A題 爐溫曲線

在集成電路板等電子產品生產中，需要將安裝有各種電子元件的印刷電路板放置在回焊爐中，通過加熱，將電子元件自動焊接到電路板上，在這個生產程序中，讓回焊爐的各部分保持工藝要求的溫度，對產品質量至關重要，目前，這方面的許多作業是通過實驗測驗來進行控制和調整的，本題旨在通過機理模型來進行分析研究，
回焊爐內部設定若干個小溫區，它們從功能上可分成4個大溫區：預熱區、恒溫區、回流區、冷卻區（如圖1所示），電路板兩側搭在傳送帶上勻速進入爐內進行加熱焊接，

圖1 回焊爐截面示意圖

某回焊爐內有11個小溫區及爐前區域和爐后區域（如圖1），每個小溫區長度為30.5 cm，相鄰小溫區之間有5 cm的間隙，爐前區域和爐后區域長度均為25 cm，
回焊爐啟動后，爐內空氣溫度會在短時間內達到穩定，此后，回焊爐方可進行焊接作業，爐前區域、爐后區域以及小溫區之間的間隙不做特殊的溫度控制，其溫度與相鄰溫區的溫度有關，各溫區邊界附近的溫度也可能受到相鄰溫區溫度的影響，另外，生產車間的溫度保持在25oC，
在設定各溫區的溫度和傳送帶的過爐速度后，可以通過溫度傳感器測驗某些位置上焊接區域中心的溫度，稱之為爐溫曲線（即焊接區域中心溫度曲線），附件是某次實驗中爐溫曲線的資料，各溫區設定的溫度分別為175oC（小溫區1_{5）、195oC（小溫區6）、235oC（小溫區7）、255oC（小溫區8}9）及25oC（小溫區10~11）；傳送帶的過爐速度為70 cm/min；焊接區域的厚度為0.15 mm，溫度傳感器在焊接區域中心的溫度達到30oC時開始作業，電路板進入回焊爐開始計時，
實際生產時可以通過調節各溫區的設定溫度和傳送帶的過爐速度來控制產品質量，在上述實驗設定溫度的基礎上，各小溫區設定溫度可以進行±10oC范圍內的調整，調整時要求小溫區1_{5中的溫度保持一致，小溫區8}9中的溫度保持一致，小溫區10_{11中的溫度保持25oC，傳送帶的過爐速度調節范圍為65}100 cm/min，
在回焊爐電路板焊接生產中，爐溫曲線應滿足一定的要求，稱為制程界限（見表1），

表1 制程界限

請你們團隊回答下列問題：
問題1 請對焊接區域的溫度變化規律建立數學模型，假設傳送帶過爐速度為78 cm/min，各溫區溫度的設定值分別為173oC（小溫區1_{5）、198oC（小溫區6）、230oC（小溫區7）和257oC（小溫區8}9），請給出焊接區域中心的溫度變化情況，列出小溫區3、6、7中點及小溫區8結束處焊接區域中心的溫度，畫出相應的爐溫曲線，并將每隔0.5 s焊接區域中心的溫度存放在提供的result.csv中，
問題2 假設各溫區溫度的設定值分別為182oC（小溫區1_{5）、203oC（小溫區6）、237oC（小溫區7）、254oC（小溫區8}9），請確定允許的最大傳送帶過爐速度，
問題3 在焊接程序中，焊接區域中心的溫度超過217oC的時間不宜過長，峰值溫度也不宜過高，理想的爐溫曲線應使超過217oC到峰值溫度所覆寫的面積（圖2中陰影部分）最小，請確定在此要求下的最優爐溫曲線，以及各溫區的設定溫度和傳送帶的過爐速度，并給出相應的面積，

圖2 爐溫曲線示意圖

問題4 在焊接程序中，除滿足制程界限外，還希望以峰值溫度為中心線的兩側超過217oC的爐溫曲線應盡量對稱（參見圖2），請結合問題3，進一步給出最優爐溫曲線，以及各溫區設定的溫度及傳送帶過爐速度，并給出相應的指標值，

