[2020中國大學生程式設計競賽(CCPC)-網路選拔賽] 1005 Lunch

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題意

有n堆石子，每堆石子 l i {l_i} li?個，現在有兩個人輪流進行博弈，博弈規則如下：

1. 如果當前一輪中，每一堆的石子全為1，那么該選手輸掉比賽，
2. 假設有一堆石子數為L，選手可選擇L的一個大于等于2的因子K作為新的堆數，然后將該堆分為K堆每堆 L K {\frac{L}{K}} KL?個石子，

游戲最后每堆石子數全為1，必將有一個人失敗，
問先手是否會獲勝，如果是輸出“W”，否則“L”，

題解

本題很明顯是一個Nim博弈的變形，此類問題的解決方法無非SG函式，所以我們可以先分析其后續狀態的集合，然后SG函式打表找規律試試，

很明顯一個數L的后續狀態的個數就是其大于等于2的因子數，解法和拆分Nim相似，
假設因子為k，每一個狀態就是有 L K {\frac{L}{K}} KL?個K，那么該狀態的值就是 L K {\frac{L}{K}} KL?個SG(K)異或得出，
每個狀態都有一個SG值，SG定理得出SG(L)就是其后續狀態的Nim和，
記憶化SG函式打表即可，

打表代碼

#include<iostream>
#include<algorithm>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<stack>
#include<vector>
#include<unordered_set>
#include<unordered_map>
using namespace std;

typedef long long ll;
const int maxn=4e4+10;
const int maxm=1e4+10;
#define ios ios::sync_with_stdio(false);cin.tie(0);cout.tie(0);
int n,m;
int f[maxm];

int sg(int x){
	if(f[x]!=-1) return f[x];
	unordered_set<int> S;
	vector<int> q;
	for(ll i=2;i<=sqrt(x);++i){
		if(x%i==0){
			q.push_back(i);
			if(i*i!=x) q.push_back(x/i);
		}
	}
	q.push_back(x);
	for(int i=0;i<q.size();++i)
	{
		if(q[i]%2==0) S.insert(0);
		else S.insert(sg(x/q[i]));
	}
	for(int i=0;;++i){
		if(!S.count(i)) return f[x] = i;
	}
}

int main(void)
{
	memset(f, -1, sizeof(f));
	f[1]=0;
	for(int i=1;i<=30;i++) cout << i << ' ' << sg(i) << "   ";
}

本題的難點我認為在于找規律
比賽中就是因為沒找出規律所以才gg的，難受～

這次的規律通過唯一分解得出，L的SG值是：L唯一分解后除了2的素因子的冪次和，如果為偶數+1，奇數不加，

由于L上限為1e9，所以可以先預處理 1 e 9 {\sqrt{1e9}} 1e9 ?以內的素數，然后唯一分解得出答案，

代碼

#include<iostream>
#include<algorithm>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<bitset>
#include<cassert>
#include<cctype>
#include<cmath>
#include<cstdlib>
#include<ctime>
#include<deque>
#include<iomanip>
#include<list>
#include<map>
#include<queue>
#include<set>
#include<stack>
#include<vector>
#include<unordered_set>
#include<unordered_map>
using namespace std;
//extern "C"{void *__dso_handle=0;}
typedef long long ll;
typedef long double ld;
#define fi first
#define se second
#define pb push_back
#define mp make_pair
#define pii pair<int,int>
#define lowbit(x) x&-x

const double PI=acos(-1.0);
const double eps=1e-6;
const ll mod=1e9+7;
const int inf=0x3f3f3f3f;
const int maxn=4e4+10;
const int maxm=1e4+10;
#define ios ios::sync_with_stdio(false);cin.tie(0);cout.tie(0);
int n,m;

int prime[maxn+10];
void getprime()
{
	for(int i=2;i<=maxn;i++)
	{
		if(!prime[i]) prime[++prime[0]]=i;
		for(int j=1;j<=prime[0]&&i*prime[j]<=maxn;j++)
		{
			prime[prime[j]*i]=1;
			if(i%prime[j]==0) break;
		}
	}
}
int SG(int x)
{
	int res=0;
	if(x%2==0) res=1;
	int tmp=x,cnt=0;
	for(int i=1;i<=prime[0];i++)
	{
		if(tmp%prime[i]==0)
		{
			while(tmp%prime[i]==0)
			{
				tmp/=prime[i];
				if(prime[i]!=2) cnt++;
			}
		}
		if(tmp==1) break;
	}
	if(tmp!=1 && tmp!=2) cnt++;
	return cnt+res;
}
int main(void)
{
	getprime();
	int t;
	scanf("%d",&t);
	while(t--)
	{
		scanf("%d",&n);
		int res = 0;
		for(int i=0;i<n;++i){
			int x;
			cin>>x;
			res ^= SG(x);
		}
		if(res) printf("W\n");
		else printf("L\n");
	}
}