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本文由 二當家的白帽子 https://le-yi.blog.csdn.net/ 博客原創~

1486. 陣列異或操作：

給你兩個整數，n 和 start ，

陣列 nums 定義為：nums[i] = start + 2 * i（下標從 0 開始）且 n == nums.length ，

請回傳 nums 中所有元素按位異或（XOR）后得到的結果，

樣例 1

輸入：
	n = 5, start = 0
輸出：
	8
解釋：
	陣列 nums 為 [0, 2, 4, 6, 8]，其中 (0 ^ 2 ^ 4 ^ 6 ^ 8) = 8 ，
     "^" 為按位異或 XOR 運算子，

樣例 2

輸入：
	n = 4, start = 3
輸出：
	8
解釋：
	陣列 nums 為 [3, 5, 7, 9]，其中 (3 ^ 5 ^ 7 ^ 9) = 8.

樣例 3

輸入：
	n = 1, start = 7
輸出：
	7

樣例 4

輸入：
	n = 10, start = 5
輸出：
	2

提示

• 1 <= n <= 1000
• 0 <= start <= 1000
• n == nums.length

分析

我們可以直接按照題意，暴力回圈，那么時間復雜度就是O(n)，是否有時間復雜度為O(1)的演算法呢？

記x為變數，^是異或操作，則異或運算滿足以下性質：

1. x ^ x = 0；
2. x ^ 0 = x；
3. x ^ y = y ^ x（交換律）；
4. (x ^ y) ^ z = x ^ (y ^ z)（結合律）；
5. x ^ y ^ y = x（自反性）；
6. 如果x是4的倍數，x ^ (x + 1) ^ (x + 2) ^ (x + 3) = 0；

• 本題要計算的 結果公式 為：start ^ (start + 2) ^ (start + 4) ^ ? ^(start + 2 * (n ? 1))，
• 如果有一個函式 sumXor(x) 可以計算 0 ^ 1 ^ 2 ^ ? ^ x ，
• 對于某變數x和n，計算sumXor(s - 1) ^ sumXor(s + n - 1)的結果，根據上面的 性質1 可以將 0 ^ 1 ^ 2 ^ … ^ (s - 1) 的值抵消為0，就變成 0 ^ s ^ (s + 1) ^ (s + 2) ^ ? ^ (s + n - 1) ，根據 性質2 可知與0做異或操作還是自己，最后結果就變成 s ^ (s + 1) ^ (s + 2) ^ ? ^ (s + n - 1) ，這個結果很接近我們要計算的內容，
• 如果我們令 s = start / 2 ，把 結果公式 轉換成 (s ^ (s + 1) ^ (s + 2) ^ ? ^ (s + n - 1)) * 2，這樣并不成立，因為在做除以2的操作時，最低位丟失了，但是我們可以單獨處理最低位，
• 觀察 結果公式 可知 (start + 2)，(start + 4) ，… ，(start + 2 * (n ? 1)) 的奇偶性質相同，而且和start一致，也就是最低位要么都是0，要么都是1，只有基數個1做異或操作時才會是1，也就是只有start是奇數并且n是奇數的時候，最終結果的最低位 e 才會是1，
• 這時 結果公式 可以轉化為： ((sumXor(s - 1) ^ sumXor(s + n - 1)) * 2) | e ，

只要我們可以實作函式sumXor(x)，那么題目計算就可以做到O(1)的時間復雜度，根據 性質6 和 性質2 我們只需要考慮x除以4的余數，也就是最低2位，可以得到如下推導：

x % 4 = 0 的二進制位：xx…x00
x % 4 = 1 的二進制位：xx…x01
x % 4 = 2 的二進制位：xx…x10
x % 4 = 3 的二進制位：xx…x11

• x % 4 = 0，sumXor(x) = x；
• x % 4 = 1，sumXor(x) = (x - 1) ^ x，簡化可得 sumXor(x) = 1；
• x % 4 = 2，sumXor(x) = (x - 2) ^ (x - 1) ^ x，簡化可得 sumXor(x) = x | 1；
• x % 4 = 3，sumXor(x) = 0；
• x % 4 等同于 x & 3 的操作，而且理論上 & 操作要比 % 操作更快；

題解

java

class Solution {
    public int xorOperation(int n, int start) {
        int s = start >> 1, e = n & start & 1;
        int ret = sumXor(s - 1) ^ sumXor(s + n - 1);
        return ret << 1 | e;
    }

    public int sumXor(int x) {
        switch (x & 3) {
            case 0:
                return x;
            case 1:
                return 1;
            case 2:
                return x | 1;
            default:
                // x & 3 == 3
                return 0;
        }
    }
}

c

int xorOperation(int n, int start) {
    int s = start >> 1, e = n & start & 1;
    int ret = sumXor(s - 1) ^ sumXor(s + n - 1);
    return ret << 1 | e;
}

int sumXor(int x) {
    switch (x & 3) {
        case 0:
            return x;
        case 1:
            return 1;
        case 2:
            return x | 1;
        default:
            // x & 3 == 3
            return 0;
    }
}

c++

class Solution {
public:
    int xorOperation(int n, int start) {
        int s = start >> 1, e = n & start & 1;
        int ret = sumXor(s - 1) ^ sumXor(s + n - 1);
        return ret << 1 | e;
    }

    int sumXor(int x) {
        switch (x & 3) {
            case 0:
                return x;
            case 1:
                return 1;
            case 2:
                return x | 1;
            default:
                // x & 3 == 3
                return 0;
        }
    }
};

python

class Solution:
    def xorOperation(self, n: int, start: int) -> int:
        def sumXor(x):
            if x % 4 == 0:
                return x
            if x % 4 == 1:
                return 1
            if x % 4 == 2:
                return x | 1
            return 0
        s = start >> 1
        e = n & start & 1
        ans = sumXor(s - 1) ^ sumXor(s + n - 1)
        return ans << 1 | e

go

func xorOperation(n, start int) (ans int) {
    s, e := start>>1, n&start&1
    ret := sumXor(s-1) ^ sumXor(s+n-1)
    return ret<<1 | e
}

func sumXor(x int) int {
    switch x & 3 {
        case 0:
            return x
        case 1:
            return 1
        case 2:
            return x | 1
        default:
            return 0
    }
}

rust

impl Solution { 
  pub fn xor_operation(n: i32, start: i32) -> i32 {
    let s = start >> 1;
    let e = n & start & 1;
    let ret = Solution::sum_xor(s - 1) ^ Solution::sum_xor(s + n - 1);
    return ret << 1 | e
  }

  fn sum_xor(x: i32) -> i32 {
    match x & 3 {
      0 => x,
      1 => 1,
      2 => x | 1,
      _ => 0
    }
  }
}

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