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李航老師《統計學習方法》第二版第十章課后題答案

2020-10-15 15:38:19 其他

10.1使用后向演算法計算 P ( O ∣ λ ) P(O|\lambda) P(O∣λ)

課后題10.1
解：
話不多說，上代碼，自己寫的，通用版，看到網上有多個不同版本的答案，還都是手算的，很佩服這些大佬的耐心，那么多的小數，一點點的算，第一個函式Bw_Recurrent(A,B,start_p,list_observation)為后向演算法，名字里面的Bw表示BackWards

# -*- coding: utf-8 -*-
import numpy as np

def Bw_Recurrent(A,B,start_p,list_observation):
    '''
    Parameters
    ----------
    A : np.float32 matrix
        是隱馬模型的狀態轉移矩陣.
    B : np.float32 matrix
        觀測概率矩陣.
    start_p : np.float32 matrix
        初始狀態概率分布.
    list_observation:list
        用于計算特定序列的概率
        
    Returns
    -------
    float32 .
    是P(O|lamda)

    '''
    #后向的遞回計算需要初始化一個全一的大小為N*1的矩陣
    N=np.shape(A)[0]
    p=np.ones((N,1),dtype=np.float32)
    
    T=len(list_observation)#觀測序列的長度
    for i in range(T-1):
        #將觀測矩陣里面的第list_observation[T-i-1]列取出來
        v=np.transpose(np.array([B[:,list_observation[T-i-1]]],dtype=np.float32))
        p=np.matmul(A,v*p)#這行代碼既有矩陣乘法，也有矩陣點乘
        
    o1=np.transpose(np.array([B[:,list_observation[0]]],dtype=np.float32))
    return np.sum(start_p*o1*p)#注意里面的矩陣乘法是點乘操作，也就是將對應位置的元素相乘

def Fw_Recurrent(A,B,start_p,list_observation):
    """
    Parameters
    ----------
    A : np.float32 matrix
        是隱馬模型的狀態轉移矩陣.
    B : np.float32 matrix
        觀測概率矩陣.
    start_p : np.float32 matrix
        初始狀態概率分布.
    list_observation:list
        用于計算特定序列的概率
    Returns
    -------
    float32 .
    是P(O|lamda)
    """
    o1=np.transpose(np.array([B[:,list_observation[0]]],dtype=np.float32))
    p=start_p*o1
    T=len(list_observation)#觀測序列的長度
    for i in range(T-1):
        p=np.matmul(np.transpose(A),p)*np.transpose(np.array([B[:,list_observation[i+1]]],dtype=np.float32))
        #要注意上面這行代碼里面的矩陣乘法和矩陣點乘
        print(p,'\n')
    return np.sum(p)

if __name__=='__main__':
    
    A=np.array([[0.5,0.2,0.3],
                [0.3,0.5,0.2],
                [0.2,0.3,0.5]],dtype=np.float32)
    B=np.array([[0.5,0.5],
                [0.4,0.6],
                [0.7,0.3]],dtype=np.float32)
    
    start_p=np.array([[0.2],[0.4],[0.4]],dtype=np.float32)
    list_observation=[0,1,0,1]

    s_fw=Fw_Recurrent(A,B,start_p,list_observation)  
    s_bw=Bw_Recurrent(A,B,start_p,list_observation)
    print('前向演算法的結果是： ',s_fw)
    print('后向演算法的結果是： ',s_bw)

運行結果是：

前向演算法的結果是：  0.060090814
后向演算法的結果是：  0.060090803

由上圖可以看到，這里輸出的結果有十分微小的差距，這是因為計算機的截斷誤差導致的

10.2 使用前后向演算法計算 P ( i 4 = q 3 ∣ O , λ ) P(i_{4}=q_{3}|O,\lambda ) P(i4?=q3?∣O,λ)

課后題10.2
解：
如果想要計算這個題的答案的話，還需要修改下上題的程式，李航老師書上有計算公式
P ( i t = q i ∣ O , λ ) = P ( i t = q i , O ∣ λ ) P ( O ∣ λ ) = α t ( i ) ? β t ( i ) P ( O ∣ λ ) P(i_{t}=q_{i}|O,\lambda )=\frac{P(i_{t}=q_{i},O|\lambda )}{P(O|\lambda )}=\frac{\alpha _{t}(i)*\beta _{t}(i)}{P(O|\lambda )} P(it?=qi?∣O,λ)=P(O∣λ)P(it?=qi?,O∣λ)?=P(O∣λ)αt?(i)?βt?(i)?
公式分析：上面公式的第一個等號成立使用了條件概率和聯合概率之間的計算關系----貝葉斯公式
關鍵在于如何獲取計算程序中的迭代向量，然后個別得到上面公式要求的，再按照公式計算就行了，

import numpy as np

def Bw_Recurrent(A,B,start_p,list_observation):
    '''
    Parameters
    ----------
    A : np.float32 matrix
        是隱馬模型的狀態轉移矩陣.
    B : np.float32 matrix
        觀測概率矩陣.
    start_p : np.float32 matrix
        初始狀態概率分布.
    list_observation:list
        用于計算特定序列的概率

    Returns
    -------
    float32 .
    是P(O|lamda)

