Python實作“層次分析法”及“自調節層次分析法”

假設我們遇到如下問題：
①對于M個方案，每個方案有N個屬性，在已知各個方案每個屬性值&&任意兩個屬性的重要程度的前提下，如何選擇最優的方案？
②對于一個層級結構，在已知各底層指標相互之間的重要程度下，如何確定各底層指標對最高級指標的權值？
… …
此時，便可用層次分析法將我們的主觀想法——“誰比誰重要”轉換為客觀度量——“權值”

層次分析法

層次分析法的基本思想是將復雜問題分為若干層次和若干因素，在同一層次的各要素之間簡單地進行比較判斷和計算，并評估每層評價指標對上一層評價指標的重要程度，確定因素權重，從而為選擇最優方案提出依據，步驟如下：
（1）根據自己體系中的關聯及隸屬關系構建有層次的結構模型，一般分為三層，分別為最高層、中間層和最低層，
在這里插入圖片描述

（2）構造判斷矩陣
假設該層有n個評價指標u₁, u₂, …, u_n，設c_ij為u_i相對于u_j的重要程度，根據公式列出的1-9標度法，判斷兩兩評價指標之間的重要性，
在這里插入圖片描述
根據比較得出判斷矩陣：
C=(c_ij)_n*n其屬性為c_ij>0, c_ji=1/c_ij,c_ii=1

（3）層次單排序：從下往上，對于每一層的每個判斷矩陣，計算權向量和一致性檢驗，
計算矩陣C的最大特征根λ_max及對應的特征向量(P₁,P₂,…, P_n)
一致性指標定義為： C I = λ max ? ? n n ? 1 CI = \frac{{{\lambda _{\max }} - n}}{{n - 1}} CI=n?1λmax??n?
CI(Consistency Ratio)稱為一致性比例，CI=0時，具有完全一致性;CI接近于0，具有滿意的一致性;CI越大，不一致性越嚴重，
一致性比率定義為： C R = C I R I < 0.1 {\rm{CR}} = \frac{{{\rm{CI}}}}{{{\rm{RI}}}} < 0.1 CR=RICI?<0.1
其中RI稱為隨機性指標，參照表如下：
在這里插入圖片描述
只有當CR<0.1，則認為該判斷矩陣通過了一致性檢驗，即該矩陣自相矛盾產生的誤差可忽略，將矩陣C最大特征根對應的特征向量元素作歸一化處理，即可得到對應的權重集(C₁,C₂,…,C_n)，
（4）層次總排序
從上往下，依次計算每一層各指標對最上層指標的權值，以及每一層的綜合一致性比率CR，

自調節層次分析法——趙中奇

由于層次分析法選用1-9標度構建判斷矩陣，而大部分時候我們自己也不能很好度量重要性的程度，故趙中奇提出用-1，0，1三標度來構建判斷矩陣，同時，自動調整判斷矩陣，消除前后時刻主觀比較重要性時的矛盾現象，即讓矩陣變為一致性矩陣（CR=0），構建并調整判斷矩陣以及算權值向量的步驟如下：
（1）初始化m=1
a、確定比較矩陣C=(c_ij)_n*n的第m行元素
在這里插入圖片描述
b、劃分指標集合D_m={j|j=m+1,…,n}為
H_m={j|c_mj=-1,j∈D_m}、M_m={j|c_mj=0,j∈D_m}與L_m={j|c_mj=1,j∈D_m}
并構造集合為，其中×表示集合的笛卡爾積

c、若DL_m、DM_m、DH_m全為空集，轉d，否則令：

d、若m=n-1，轉第二步，否則令m=m+1，轉回a
（2）求比較矩陣C
在這里插入圖片描述
（3）求B=(b_ij)_n*n，其中

（4）求A=(a_ij)_n*n的特征向量，作為各評價指標的相對權重值，其中:

實體分析

由于網上找到的代碼大多只能算三層的體系，而且沒有趙中奇論文中的自調節層次分析法代碼，因此，自己寫了一個可以計算超過3層的層次分析法和自調節層次分析法代碼！

構建如下4層體系

在這里插入圖片描述

層次分析法得到的權值

判斷矩陣就不列出來了了，可以在代碼里找到，得到第四層對A的權值條形圖如下：
在這里插入圖片描述

自調節層次分析法得到的權值

自調節層次分析法對高階判斷矩陣更有優勢，而算低階判斷矩陣時的結果和層次分析法差不多，
在這里插入圖片描述

代碼

代碼包括了層次分析法與自調節層次分析法的實體，運行的時候注釋掉其中一個就行！

"""
Created on Tue Jan 26 10:12:30 2021
自適應層數的層次分析法求權值
@author: lw
"""

import numpy as np
import itertools
import matplotlib.pyplot as plt

#自適應層數的層次分析法
class AHP():
    '''
    注意：python中list與array運算不一樣，嚴格按照格式輸入！
    本層次分析法每個判斷矩陣不得超過9階，各判斷矩陣必須是正互反矩陣
    FA_mx：下一層對上一層的判斷矩陣集（包含多個三維陣列，默認從目標層向方案層依次輸入判斷矩陣，同層的判斷矩陣按順序排列，且上層指標不共用下層指標）
    string：默認為'norm'（經典的層次分析法，需輸入9標度判斷矩陣），若為'auto'（自調節層次分析法，需輸入3標度判斷矩陣）
    '''
    
