《深入理解計算機系統》實驗一

本文是CSAPP第二章的配套實驗，通過使用有限的運算子來實作正數，負數，浮點數的位級表示，通過完成這13個函式，可以使我們更好的理解計算機中資料的編碼方式，

準備作業

??首先去官網Lab Assignments獲得實驗相關的檔案（也可以加我QQ獲取教學視頻、PPT等內容）在每個實驗檔案的README中都詳細介紹了如何修改程式，編譯程式等，建議仔細閱讀，有不明白的可以留言，看到后會及時回復，

??我的編譯環境：Ubuntu 16.04，gcc 5.4.0，

??編譯時會報如下錯誤，

??執行以下命令，安裝64位包，

sudo apt-get purge libc6-dev
sudo apt-get install libc6-dev
sudo apt-get install libc6-dev-i386

??再次編譯，沒有報錯，正常，

題目

bitXor

思路

??德摩根律，也叫反演，

代碼

/* 
 * bitXor - x^y using only ~ and & 
 *   Example: bitXor(4, 5) = 1
 *   Legal ops: ~ &
 *   Max ops: 14
 *   Rating: 1
 */
int bitXor(int x, int y) {
 return ~(x & y) & ~(~x & ~y);
}

tmin

思路

??補碼的最小值0x80000000

代碼

/* 
 * tmin - return minimum two's complement integer 
 *   Legal ops: ! ~ & ^ | + << >>
 *   Max ops: 4
 *   Rating: 1
 */
int tmin(void) {
  return 1<<31;
}

isTmax

思路

??判斷是否是補碼的最大值，32位補碼的最大值為0x7fffffff，與其異或，

代碼

/*
 * isTmax - returns 1 if x is the maximum, two's complement number,
 *     and 0 otherwise 
 *   Legal ops: ! ~ & ^ | +
 *   Max ops: 10
 *   Rating: 2
 */
int isTmax(int x) {
  return !(x^0x7fffffff);
}

allOddBits

思路

??這個題目還是比較簡單的，采用掩碼方式解決，首先要構造掩碼，使用移位運算子構造出奇數位全1的數 mask ，然后獲取輸入x 值的奇數位，其他位清零（mask&x），然后與 mask進行異或操作，若相同則最終結果為0，然后回傳其值的邏輯非，

代碼

/* 方法一
 * allOddBits - return 1 if all odd-numbered bits in word set to 1
 *   Examples allOddBits(0xFFFFFFFD) = 0, allOddBits(0xAAAAAAAA) = 1
 *   Legal ops: ! ~ & ^ | + << >>
 *   Max ops: 12
 *   Rating: 2
 */
int allOddBits(int x) {
  int mask = 0xAA+(0xAA<<8);
  mask=mask+(mask<<16);
  return !((mask&x)^mask);
}

/* 方法二
 * allOddBits - return 1 if all odd-numbered bits in word set to 1
 *   Examples allOddBits(0xFFFFFFFD) = 0, allOddBits(0xAAAAAAAA) = 1
 *   Legal ops: ! ~ & ^ | + << >>
 *   Max ops: 12
 *   Rating: 2
 */
int allOddBits(int x) {
  return !(~x&0xaaaaaaaa);
}

negate

思路

??補碼實際上是一個阿貝爾群,對于x，-x是其補碼，所以-x可以通過對x取反加1得到

代碼

/* 
 * negate - return -x 
 *   Example: negate(1) = -1.
 *   Legal ops: ! ~ & ^ | + << >>
 *   Max ops: 5
 *   Rating: 2
 */
int negate(int x) {
  return ~x+1;
}

isAsciiDigit

思路

??x分別與'0'和‘9’作差，然后根據作差的結果判斷符號位的為0還是1即可

代碼

/*

 * isAsciiDigit -return 1 if 0x30 <= x <= 0x39 (ASCII codes for characters '0' to '9')

 *   Example: isAsciiDigit(0x35) = 1.

 *            isAsciiDigit(0x3a) = 0.

 *            isAsciiDigit(0x05) = 0.

