學習日志—矩陣
矩陣的乘法
證明矩陣乘法的結合律，即證A(BC)=(AB)C
先令出三個矩陣
A_{m*n}; B_{n*p}; C_(p*q)
先看等式右邊(AB)C 新矩陣第i行第j列的元素就是AB相乘后的第i行與C的第j列各元素相乘的和 A的第i行乘以B的第1列如下：\begin{equation} \left[ \begin{array}{cccc} a_{i1} & a_{i2} & … & a_{in} \end{array} \right ] \left[ \begin{array}{c} b_{11}\\ b_{12}\\ ... \\ b_{1n} \end{array} \right ] \end{equation}
所以AB的第i行的n個元素就是A的第i行乘上B的每一列，（AB）C的第（i，j）個元素計算如下：
\begin{equation}
(AB)C_{(i,j)}
(\sum_{r=1}^n a_{ir}b_{r1}, \sum_{r=1}^n a_{ir}b_{r2}, …, \sum_{r=1}^n a_{ir}b_{rp})
\left(
\begin{array}{c}
c_{1j}\
c_{2j}\
…\
c_{rj}
\end{array}
\right)
\
=c_{1j}(\sum_{r=1}^n a_{ij}b_{ij})+ c_{2j}(\sum_{r=1}^n a_{ij}b_{ij})+…+ c_{qj}(\sum_{r=1}^n a_{ij}b_{ij})\
\sum_{k=1}^q c_{kj}\sum_{r=1}^n(a_{ir}b_{rk})\
\sum_{k=1}^q \sum_{r=1}^n c_{kj}(a_{ir}b_{rk}) %調換了一下位置
\end{equation}
所以BC的第i列的n個元素就是B的第每一行乘上C的第i列，A（BC）的第（i，j）個元素計算如下：
\begin{equation}
A(BC)_{(i,j)}
\left(
\begin{array}{cccc}
a_{i1} & a_{i2} & ... & a_{ir}
\end{array}
\right)
\left(
\begin{array}{c}
\sum_{k=1}^p\ b_{1k}c_{kj}\
\sum_{k=1}^p\ b_{2k}c_{kj}\
...\
\sum_{k=1}^p\ b_{nk}c_{kj}
\end{array}
\right)
\sum_{k=1}^p \sum_{r=1}^n a_{ir}b_{rk}c_{kj}
\end{equation}
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