簡介
ECC橢圓曲線加密，它的安全性基于橢圓曲線上的離散對數問題，
位元幣和目前的二代居民身份證都采用了ECC作為加密演算法，
ECC演算法如下：
橢圓曲線Ep(a,b)（p為模數），基點G(x,y)，G點的階數n，私鑰k，公鑰K(x,y)，隨機整數r，明文為一點m(x,y)，密文為兩點c1(x,y)和c2(x,y)
（其中基點G，明文m，密文c1、c2都是橢圓曲線E上的點）
選擇私鑰k（k<n）
得到公鑰K = k*G
選擇隨機整數r（r<n）
加密：
c1 = m+r*K
c2 = r*G
解密：
m = c1-k*c2
關于橢圓曲線的更多知識，可以參考Kalafinaian師傅的文章：https://www.cnblogs.com/Kalafinaian/p/7392505.html
SageMath可以直接計算橢圓曲線加法和橢圓曲線乘法，
橢圓曲線運算（SageMath）：
點u(x,y)，整數a，a關于模p的乘法逆元a_inv，點v(x,y)，點w(x,y)
v = a*u
u = v*a_inv
w = u+v
加解密腳本
SageMath加密腳本：
'''
加密
橢圓曲線選取時，模數p應是一個大質數，基點G的階數n也是一個質數
ECC所用的橢圓曲線有幾個固定的標準，如Secp256k1、Secp256r1等
'''
p = 520175694996894336551855254801109133456102894612986723725313
a = 7313143
b = 5531089
E = EllipticCurve(GF(p),[a,b]) #建立橢圓曲線E
G = E(383309911918352312476143108415504173014998255339380791655106,365034016619404037733940422396977249819924073858533741027266) #取E上一點G作為基點
n = G.order() #G的階數
k = 96001
K = k*G
r = 3832553
m = E(241330684417215700597612930059577361280847040371713971023550,301180098343646945961237431316562958402801995883635720461075) #取E上一點m作為明文
c1 = m+r*K
c2 = r*G
print(c1)
print(c2)
SageMath解密腳本：
'''
解密
'''
p = 520175694996894336551855254801109133456102894612986723725313
a = 7313143
b = 5531089
k = 96001
E = EllipticCurve(GF(p),[a,b]) #建立橢圓曲線E
c1 = E(213171155481617068291988259947180811072847218811482928670200,333462777376055187119428452085848783067407022110626513498729)
c2 = E(247740071423759529826985384384091435482909076542019443791998,66144246525423465426174688710291899454558908519475124801279)
m = m = c1-k*c2
print(m)
其他
使用Crypto.PublicKey.ECC生成ECC密鑰：
from Crypto.PublicKey import ECC
#生成ECC密鑰
key = ECC.generate(curve='NIST P-256') #使用橢圓曲線NIST P-256
#輸出密鑰（包括私鑰k，基點G）
print(key)
#公鑰（point_x，point_y是基點G的坐標）
print(key.public_key())
#橢圓曲線
print(key.curve)
#私鑰k
print(key.d)
#匯出為pem密鑰檔案
print(key.export_key(format='PEM'))
#匯入密鑰檔案
key = ECC.import_key(f.read())
橢圓曲線Secp256r1和Secp256k1：
'''Secp256r1（NIST P-256）'''
p = 2^224(2^32 ? 1) + 2^192 + 2^96 ? 1
#p = 115792089210356248762697446949407573530086143415290314195533631308867097853951
a = 115792089210356248762697446949407573530086143415290314195533631308867097853948
b = 41058363725152142129326129780047268409114441015993725554835256314039467401291
'''Secp256k1（位元幣使用）'''
p = 2^256 ? 2^32 ? 2^9 ? 2^8 ? 2^7 ? 2^6 ? 2^4 ? 1 = 2^256 – 2^32 – 977
#p = 115792089237316195423570985008687907853269984665640564039457584007908834671663
a = 0
b = 7
SageMath取橢圓曲線上隨機一點：
E = EllipticCurve(GF(p),[a,b])
E.random_point() #取橢圓曲線E上隨機一點轉載請註明出處，本文鏈接：https://www.uj5u.com/qita/169653.html
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