連續時間指數信號

連續時間復指數函式：
x ( t ) = C e a t x(t)=Ce^{at} x(t)=Ceat
C C C 與 a a a 一般為復數

1 連續時間實指數信號

C C C 與 a a a 都是實數，則 x ( t ) x(t) x(t) 為實指數信號

（高中知識）

2 連續時間周期復指數信號

x ( t ) = C e a t a = σ + j ω x(t)=Ce^{at}\\ a=\sigma +j\omega x(t)=Ceata=σ+jω

σ \sigma σ 是復數 a a a 的實部， ω \omega ω 是復數 a a a 的虛部，則根據Euler’s formula（歐拉公式）
e j ω t = c o s ( ω t ) + j s i n ( ω t ) e ? j ω t = c o s ( ω t ) ? j s i n ( ω t ) e^{j\omega t}=cos(\omega t)+jsin(\omega t)\\ e^{-j\omega t}=cos(\omega t)-jsin(\omega t) ejωt=cos(ωt)+jsin(ωt)e?jωt=cos(ωt)?jsin(ωt)
則可以化為：
x ( t ) = C e a t = C e ( σ + j ω ) t = C e σ t e j ω t = C e σ t [ c o s ( ω t ) + j s i n ( ω t ) ] = C e σ t c o s ( ω t ) + j C e σ t s i n ( ω t ) x(t)=Ce^{at}=Ce^{(\sigma +j\omega)t}=Ce^{\sigma t}e^{j\omega t}=Ce^{\sigma t}[cos(\omega t)+jsin(\omega t)]=Ce^{\sigma t}cos(\omega t)+jCe^{\sigma t}sin(\omega t) x(t)=Ceat=Ce(σ+jω)t=Ceσtejωt=Ceσt[cos(ωt)+jsin(ωt)]=Ceσtcos(ωt)+jCeσtsin(ωt)
此結果表明復指數信號可以分解為實、虛兩部分，實部包含余弦信號，虛部包含正弦信號

2.1 當 a a a 是純虛數，即 σ = 0 \sigma = 0 σ=0 時

x ( t ) = e j ω 0 t x(t)=e^{j\omega_0t} x(t)=ejω0?t

我們知道復指數函式 y = e j ω 0 t y=e^{j\omega_0t} y=ejω0?t 在空間中是一個螺旋前進的三維影像，它前進的方向是自變數序列 t t t 增大的方向 ω \omega ω 是旋轉的速度，在右手系中，若令 x x x 軸表示 t t t ， y y y 軸表示虛部， z z z 軸表示實部，則從 t t t 的正方向往原點看去可以發現：當 ω > 0 \omega>0 ω>0 時，影像順時針旋轉接近；當 ω < 0 \omega<0 ω<0 時，影像逆時針旋轉接近，

我們使用 M a t l a b Matlab Matlab 繪圖畫出復指數 x ( t ) = e j ω 0 t x(t)=e^{j\omega_0t} x(t)=ejω0?t 的圖，以便于我們直觀理解

程式部分在https://blog.csdn.net/ctyqy2015301200079/article/details/83787163的基礎上修改

w = 1;                      %也可以改成-1
t = 0:0.1:20;
sigma = 0;                  %這個值為sigma值，后面討論一般復指數函式有用
f=exp((sigma + 1j*w)*t);                   
L=length(t);
x=t;                        %以該復函式自變數t作為三維影像的x軸
y=imag(f);                  %以該復函式虛部作為三維影像的y軸
z=real(f);                  %以該復函式實部作為三維影像的z軸
y_0=zeros(size(t));         %獲取y=0的點集   
y_1=ones(size(t));          %獲取y=1的點集
z_0=zeros(size(t));         %獲取z=0的點集
z_1=ones(size(t));          %獲取z=1的點集
plot3(x,y,z,'.b');          %繪制虛指數函式影像
hold on
grid on
x1=[x;x];
y1=[y;y_0];
z1=[z;z_0];
% 繪制復指數函式影像上的點對應的連線
for i=1:L                      
  plot3(x1(:,i),y1(:,i),z1(:,i),'b');  
end
% 繪制副部指數函式影像所繞的軸
plot3(x,y_0,z_0,'k');

