題意
https://vjudge.net/problem/CodeForces-1228C
首先先介紹一些涉及到的定義：
定義prime(x)表示x的質因子集合，舉例來說，prime(140)={2,5,7}，prime(169)={13}，
定義g(x,p)表示存在一個最大的k∈N?，使得x可以被p^k整除，那么g(x, p) = p^k，舉例來說：
- g(45, 3) = 9 （45可以被3^2 = 9整除但是不能被3^3=27整除）
- g(63, 7) = 7 （63可以被7^1 = 7整除但是不能被7^2=49整除）
定義f(x, y)表示所有g(y,p) (p∈prime(x))的乘積，舉例來說：
- f(30, 70) = g(70,2)·g(70,3)·g(70, 5) = 2^1·3^0·5^1 = 10
- f(525,63) = g(63,3)·g(63,5)·g(63,7) = 3^2·5^0·7^1 = 63
現在給出兩個整數x和n，請計算出f(x,1)?f(x,2)…f(x,n) mod (10^9+7)的值，
思路
先算一下x=10,n=10的情況
f(10,1)=1 f(10,2)=g(2,2)=2 f(10,3)=1 f(10,4)=g(4,2)=4 f(10,5)=g(5,5)=5
f(10,6)=g(6,2)=2 f(10,7)=1 f(10,8)=g(8,2)=8 f(10,9)=1 f(10,10)=g(10,5)=10
容易發現，對于10的素因子2、5，2在2、4、6、8、10都出現了一次，在4，8又出現了一次，在8又出現了一次，所以對于素因子i，它的貢獻是x^(n/x) * x^(n/x/x) * x^(n/x/x/x) * ……
所以對x質因數分解（分解到根號x即可），然后對每個質因子算貢獻，
代碼
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define inf 0x3f3f3f3f
#define ll long long
const int N=200005;
const int mod=1e9+7;
const double eps=1e-8;
const double PI = acos(-1.0);
#define lowbit(x) (x&(-x))
ll qpow(ll a,ll b)
{
ll res=1;
while(b)
{
if(b&1) res=res*a%mod;
a=a*a%mod;
b>>=1;
}
return res;
}
int main()
{
std::ios::sync_with_stdio(false);
ll x,n;
cin>>x>>n;
ll xx=x,gx=sqrt(x);
ll ans=1;
for(ll i=2; i<=gx; i++)
{
int f=0;
if(xx==1)
break;
while(xx%i==0&&xx!=1)
{
xx/=i;
f=1;
}
if(f)
{
ll nn=n;
while(nn)
{
nn/=i;
ans=ans*qpow(i,nn)%mod;
}
}
}
if(xx>1)
{
ll nn=n,i=xx;
while(nn)
{
nn/=i;
ans=ans*qpow(i,nn)%mod;
}
}
cout<<ans<<endl;
return 0;
}
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