方差互換（Variance Swap）定價推導及VIX相關介紹-有解無憂

近期場外的結構化產品受到的關注度挺大的，比如說雪球，目前規模應該有達到一千多億了，主要以中證500指數作為標的，而由于場內期權市場的產品單一，導致了對沖方會面臨較大的波動率和基差風險，得益于中證500近半年的慢漲趨勢，雪球產品沒有觸發大面積的敲入風險，而在海外的一些成熟衍生品市場，交易員會采用Variance Swap等波動率衍生品來對沖波動率風險，掛鉤標的一般是指數或者大盤股的波動率，并且近年來方差互換合約也得到了很多的投資者的關注和認可，雖然可以使用期權組合復制方差互換的收益，但方差互換為投資者提供了更加簡單而直接的波動率風險敞口，也就是波動率對沖方法，而沒有任何相關的路徑依賴的 Delta 對沖期權問題，

所以此次深入研究一下方差互換產品，以及延伸介紹一下VIX，

方差互換是互換合約而不是常規的期權，可以當做遠期合約來看，并且交換的是方差，而不是波動率，這個區別比較重要，并且波動率互換是比較難定價的，方差互換的買方支付預先定好的固定波動率水平 $K_{var}$ 乘上名義本金，賣方則支付一段時間的已實作波動率 $\sigma_R^2$ 乘上名義本金，所以互換的pay off為名義本金乘上（已實作波動率 $\sigma_R^2$ -固定波動率水平 $K_{var}$ ），互換買方實際上是看多波動率，賣方則看空波動率，

接下來就是對方差互換進行定價，也就是算swap rate ，

首先我們假設標的資產價格服從標準的幾何布朗運動， $\sigma_t$ 是adaptive process：

$\frac{dS_t}{S_t} = \mu_tdt + \sigma_tdB_t$

根據伊藤公式推導可得： $d\ln{S_t} = (\mu_t-\frac{1}{2}\sigma_t^2)dt + \sigma_tdB_t$ ，

已實作波動率可以近似為： $\frac{1}{T}\int_{0}^{T}\sigma_t^2dt$ ，

方差互換的payoff則為： $\frac{1}{T}\int_{0}^{T}\sigma_t^2dt- K_{var}$ ，

由于互換合約在0時刻的價值為0，swap rate就是K的期望：

$e^{-rT}\hat{E}\left[\frac{1}{T}\int_{0}^{T}\sigma_t^2dt- K_{var}\right] = 0$

$K_{var} = \hat{E}\left[\frac{1}{T}\int_{0}^{T}\sigma_t^2dt\right]$

在風險中性測度下， $d\ln{S_t} = (r-\frac{1}{2}\sigma_t^2)dt + \sigma_td\hat{B_t}$

代入上面的公式，

$\frac{1}{T}\int_{0}^{T}\sigma_t^2dt = \frac{2}{T}[-\ln{\frac{S_T}{F_0}}+\int_{0}^{T}\sigma_td\hat{B_t}]$

而 $\int_{0}^{T}\sigma_td\hat{B_t}$ 在風險中性測度下是一個martingale，所以方差互換的 payoff其實就是 $-\frac{2}{T}\ln{\frac{S_T}{F_0}}$

$-\ln{\frac{S_T}{F_0}} = -\frac{S_T-F_0}{F_0}\text{(forward contract)} \\+ \int_{F_0}^{+\infty}\frac{1}{K^2}(S_T-K)^+dK\text{(out of money call)} \\+\int_{0}^{F_0}\frac{1}{K^2}(K-S_T)^+dK\text{(out of money put)}$

由上述公式可看出，方差互換可以用一系列價外歐式期權靜態復制得到，至于期權的權重為何為 $\frac{1}{K^2}$ ，也可以從另一個角度來解釋，也就是如何通過買入不同行權價來獲得固定的gamma暴露，下圖顯示了不同行權價下的期權的Dollar Gamma，我們可以看到，與高行權價期權相比，低行權價期權對總伽瑪的貢獻較小，為了使得Dollar Gamma保持不變，我們需要增加低行權價期權的權重，降低高行權價期權的權重，

所以一個比較na?ve的想法就是使用與行權價成反比的權重，也就是 $\frac{1}{K}$ ，以便將所有的gamma值縮放到相同的峰值水平，如下圖所示，

此時的總伽馬仍然不是常數，但我們可以注意到線性區域的存在，所以再除以K就可以將線性區域轉化為常數值，正確的權重則為 $\frac{1}{K^2}$ ，也就驗證了上面公式中期權權重，

再回到上面的方差互換定價，VIX也是根據這一個原理來構建的，當 $K_0=F$ ，那么VIX就是swap rate定價公式的離散形式，當 $K_0\not=F$ ，可以加入 $K_0$ ，進一步得到公式：

$K_{var} = \frac{2}{T}\hat{E}\left[-\ln\frac{S_T}{F}\right]=\frac{2}{T}\hat{E}\left[-\ln\frac{S_T}{K_0}+\ln\frac{F}{K_0}\right]\\=\frac{2}{T}\hat{E}\left[-\frac{S_T-K_0}{K_0}+\ln\frac{F}{K_0}\right]\\+\frac{2}{T}\left[e^{rT}\int_{K_0}^{+\infty}\frac{1}{K^2}C(K)dK +e^{rT}\int_{0}^{K_0}\frac{1}{K^2}P(K)dK\right]$

而 $\frac{2}{T}\hat{E}\left[-\ln\frac{S_T}{K_0}+\ln\frac{F}{K_0}\right]\approx -\frac{1}{T}\left(\frac{F}{K_0}-1 \right )^2$ ，因此VIX中的波動率計算方法也可以得到，VIX的本質是根據根據一系列近月和次近月的虛值期權價格波動率來反映市場波動預期，市場上一般把VIX作為一個月到期的方差互換合約的理論價格，

總的來說，持有波動率可以有效對沖市場下行風險，例如，波動率通常會在熊市中上升，因此，持有波動率多頭頭寸（例如多頭方差互換）有助于對沖股票的投資組合，而與任何資產一樣，致富之道是便宜時買入，貴時賣出，在這里，投資者可以尋求利用波動率的均值回歸性質為投資組合增加收益，縱觀國內衍生品市場，雖然引入很多國外創新的衍生產品結構，但是對于風險管理這一方面仍然缺乏重視，不同券商機構的發展差異也較大，在私募期權產品增加的同時，券商機構也需要進一步加強風險管理能力，注重多個方面的風險，

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