    #初始化函式
    def __init__(self,FA_mx,string='norm'):
        self.RI=np.array([0,0,0.58,0.9,1.12,1.24,1.32,1.41,1.45,1.49])   #平均隨機一致性指標
        if string=='norm':
            self.FA_mx=FA_mx           #所有層級的判斷矩陣
        elif string=='auto':
            self.FA_mx=[]
            for i in range(len(FA_mx)):
                  temp=[] 
                  for j in range(len(FA_mx[i])):
                      temp.append(self.preprocess(FA_mx[i][j]))
                  self.FA_mx.append(temp)     #自調節層次分析法預處理后的所有層級的判斷矩陣
        self.layer_num=len(FA_mx)   #層級數目
        self.w=[]                  #所有層級的權值向量
        self.CR=[]                 #所有層級的單排序一致性比例
        self.CI=[]                 #所有層級下每個矩陣的一致性指標
        self.RI_all=[]              #所有層級下每個矩陣的平均隨機一致性指標
        self.CR_all=[]             #所有層級的總排序一致性比例
        self.w_all=[]              #所有層級指標對目標的權值
        
        
    #輸入單個矩陣算權值并一致性檢驗(特征根法精確求解)
    def count_w(self,mx):
        n=mx.shape[0]
        eig_value, eigen_vectors=np.linalg.eig(mx)
        maxeig=np.max(eig_value)         #最大特征值
        maxindex=np.argmax(eig_value)    #最大特征值對應的特征向量
        eig_w=eigen_vectors[:,maxindex]/sum(eigen_vectors[:,maxindex])         #權值向量
        CI=(maxeig-n)/(n-1)
        RI=self.RI[n-1]
        if(n<=2 and CI==0):
                CR=0.0
        else:
            CR=CI/RI
        if(CR<0.1):
            return CI,RI,CR,list(eig_w.T)
        else:
            print('該%d階矩陣一致性檢驗不通過,CR為%.3f'%(n,CR))
            return -1.0,-1.0,-1.0,-1.0
    
    #計算單層的所有權值與CR
    def onelayer_up(self,onelayer_mx,index):
        num=len(onelayer_mx)           #該層矩陣個數
        CI_temp=[]
        RI_temp=[]
        CR_temp=[]
        w_temp=[]
        for i in range(num):
            CI,RI,CR,eig_w=self.count_w(onelayer_mx[i])
            if(CR>0.1):
                print('第%d層的第%d個矩陣未通過一致性檢驗'%(index,i+1))
                return
            CI_temp.append(CI)
            RI_temp.append(RI)
            CR_temp.append(CR)
            w_temp.append(eig_w)
        self.CI.append(CI_temp)
        self.RI_all.append(RI_temp)
        self.CR.append(CR_temp)
        self.w.append(w_temp)
        
    #計算單層的總排序及該層總的一致性比例
    def alllayer_down(self):
        self.CR_all.append(self.CR[self.layer_num-1])
        self.w_all.append(self.w[self.layer_num-1])
        for i in range(self.layer_num-2,-1,-1):
            if(i==self.layer_num-2):
                temp=sum(self.w[self.layer_num-1],[])         #串列降維，扁平化處理，取上一層的權值向量
            CR_temp=[]
            w_temp=[]
            CR=sum(np.array(self.CI[i])*np.array(temp))/sum(np.array(self.RI_all[i])*np.array(temp))
            if(CR>0.1):
                print('第%d層的總排序未通過一致性檢驗'%(self.layer_num-i))
                return
            for j in range(len(self.w[i])):
                shu=temp[j]
                w_temp.append(list(shu*np.array(self.w[i][j])))
            temp=sum(w_temp,[])        #串列降維，扁平化處理，取上一層的總排序權值向量
            CR_temp.append(CR)
            self.CR_all.append(CR_temp)
            self.w_all.append(w_temp)
        return
        
        
        
    #計算所有層的權值與CR,層次總排序
    def run(self):
        for i in range(self.layer_num,0,-1):
            self.onelayer_up(self.FA_mx[i-1],i)
        self.alllayer_down()
        return
    
