IEEE浮點數標準
閱讀筆記:Computer System : A Programmmer's Perspective
基本概念
IEEE浮點數標準采用
\[V=(-1)^s\times M\times2^E \]的形式表示一個數：
-
符號：s決定數的正負
-
尾數：M是一個二進制小數，范圍是1~2-epsilon 或者 0~1-epsilon
-
階碼：E的作用是對浮點數加權，權重為2的E次冪
下圖為單精度(32位)與雙精度(64位)的位示意圖：
單精度：
- s：1位
- exp：k=8位
- frac：n=23位
雙精度：
- s：1位
- exp：k=11位
- frac：n=52位
三個欄位的編碼：
-
單獨的s直接編碼符號s
-
k位的階碼欄位：
\[exp=e_{k-1}e_{k-2}\cdots e_{1}e_{0} \]
編碼E
- n位的小數欄位：\[frac=f_{n-1}f_{n-1}\cdots f_{1}f_{0} \]
編碼M
編碼的三種情況
規范化值
當exp的位即不全為0也不全為1時（即單精度范圍：1~254 雙精度范圍：1~2046），即為規范化的值，這種情況下，階碼欄位可以被解釋為以偏置量（bias）形式表示的有符號整數
\[E=exp-bias \]其中：exp即為階碼欄位表示的值，并有
\[bias=2^{k-1}-1 \]故對于單精度bias=127,雙精度bias=1023,由此可得：
\[E=exp-127 \]或者是：
\[E=exp-1023 \]因此指數的范圍：
\[E\in [-126,127] \]或者是：
\[E\in [-1022,1023] \]小數欄位被解釋為描述小數值f，0≤f<1,即：
\[f=\sum_{i=0}^{n-1}f_i*2^{i-n} \]尾數定義為：
\[M=1+f \]非規范化值
當階碼域全為0時，表示的數是非規范化的，此時的階碼為
\[E=1-bias \]故E=-126(單精度)或者E=-1022(雙精度)而尾數：
\[M=f \]同理0≤f<1,即：
\[f=\sum_{i=0}^{n-1}f_i*2^{i-n} \]用途：
- 表示數值0
- 表示非常接近0的數
特殊值
- 無窮大
階碼全為1且小數欄位全為0，根據符號位表示±∞
- NaN
階碼全為1且小數欄位不全為0，這不是一個數(Not a Number)
總結
值的表示：
\[V=(-1)^s\times M\times2^E \]單精度：
-
規范值:
E=exp-bias
bias=127
M=1+f
-
非規范：
E=1-bias=-126
bias=127
M=f
雙精度：
-
規范值：
E=exp-bias
bias=1023
M=1+f
-
非規范值
E=1-bias=-1022
bias=1023
M=f
示例
Q1.將-3.33333333轉換為單精度表示
首先，將這個小數轉化為二進制的小數形式(利用×2法)
\[-3.33333333_{10}=-11.010101010101..._{2} \]規范化：
\[-3.33333333_{10}=-1.1010101010101..._{2}\times2^1 \]因此：
\[s=1 \]\[exp=E+bias=1+127=128_{10}=1000 0000_{2} \]\[M=1.1010101010..._2\Rightarrow f=1010101010..._2 \]從而可以寫出單精度表示
\[11000000010101010101010101010101_2=C0555555_{16} \]Q2.給出如圖8位二進制數在IEEE標準的浮點格式
首先對于規范化值：
\[E=exp-bias=exp-7 \]對于非規范值：
\[E=1-bias=-6 \]可以寫出如下表格：
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