% 繪制實部的在底面的投影圖
plot3(x,y,-1*z_1,'.g');   
% 繪制實部的點對應的連線
y2=[y;y_0];
z2=[-1*z_1;-1*z_1];
for i=1:L                      
   plot3(x1(:,i),y2(:,i),z2(:,i),'g');  
end

% 繪制虛部的在后面的投影圖
plot3(x,y_1,z,'.r');
% 繪制虛部的點對應的連線
y3=[y_1;y_1];
z3=[z;z_0];
for i=1:L                      
   plot3(x1(:,i),y3(:,i),z3(:,i),'r');   
end

當 w = 1 w=1 w=1 時：可以得到結果如圖1所示，從 t t t 正方向往原點看去，影像的確順時針靠近

當 w = ? 1 w=-1 w=?1時：可以得到結果如圖2所示，從 t t t 正方向往原點看去，影像的確逆時針靠近

上圖自變數 t t t 變化范圍為 [ 0 , 20 ] [0,20] [0,20] ，紅色為實部，綠色為虛部，復數為藍色，我們可以看到紅色為余弦函式，綠色為正弦信號， w w w 的正負改變了虛部的符號，所以我們可以看到當 w w w 變為 ? 1 -1 ?1 的時候，正弦信號反相，

我們可以很清楚的看到 x ( t ) = e j ω 0 t x(t)=e^{j\omega_0t} x(t)=ejω0?t 是周期信號，且 e j ω 0 t e^{j\omega_0t} ejω0?t 與 e ? j ω 0 t e^{-j\omega_0t} e?jω0?t 周期相同 ，下面我們從數學層面去證明：

如果存在：
e j ω 0 t = e j ω 0 ( t + T ) e^{j\omega_0t}=e^{j\omega_0(t+T)} ejω0?t=ejω0?(t+T)
則表示 x ( t ) = e j ω 0 t x(t)=e^{j\omega_0t} x(t)=ejω0?t 是周期信號，要使
e j ω 0 t = e j ω 0 ( t + T ) e^{j\omega_0t}=e^{j\omega_0(t+T)} ejω0?t=ejω0?(t+T)
就必須有：
e j ω 0 t = e j ω 0 ( t + T ) = e j ω 0 t e j ω 0 T e^{j\omega_0t}=e^{j\omega_0(t+T)}=e^{j\omega_0t}e^{j\omega_0T} ejω0?t=ejω0?(t+T)=ejω0?tejω0?T
則要有
e j ω 0 T = 1 e^{j\omega_0T}=1 ejω0?T=1
若 ω 0 = 0 \omega_0=0 ω0?=0 ,則 x ( t ) = 1 x(t)=1 x(t)=1,這時對于任何 T T T 值都是周期性的，若 ω 0 ≠ 0 \omega_0 ≠ 0 ω0??=0，則有：
e j ω 0 T = c o s ( ω 0 T ) + j s i n ( ω 0 T ) = 1 e^{j\omega_0T}=cos(\omega_0 T)+jsin(\omega_0 T)=1 ejω0?T=cos(ω0?T)+jsin(ω0?T)=1
則我們知道要使上面式子成立（高中三角函式知識）則最小正 T T T 值，即基波周期 T 0 T_0 T0? 應該為：
T 0 = 2 π ∣ ω 0 ∣ T_0={\frac{2\pi}{|\omega_0|}} T0?=∣ω0?∣2π?
可見 e j ω 0 t e^{j\omega_0t} ejω0?t 與 e ? j ω 0 t e^{-j\omega_0t} e?jω0?t 周期相同，證畢，