    
    #自調節層次分析法的矩陣預處理程序
    def preprocess(self,mx):
        temp=np.array(mx)
        n=temp.shape[0]
        for i in range(n-1):
            H=[j for j,x in enumerate(temp[i]) if j>i and x==-1]
            M=[j for j,x in enumerate(temp[i]) if j>i and x==0]
            L=[j for j,x in enumerate(temp[i]) if j>i and x==1]
            DL=sum([[i for i in itertools.product(H,M)],[i for i in itertools.product(H,L)],[i for i in itertools.product(M,L)]],[])
            DM=[i for i in itertools.product(M,M)]
            DH=sum([[i for i in itertools.product(L,H)],[i for i in itertools.product(M,H)],[i for i in itertools.product(L,M)]],[])
            if DL:
                for j in DL:
                   if(j[0]<j[1] and i<j[0]):
                       temp[int(j[0])][int(j[1])]=1
            if DM:
                for j in DM:
                   if(j[0]<j[1] and i<j[0]):
                       temp[int(j[0])][int(j[1])]=0
            if DH:
                for j in DH:
                   if(j[0]<j[1] and i<j[0]):
                       temp[int(j[0])][int(j[1])]=-1
        for i in range(n):
            for j in range(i+1,n):
                temp[j][i]=-temp[i][j]
        A=[]
        for i in range(n):
            atemp=[]
            for j in range(n):
                a0=0
                for k in range(n):
                    a0+=temp[i][k]+temp[k][j]
                atemp.append(np.exp(a0/n))
            A.append(atemp)
        return np.array(A)   
    
    
            

#%%測驗函式
if __name__=='__main__' :
    '''
    # 層次分析法的經典9標度矩陣
    goal=[]             #第一層的全部判斷矩陣
    goal.append(np.array([[1, 3],   
                [1/3 ,1]]))
    criteria1 = np.array([[1, 3],
                          [1/3,1]])
    criteria2=np.array([[1, 1,3],
                        [1,1,3],
                        [1/3,1/3,1]])
    c_all=[criteria1,criteria2]   #第二層的全部判斷矩陣
    sample1 = np.array([[1, 1], [1, 1]])
    sample2 = np.array([[1,1,1/3], [1,1,1/3],[3,3,1]])
    sample3 = np.array([[1, 1/3], [3, 1]])
    sample4 = np.array([[1,3,1], [1 / 3, 1, 1/3], [1,3, 1]])
    sample5=np.array([[1,3],[1/3 ,1]])
    sample_all=[sample1,sample2,sample3,sample4,sample5]  #第三層的全部判斷矩陣
    FA_mx=[goal,c_all,sample_all]
    A1=AHP(FA_mx)     #經典層次分析法
    A1.run()
    a=A1.CR           #層次單排序的一致性比例（從下往上）
    b=A1.w            #層次單排序的權值（從下往上）
    c=A1.CR_all       #層次總排序的一致性比例（從上往下）
    d=A1.w_all        #層次總排序的權值（從上往下）
    e=sum(d[len(d)-1],[])       #底層指標對目標層的權值
    #可視化
    plt.rcParams['font.sans-serif'] = ['SimHei']
    plt.rcParams['axes.unicode_minus'] = False
    name=['D1','D2','D3','D4','D5','D6','D7','D8','D9','D10','D11','D12']
    plt.figure()
    plt.bar(name,e)
    for i,j in enumerate(e):
        plt.text(i,j+0.005,'%.4f'%(np.abs(j)),ha='center',va='top')
    plt.title('底層指標對A的權值')
    plt.show()
    '''
    
    #自調節層次分析法的3標度矩陣(求在線體系的權值)
    goal=[]             #第一層的全部判斷矩陣
    goal.append(np.array([[0, 1],   
                [-1,0]]))
    criteria1 = np.array([[0, 1],
                          [-1,0]])
    criteria2=np.array([[0, 0,1],
                        [0,0,1],
                        [-1,-1,0]])
    c_all=[criteria1,criteria2]   #第二層的全部判斷矩陣
    sample1 = np.array([[0, 0], [0, 0]])
    sample2 = np.array([[0,0,-1], [0,0,-1],[1,1,0]])
    sample3 = np.array([[0, -1], [1, 0]])
    sample4 = np.array([[0,1,0], [-1, 0,-1], [0,1,0]])
    sample5=np.array([[0,1],[-1 ,0]])
    sample_all=[sample1,sample2,sample3,sample4,sample5]  #第三層的全部判斷矩陣
    FA_mx=[goal,c_all,sample_all]
    A1=AHP(FA_mx,'auto')     #經典層次分析法
    A1.run()
    a=A1.CR           #層次單排序的一致性比例（從下往上）
    b=A1.w            #層次單排序的權值（從下往上）
    c=A1.CR_all       #層次總排序的一致性比例（從上往下）
    d=A1.w_all        #層次總排序的權值（從上往下）
    e=sum(d[len(d)-1],[])       #底層指標對目標層的權值
    #可視化
    plt.rcParams['font.sans-serif'] = ['SimHei']
    plt.rcParams['axes.unicode_minus'] = False
    name=['D1','D2','D3','D4','D5','D6','D7','D8','D9','D10','D11','D12']
    plt.figure()
    plt.bar(name,e)
    for i,j in enumerate(e):
        plt.text(i,j+0.005,'%.4f'%(np.abs(j)),ha='center',va='top')
    plt.title('底層指標對A的權值')
    plt.show()

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