很容易；
Ⅱ）給定大整數n，求n的素因素p,q使得n=p·q非常困難.
大數因子分解是國際數學界幾百年來尚未解決的難題，也是現代密碼學中公開密鑰RSA演算法密碼體制建立的基礎，《大數因子分解的合數模式特性》從RSA演算法存在的不動點中發現了素數因子的分布與特性以及它們之間的連接機制，據此將大數因子分解問題轉化為在兩個含有素數因子的數之間求公因子問題，將最困難的大數因子分解問題轉化為一系列演算法的初等數學問題，這無疑是研究大數因子分解的重要成果與進展，
2：離散對數
已知有限回圈群G={g∧k∣k=0,1,2,...}及其生成元g和階n=∣G∣.
Ⅰ）給定整數a，計算元素g∧a=h很容易；
Ⅱ）給定元素h，計算整數x，0≤x≤n,使得g∧x=h非常困難，其難度與RSA中因子分解素數之積的難度有相同的數量級，
3：橢圓曲線
已知有限域F_p上的橢圓曲線點群
E(F_p)={(x,y)∈F_p×F_p∣y2=x3+ax+b,a,b∈F_p}∪{O}，
點P=(x,y)的階為一個大素數.
Ⅰ）給定整數a，計算整數x，使得xP=(x_a,y_a)=Q很容易；
Ⅱ）給定點Q，計算整數x，使得xP=Q非常困難.
例3 P=10823是一個素數，有限域F_p=Z/pZ上的橢圓曲線點群
E(F_p)={(x,y)∈F_p×F_p∣y2=x3+3x+7}∪{O}， ∣E(F_p)∣=100482=2·3·16747.E(F_p)的生成元為P_0=(1,8811).點P=6P_0=(62046,14962)的階為素數16747.
Ⅰ)給定a=1007，計算aP=(80726,17229)=Q很容易；
Ⅱ）給定點Q=(80726,17229)，求整數x使得xP=Q很困難.
綜上，理解數學原理可能比較燒腦，但是作為應用者來說，我們其實不需要完全掌握原理，我們只需要記住一點最重要的，即公鑰密鑰體系中，私鑰的安全是最重要的，如果運行環境中沒有相應的安全機制保護私鑰，就必須使用加密芯片來存盤私鑰，包括私鑰運算也要在加密芯片中執行，否則私鑰泄露，整個安全體系就被攻破了，
參考資料：
《簡明資訊安全數學基礎》，陳恭亮，高等教育出版社，2011年1月1日，
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