 *   Legal ops: ! ~ & ^ | + << >>

 *   Max ops: 15

 *   Rating: 3

 */

int isAsciiDigit(int x) {

  return(!((x+~48+1)>>31))&!!((x+~58+1)>>31);

}

conditional

思路

??把x轉換為全0或者全1，這里注意下，0的補碼是0，位表示全0，1的補碼是-1，位表示全1，當x轉為全0和全1時，再(x&y)或者(~x&z)時，一定有一個成立，回傳的就是y或者z的值

代碼

/* 
 * conditional - same as x ? y : z 
 *   Example: conditional(3,4,5) = 4
 *   Legal ops: ! ~ & ^ | + << >>
 *   Max ops: 16
 *   Rating: 3
 */
int conditional(int x, int y, int z) {
  x = !!x;
  x = ~x+1;//求補碼
  return (x&y)|(~x&z);
}

isLessOrEqual

思路

??通過位運算實作比較兩個數的大小，無非兩種情況：一是符號不同正數為大，二是符號相同看差值符號，

代碼

/* 
 * isLessOrEqual - if x <= y  then return 1, else return 0 
 *   Example: isLessOrEqual(4,5) = 1.
 *   Legal ops: ! ~ & ^ | + << >>
 *   Max ops: 24
 *   Rating: 3
 */
int isLessOrEqual(int x, int y) {
  int negX=~x+1;//-x
  int addX=negX+y;//y-x
  int checkSign = addX>>31&1; //y-x的符號
  int leftBit = 1<<31;//最大位為1的32位有符號數
  int xLeft = x&leftBit;//x的符號
  int yLeft = y&leftBit;//y的符號
  int bitXor = xLeft ^ yLeft;//x和y符號相同標志位，相同為0不同為1
  bitXor = (bitXor>>31)&1;//符號相同標志位格式化為0或1
  return ((!bitXor)&(!checkSign))|(bitXor&(xLeft>>31));//回傳1有兩種情況：符號相同標志位為0（相同）位與 y-x 的符號為0（y-x>=0）結果為1；符號相同標志位為1（不同）位與x的符號位為1（x<0）
}

logicalNeg

思路

??邏輯非就是非0為1，非非0為0，利用其補碼（取反加一）的性質，除了0和最小數(符號位為1，其余為0)，外其他數都是互為相反數關系（符號位取位或為1），0和最小數的補碼是本身，不過0的符號位與其補碼符號位位或為0，最小數的為1，利用這一點得到解決方法，

代碼

/* 
 * logicalNeg - implement the ! operator, using all of 
 *              the legal operators except !
 *   Examples: logicalNeg(3) = 0, logicalNeg(0) = 1
 *   Legal ops: ~ & ^ | + << >>
 *   Max ops: 12
 *   Rating: 4 
 */

int logicalNeg(int x) {
  return ((x|(~x+1))>>31)+1;
}

howManyBits

思路

??正數的補碼：正數最高位的1為第n個數，再加上符號位，結果為n+1，

??負數的補碼：轉換為正數，同上，

/* howManyBits - return the minimum number of bits required to represent x in
 *             two's complement
 *  Examples: howManyBits(12) = 5
 *            howManyBits(298) = 10
 *            howManyBits(-5) = 4
 *            howManyBits(0)  = 1
 *            howManyBits(-1) = 1
 *            howManyBits(0x80000000) = 32
 *  Legal ops: ! ~ & ^ | + << >>
 *  Max ops: 90
 *  Rating: 4
 */
int howManyBits(int x) {
  int b16,b8,b4,b2,b1,b0;
  int mask = x >> 31;
  x = (mask & ~x) | (~mask & x); //如果為正數，保持不變；如果為負數，按位取反

  //step1:判斷高16為是否有1
  b16 = !!(x >> 16) << 4; //如果高16為有1,則b16 = 16，否則為0
  x >>= b16; //如果高16為有1,x右移16位舍棄低16位,在新的低16位繼續查找；否則保持不變
  //step2:判斷高8位是否有1
  b8 = !!(x >> 8) << 3;
  x >>= b8;
  //step3:高4位
  b4 = !!(x >> 4) << 2;
  x >>= b4;
  //step4:高2位
  b2 = !!(x >> 2) << 1;
  x >>= b2;
  //step5:高1位
  b1 = !!(x >> 1);
  x >>= b1;
  //step6:低1位
  b0 = x;

  return b16 + b8 + b4 + b2 + b1 + b0 + 1;
}

floatScale2

思路

標準浮點格式

單精度浮點數值的分類

??參考上圖理解下，不理解的回去看下IEEE標準浮點數格式《深入理解計算機系統》（CSAPP）讀書筆記 —— 第二章資訊的表示和處理

??主要根據輸入的數值，可以分為三種情況：

??1.輸入uf為無窮大和NaN，直接回傳uf

??2.uf為0或無窮小，回傳2* uf + sign

??3.若exp+1 == 255，回傳無窮大，否則回傳 exp+1，（exp為浮點數編碼的整數部分，exp+1相當于uf * 2，）

代碼

/* 
 * floatScale2 - Return bit-level equivalent of expression 2*f for
 *   floating point argument f.
 *   Both the argument and result are passed as unsigned int's, but
 *   they are to be interpreted as the bit-level representation of
 *   single-precision floating point values.
 *   When argument is NaN, return argument
 *   Legal ops: Any integer/unsigned operations incl. ||, &&. also if, while
 *   Max ops: 30
 *   Rating: 4
 */
unsigned floatScale2(unsigned uf) {
  int exp = (uf&0x7f800000)>>23;//取出exp部分
  int sign = uf&(1<<31);//取出符號位
  if(exp==0) return uf<<1|sign;//情況2
  if(exp==255) return uf;//情況1
  exp++;
  if(exp==255) return 0x7f800000|sign;//情況3
  return (exp<<23)|(uf&0x807fffff);
}

