題意
判斷是否存在一個序列 $ b_i $ 使得 $ \prod_{i = 1}^{n} b_i \ | b_i^{a_i}$ 恒成立，其中 $ b_i $ 中的每個數都是2的正整數次冪，
樣例輸入
3
2
3 2
3
3 3 3
2
1 10
樣例輸出
YES
YES
NO
資料范圍
對于 100% 的資料有 $ n \leq 10^5,a_i \leq 10,T \leq 10$
決議
首先拿到這道題，考場一看就知道不是規律題就是數學公式題，事實上是的，
我們可以設 $ b_i=2^{x_i} $ 其中 $ x_i \(為正整數，\) lcm(a_1,a_2,a_3....a_n)=LCM $ , $ sum=\sum_{i = 0}^{n} x_i\ $，
那么我們可以將原式子化為 $ 2^{sum} | 2^{x_i * a_i} $,顯然要使此式恒成立，就要滿足 $ a_i * x_i \geq sum $.
此式子可以轉化為 $ lcm* x_i \geq sum* \frac{lcm}{a_i} $
左右兩邊相加可得
$ lcm* sum \geq sum * ( \sum_{i = 1}^{n} {\frac{lcm}{a_i}}\ )$
即 $ lcm \geq ( \sum_{i = 1}^{n} {\frac{lcm}{a_i}}\ )$
兩邊提出 $ lcm $約去得到 $ 1 \geq ( \sum_{i = 1}^{n} {\frac{1}{a_i}}\ )$
那么我們可以得出最終公式就是 $ ( \sum_{i = 1}^{n} {\frac{1}{a_i}}\ \leq 1) $
如果我們直接同分比較，很顯然會超資料范圍，
對于這一題，由于涉及倒數，會產生浮點誤差，我們有三種方法去處理
方法一（不推薦
在最終判斷的時候設定精度進行調控
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const double eps=1e-6;
int T,n,k;
bool cheak(double a,double b){
if(a-b<=eps) return true;
else return false;
}
int main(){
scanf("%d",&T);
while(T--){
scanf("%d",&n);
double sum=0;
for(int i=1;i<=n;++i){
scanf("%d",&k);
sum+=1.0/(double)k;
}
if(cheak(sum,(double)1)) printf("YES\n");
else printf("NO\n");
}
return 0;
}
方法二(正解
我們可以觀察資料，可以知道 $ a_i \leq 10 $ 我們最終得到得式子也只與 $ a_i $ 得倒數有關,所以我們可以將式子改造，左右兩邊乘以 $ 10! $,也就是
$ ( \sum_{i = 1}^{n} {\frac{10!}{a_i}}\ \leq 10!) $
于是運算便變為了整數運算，便不存在浮點誤差了！（常用技巧）
#include <iostream>
#include <cstdlib>
#include <cstdio>
using namespace std;
typedef long long ll;
int main(){
int t;
scanf("%d",&t);
while (t--){
int n;
scanf("%d",&n);
ll tot=0;
for(int i=0;i<n;i++){
int x;
scanf("%d",&x);
tot+=3628800/x;
}
puts(tot<=3628800 ? "YES" : "NO");
}
return 0;
}
方法三(巧妙的暴力
分析式子 $ ( \sum_{i = 1}^{n} {\frac{1}{a_i}}\ \leq 1) $ 我們可以發現如果 $ n > max(a_i) $ 那么這個式子必然不成立，所以我們可以把n的范圍縮小到 $ max(a_i) $ 以內，那么我們通分就不會超出范圍了于是便有了一個愉快的暴力
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int main(){
int t;
scanf("%d",&t);
while (t--){
int n;bool flag=1;
scanf("%d",&n);
long long tot=0;
long long pop=1;
int maxn=0;
for(int i=1;i<=n;i++){
int x;
scanf("%d",&x);
maxn=max(maxn,x);
if(x==1) flag=0;
tot+=x;
pop*=x;
}
if(!flag || n>maxn) printf("NO\n");
else puts(tot<=pop ? "YES" : "NO");
}
return 0;
}
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標籤：C++