我們可以看到基波周期 T 0 T_0 T0? 是與 ∣ ω 0 ∣ |\omega_0| ∣ω0?∣ 成反比的，也稱 ω 0 \omega_0 ω0? 是基波頻率（fundamental frequency）

則我們可以討論 ω 0 \omega_0 ω0? 是如何影響信號性質的：

ω 0 \omega_0 ω0? 與周期成反比，與振蕩速率成正比（ T = 1 / f T=1/f T=1/f）；當 ω 0 = 0 \omega_0=0 ω0?=0 時， x ( t ) x(t) x(t) 變為一個常數，如上面討論的，我們可以說振蕩速率為 0 0 0 ，振蕩周期無窮大

我們計算周期復指數信號一周期的總能量和平均功率得到總能量為 T 0 T_0 T0?，平均功率為 1 1 1 ，則我們可以得出在全部時間內積分總能量就是無窮大，平均功率總為 1 1 1 ，也就是說周期復指數信號具有有限平均功率

3 連續時間一般復指數信號

3.1 當 a a a 不是純虛數，即 σ ≠ 0 \sigma ≠ 0 σ?=0 時

由開頭已經推匯出：
x ( t ) = C e a t = C e σ t c o s ( ω t ) + j C e σ t s i n ( ω t ) x(t)=Ce^{at}=Ce^{\sigma t}cos(\omega t)+jCe^{\sigma t}sin(\omega t) x(t)=Ceat=Ceσtcos(ωt)+jCeσtsin(ωt)
我們補充將 C C C 用極坐標表示， a a a 不變用笛卡爾坐標來表示，
C = ∣ C ∣ e j θ a = σ + j ω C=|C|e^{j\theta}\\ a=\sigma +j\omega C=∣C∣ejθa=σ+jω
則可以進一步展開為：
C e a t = ∣ C ∣ e σ t c o s ( ω t + θ ) + j ∣ C ∣ e σ t s i n ( ω t + θ ) Ce^{at}=|C|e^{\sigma t}cos(\omega t+\theta)+j|C|e^{\sigma t}sin(\omega t+\theta) Ceat=∣C∣eσtcos(ωt+θ)+j∣C∣eσtsin(ωt+θ)
則我們可以得出如下結論：

當 σ = 0 \sigma = 0 σ=0 時，實部虛部都是正弦序列（正弦和余弦統稱正弦信號）（等幅振蕩）

當 σ > 0 \sigma > 0 σ>0 時，實部與虛部是一個振幅呈指數增長的正弦信號，（增幅振蕩）

當 σ < 0 \sigma < 0 σ<0 時，實部與虛部是一個振幅呈指數衰減的正弦信號，（衰減振蕩/阻尼正弦震蕩(damped sinusoids)）

我們修改上面 M a t l a b Matlab Matlab 代碼的 sigma 變數值來觀察，

當 σ = 0.1 > 0 \sigma = 0.1>0 σ=0.1>0 時，可以看到其為增幅震蕩：

當 σ = ? 0.1 < 0 \sigma = -0.1<0 σ=?0.1<0 時，可以看到其為衰減震蕩：

參考 https://blog.csdn.net/lsywyy/article/details/96440059 代碼
使用另一種方法也可以畫出衰減振蕩：

clc
clear
s=-0.1+1j*pi/2;
t=0:0.01:30;
f=exp(s.*t);
x=t;
y=imag(f);
z=real(f);
plot3(x,y,z,'-black');
grid on
hold on
%畫軸
y_0=zeros(size(t));            %獲取y=0的點集   
z_0=zeros(size(t));            %獲取z=0的點集
plot3(x,y_0,z_0,'-black');

畫出圖如下所示：

最后 a = σ + j ω a=\sigma +j\omega a=σ+jω 中 σ \sigma σ 與 ω \omega ω 都等于 0 0 0 的時候，變為直流信號，