B題 穿越沙漠

考慮如下的小游戲：玩家憑借一張地圖，利用初始資金購買一定數量的水和食物（包括食品和其他日常用品），從起點出發，在沙漠中行走，途中會遇到不同的天氣，也可在礦山、村莊補充資金或資源，目標是在規定時間內到達終點，并保留盡可能多的資金，
游戲的基本規則如下：
（1）以天為基本時間單位，游戲的開始時間為第0天，玩家位于起點，玩家必須在截止日期或之前到達終點，到達終點后該玩家的游戲結束，
（2）穿越沙漠需水和食物兩種資源，它們的最小計量單位均為箱，每天玩家擁有的水和食物質量之和不能超過負重上限，若未到達終點而水或食物已耗盡，視為游戲失敗，
（3）每天的天氣為“晴朗”、“高溫”、“沙暴”三種狀況之一，沙漠中所有區域的天氣相同，
（4）每天玩家可從地圖中的某個區域到達與之相鄰的另一個區域，也可在原地停留，沙暴日必須在原地停留，
（5）玩家在原地停留一天消耗的資源數量稱為基礎消耗量，行走一天消耗的資源數量為基礎消耗量的 倍，
（6）玩家第0天可在起點處用初始資金以基準價格購買水和食物，玩家可在起點停留或回到起點，但不能多次在起點購買資源，玩家到達終點后可退回剩余的水和食物，每箱退回價格為基準價格的一半，
（7）玩家在礦山停留時，可通過挖礦獲得資金，挖礦一天獲得的資金量稱為基礎收益，如果挖礦，消耗的資源數量為基礎消耗量的 倍；如果不挖礦，消耗的資源數量為基礎消耗量，到達礦山當天不能挖礦，沙暴日也可挖礦，
（8）玩家經過或在村莊停留時可用剩余的初始資金或挖礦獲得的資金隨時購買水和食物，每箱價格為基準價格的2倍，
請根據游戲的不同設定，建立數學模型，解決以下問題，

1. 假設只有一名玩家，在整個游戲時段內每天天氣狀況事先全部已知，試給出一般情況下玩家的最優策略，求解附件中的“第一關”和“第二關”，并將相應結果分別填入Result.xlsx，
2. 假設只有一名玩家，玩家僅知道當天的天氣狀況，可據此決定當天的行動方案，試給出一般情況下玩家的最佳策略，并對附件中的“第三關”和“第四關”進行具體討論，
3. 現有 名玩家，他們有相同的初始資金，且同時從起點出發，若某天其中的任意 名玩家均從區域A行走到區域B( )，則他們中的任一位消耗的資源數量均為基礎消耗量的 倍；若某天其中的任意 名玩家在同一礦山挖礦，則他們中的任一位消耗的資源數量均為基礎消耗量的 倍，且每名玩家一天可通過挖礦獲得的資金是基礎收益的 ；若某天其中的任意 名玩家在同一村莊購買資源，每箱價格均為基準價格的 倍，其他情況下消耗資源數量與資源價格與單人游戲相同，
   （1）假設在整個游戲時段內每天天氣狀況事先全部已知，每名玩家的行動方案需在第 天確定且此后不能更改，試給出一般情況下玩家應采取的策略，并對附件中的“第五關”進行具體討論，
   （2）假設所有玩家僅知道當天的天氣狀況，從第 天起，每名玩家在當天行動結束后均知道其余玩家當天的行動方案和剩余的資源數量，隨后確定各自第二天的行動方案，試給出一般情況下玩家應采取的策略，并對附件中的“第六關”進行具體討論，

注1：附件所給地圖中，有公共邊界的兩個區域稱為相鄰，僅有公共頂點而沒有公共邊界的兩個區域不視作相鄰，
注2：Result.xlsx中剩余資金數（剩余水量、剩余食物量）指當日所需資源全部消耗完畢后的資金數（水量、食物量），若當榷訓有購買行為，則指完成購買后的資金數（水量、食物量），

C題 中小微企業的信貸決策

在實際中，由于中小微企業規模相對較小，也缺少抵押資產，因此銀行通常是依據信貸政策、企業的交易票據資訊和上下游企業的影響力，向實力強、供求關系穩定的企業提供貸款，并可以對信譽高、信貸風險小的企業給予利率優惠，銀行首先根據中小微企業的實力、信譽對其信貸風險做出評估，然后依據信貸風險等因素來確定是否放貸及貸款額度、利率和期限等信貸策略，
某銀行對確定要放貸企業的貸款額度為10_{100萬元；年利率為4%}15%；貸款期限為1年，附件1~3分別給出了123家有信貸記錄企業的相關資料、302家無信貸記錄企業的相關資料和貸款利率與客戶流失率關系的2019年統計資料，該銀行請你們團隊根據實際和附件中的資料資訊，通過建立數學模型研究對中小微企業的信貸策略，主要解決下列問題：
(1) 對附件1中123家企業的信貸風險進行量化分析，給出該銀行在年度信貸總額固定時對這些企業的信貸策略，
(2) 在問題1的基礎上，對附件2中302家企業的信貸風險進行量化分析，并給出該銀行在年度信貸總額為1億元時對這些企業的信貸策略，
(3) 企業的生產經營和經濟效益可能會受到一些突發因素影響，而且突發因素往往對不同行業、不同類別的企業會有不同的影響，綜合考慮附件2中各企業的信貸風險和可能的突發因素（例如：新冠病毒疫情）對各企業的影響，給出該銀行在年度信貸總額為1億元時的信貸調整策略，

附件1 123家有信貸記錄企業的相關資料
附件2 302家無信貸記錄企業的相關資料
附件3 銀行貸款年利率與客戶流失率關系的2019年統計資料

附件中資料說明：
(1) 進項發票：企業進貨（購買產品）時銷售方為其開具的發票，
(2) 銷項發票：企業銷售產品時為購貨方開具的發票，
(3) 有效發票：為正常的交易活動開具的發票，
(4) 作廢發票：在為交易活動開具發票后，因故取消了該項交易，使發票作廢，
(5) 負數發票：在為交易活動開具發票后，企業已入賬記稅，之后購方因故發生退貨并退款，此時，需開具的負數發票，
(6) 信譽評級：銀行內部根據企業的實際情況人工評定的，銀行對信譽評級為D的企業原則上不予放貸，
(7) 客戶流失率：因為貸款利率等因素銀行失去潛在客戶的比率，