floatFloat2Int

思路

??1.非規格化，表示非常接近0的數，轉換為int值后為0

??2.規格化，數的分布從接近0到無窮越來越稀疏，當f不超過int型表示的范圍時，轉換為int；當超過int型表示的范圍時回傳0x80000000u

??3.特殊，回傳0x8000000u

??在規格化的float轉換為int型整數時，

??如果E >= 31，小數點右移31位，此時隱含的1和frac占32位，另外還需要一個符號位，超出了int型范圍

??如果E < 0，小數點左移1位后為0.1frac，轉換為int后為0

??如果0 < E < 23, 小數點左移E為后需要舍棄frac中部分位，此時直接將frac右移23-E位，抹去小數部分

??如果23 <= E < 31，此時小數點右移后frac全部移到小數點以左，將frac左移E-23位，在后面補零

代碼

/* 
 * floatFloat2Int - Return bit-level equivalent of expression (int) f
 *   for floating point argument f.
 *   Argument is passed as unsigned int, but
 *   it is to be interpreted as the bit-level representation of a
 *   single-precision floating point value.
 *   Anything out of range (including NaN and infinity) should return
 *   0x80000000u.
 *   Legal ops: Any integer/unsigned operations incl. ||, &&. also if, while
 *   Max ops: 30
 *   Rating: 4
 */
int floatFloat2Int(unsigned uf) {
  int sign = (uf >> 31) & 1;
  int exp = (uf >> 23) & 0xff;
  int frac = uf & 0x7fffff;

  int E = exp - 127;

  if (E < 0) //小數
  {
    return 0;
  }
  else if (E >= 31) // 超出int范圍
  {
    return 0x80000000u;
  }
  else
  {
    frac = frac | (1 << 23);  //加上隱含的1

    if (E < 23)     //舍去部分小數
    {
      frac >>= (23 - E);
    }
    else        //不需要舍去小數
    {
      frac <<= (E - 23);
    }

    if (sign)
      return -frac;
    else
      return frac;
  }
}

floatPower2

思路

根據浮點數求值公式：\(V = {( - 1)^s} \times M \times {2^E}\)

1.規格化

令M=1(frac = 0)，xEexp-Bias，exp=x+Bias

2.非規格化

exp = 0，在frac中令某一位為1，從而可使x更小，

	exp	frac	M	maxE	MinE
非規格化	0	0 * 10 *	0.frac	-127	-148
規格化	非0	0	1.0	127	-126

對邊界情況分析

1.非規格化

當frac = 100 0000 0000 0000 0000 0000時，M = 0.1b = 0.5, E = 1- Bias = -126，此時v = 0.5 * 2.0 ^ -126 = 2.0 ^ -127
當frac = 000 0000 0000 0000 0000 0001時，M = 0.000 0000 0000 0000 0000 0001 = 2.0 ^ -22, E = -126，此時v = 2.0 ^ -22 * 2 ^ -126 = 2.0 ^ -148

2.規格化

exp = 0xFF時，E = exp - Bias = 127
exp = 1時，E = exp - Bias = -126

代碼

unsigned floatPower2(int x) {
  if (x > 127) //too large, return +INF
  {
    return (0xFF << 23);
  }
  else if (x < -148) //too small, return 0
  {
    return 0;
  }
  else if (x >= -126) //norm，計算exp
  {
    int exp = x + 127;
    return (exp << 23);
  }
  else //denorm，令frac中某一位為1
  {
    int t = 148 + x;
    return (1 << t);
  }
}

測驗結果

總結

??后面的幾個題目還是很燒腦的，拿到題目不知所措，主要原因還是概念理解不到位，后來又去看書，理解了下基本概念，看了下其他人的解法，題目也可以慢慢理清楚了，解題程序代碼也記錄了下來，過段時間回來二刷可能會有新的解法，后面還有還幾個實驗等著我，慢慢來，歡迎關注我的博客及時獲取更新通知，

??最后分享個PPT上看到的笑話，數綿羊~ 哈哈 ~
QQ截圖20201028162245
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