D題 接觸式輪廓儀的自動標注

輪廓儀是一種兩坐標測量儀器（見圖1），它由作業平臺、夾具、被測工件、探針、傳感器和伺服驅動等部件組成（見圖2），
圖1 某種型號的接觸式輪廓儀 圖2 接觸式輪廓儀的示意圖
接觸式輪廓儀的作業原理是，探針接觸到被測工件表面并勻速滑行，傳感器感受到被測表面的幾何變化，在X和Z方向分別采樣，并轉換成電信號，該電信號經放大等處理，轉換成數字信號儲存在資料檔案中（見圖3），
（a）接觸式輪廓儀測量示意圖 (b) 資料檔案中的數字信號
圖3 接觸式輪廓儀的作業原理
在理想狀況下，輪廓曲線應該是光滑的，但由于接觸式輪廓儀存在探針沾污、探針缺陷、掃描位置不準等問題，檢測到的輪廓曲線呈現出粗糙不平的情況（見圖3(b)中的區域放大圖），這給工件形狀的準確標注帶來影響，
為了簡化問題，假設被測工件的輪廓線是由直線和圓弧構成的平面曲線（見圖4），請建立數學模型，并根據附件1（工件1的水平和傾斜測量資料）、附件2～附件4（工件2的多次測量資料）所提供的輪廓儀測量資料，研究下列問題：
問題1．附件1中的表level是工件1在水平狀態下的測量資料，其輪廓線如圖4所示，請標注出輪廓線的各項引數值：槽口寬度（如x_1,x_3等）、圓弧半徑（如R_1,R_2等）、圓心之間的距離（如c_1,c_2等）、圓弧的長度、水平線段的長度（如x_2,x_4等）、斜線線段的長度、斜線與水平線之間的夾角（如∠1,∠2等）和人字形線的高度（z_1），

圖4 工件1在水平狀態下測量的輪廓線
問題2．同一工件在不同次測量時，由于工件放置的角度和位置不同，輪廓線引數的計算值也會存在差異，附件1中的表down給出了工件1在傾斜一個角度和有一些水平位移狀態下輪廓線的測量資料，請計算該工件測量時的傾斜角度，并作水平校正，在資料校正后，完成問題1的任務，并比較兩種測量狀態下工件1各項引數計算值之間的差異，
問題3．在對工件作多次檢測時，工件每次放置的角度、測量的起點和終點都會有偏差，這導致了每次測量實際是對整個工件中的某一部分進行檢測，附件2提供了對工件2的10次測量資料，請基于這些資料完成：(1) 每次測量時工件2的傾斜角度；(2) 標注出工件2輪廓線的各項引數值（同問題1）；(3) 畫出工件2的完整輪廓線，
問題4．為了更準確地標注出工件2的各項引數值，附件3和附件4分別提供了工件2關于圓和角的9次區域測量資料，請利用這些資料修正問題3的結論，并對該工件的完整輪廓線作進一步修正，

E題 校園供水系統智能管理

校園供水系統是校園公用設施的重要組成部分，學校為了保障校園供水系統的正常運行需要投入大量的人力、物力和財力，隨著科學技術的發展，校園內已經普遍使用了智能水表，從而可以獲得大量的實時供水系統運行資料，后勤部門希望基于這些資料，通過數學建模和資料挖掘及時發現和解決供水系統中存在的問題，提高校園服務和管理水平，
附件是某校區水表層級關系以及所有水表四個季度的讀數(以一定時間為間隔，如15分鐘)與相應的用水資料，請利用這些資訊和資料，建立數學模型，討論以下問題：

1. 統計、分析各個水表資料的變化規律，并給出校園內不同功能區（宿舍、教學樓、辦公樓、食堂等）的用水特征，
2. 結合校區水表層級關系，建立水表資料之間的關系模型，并利用已有資料分析模型誤差，
3. 輸水管網的漏損是一個嚴重問題，資料顯示，在維護良好的公共供水網路中，平均失水在5%左右；而在比較老舊的管網中，失水則會更多，請利用附件提供的資料，建立數學模型，分析該校園供水管網的漏損情況，
4. 地下水管暗漏不容易被發現，需要花費大量人力對供水管道的漏損進行檢測及定位，如果能夠從水表的實時資料及時發現并確定發生漏損的位置，將極為有益，請幫助學校解決這個問題，
5. 管網維修需要一定的人工費和材料費，但同時可以降低管網漏損程度，請根據以上結果和你了解的水價及維修成本確定管網漏損的最優維修決策方案，

請注意各時間節點：

截止日期到9月13號22點，此后的任何修改均無效，