    '''
    P=[]
    #后向的遞回計算需要初始化一個全一的大小為N*1的矩陣
    N=np.shape(A)[0]
    p=np.ones((N,1),dtype=np.float32)
    P.append(p)
    T=len(list_observation)#觀測序列的長度
    for i in range(T-1):
        #將觀測矩陣里面的第list_observation[T-i-1]列取出來
        v=np.transpose(np.array([B[:,list_observation[T-i-1]]],dtype=np.float32))
        p=np.matmul(A,v*p)#這行代碼既有矩陣乘法，也有矩陣點乘
        P.append(p)
        
    o1=np.transpose(np.array([B[:,list_observation[0]]],dtype=np.float32))
    return np.sum(start_p*o1*p),P#注意里面的矩陣乘法是點乘操作，也就是將對應位置的元素相乘

def Fw_Recurrent(A,B,start_p,list_observation):
    """
    Parameters
    ----------
    A : np.float32 matrix
        是隱馬模型的狀態轉移矩陣.
    B : np.float32 matrix
        觀測概率矩陣.
    start_p : np.float32 matrix
        初始狀態概率分布.
    list_observation:list
        用于計算特定序列的概率

    Returns
    -------
    float32 .
    是P(O|lamda)

    """
    P=[]
    o1=np.transpose(np.array([B[:,list_observation[0]]],dtype=np.float32))
    p=start_p*o1
    P.append(p)
    T=len(list_observation)#觀測序列的長度
    for i in range(T-1):
        p=np.matmul(np.transpose(A),p)*np.transpose(np.array([B[:,list_observation[i+1]]],dtype=np.float32))
        #要注意上面這行代碼里面的矩陣乘法和矩陣點乘
        P.append(p)
    return np.sum(p),P

if __name__=='__main__':
    
    A=np.array([[0.5,0.1,0.4],
                [0.3,0.5,0.2],
                [0.2,0.2,0.6]],dtype=np.float32)
    B=np.array([[0.5,0.5],
                [0.4,0.6],
                [0.7,0.3]],dtype=np.float32)
    
    start_p=np.array([[0.2],[0.3],[0.5]],dtype=np.float32)
    list_observation=[0,1,0,0,1,0,1,1]

    s_fw,P_fw=Fw_Recurrent(A,B,start_p,list_observation)  
    s_bw,P_bw=Bw_Recurrent(A,B,start_p,list_observation)
    print('前向演算法的結果是： ',s_fw)
    print('后向演算法的結果是： ',s_bw)
    print('result is :',P_fw[3][2]*P_bw[4][2]/s_bw)

計算結果是：

前向演算法的結果是：  0.00347671
后向演算法的結果是：  0.0034767103
result is : [0.5369518]

10.3 在習題10.1中，試用維特比(Viterbi)演算法求最優的路徑

解：
看到維特比演算法在很多地方都有應用，但是在不同的地方應用的方式是不同的，如果給了柵欄網圖，并且再給每一條邊都附上權值，我相信很多都會計算，但是，不同的應用場景中，如何計算這個權值是個關鍵，根據書上列好的演算法無論是寫程式還是計算起來都很簡單，但是，我覺得關鍵是如何做到活學活用，在不同的場景里面應用自如，好藍呀！！！
一個演算法學了差不多一個下午，但是感徑訓是差點感性認識，就這樣吧，上代碼

# -*- coding: utf-8 -*-
"""
Created on Mon Oct 12 15:52:10 2020

@author: DELL
"""


import numpy as np

def viterbi_decode(A,B,start_p,list_observation):
    '''
    Parameters
    ----------
    A : 2D matrix float
        狀態轉移矩陣.
    B : 2D matrix float
        觀測概率矩陣.
    start_p : float matrix
        初始狀態概率分布.
    observation_list : list
        觀測序列.

    Returns
    -------
    最優路徑.
    '''
    best_path=[]
    T=len(list_observation)
    #初始化
    N=A.shape[0]#狀態個數
    O1=np.transpose(np.array([B[:,list_observation[0]]],dtype=np.float32))
    delta=start_p*O1
    print(delta,'\n')
    all_psi=[]
    psi=np.zeros([N,1],dtype=np.float32)
    
    for i in range(T-1):
        psi=np.argmax(delta*A,axis=0)
        delta=np.transpose(np.array([np.max(delta*A,axis=0)]))*np.transpose(np.array([B[:,list_observation[i+1]]],dtype=np.float32))
        
        all_psi.append(psi)
        
    final_score=np.max(delta)
    best_path.append(np.argmax(delta))
    for i in range(T-1):
        best_path.insert(0,all_psi[T-2-i][best_path[0]])
        
    return final_score,best_path
    
        
        
if __name__=='__main__':
    
    A=np.array([[0.5,0.2,0.3],
                [0.3,0.5,0.2],
                [0.2,0.3,0.5]],dtype=np.float32)
    B=np.array([[0.5,0.5],
                [0.4,0.6],
                [0.7,0.3]],dtype=np.float32)
    
    start_p=np.array([[0.2],[0.4],[0.4]],dtype=np.float32)
    list_observation=[0,1,0,1]
    final_score,best_path=viterbi_decode(A,B,start_p,list_observation)
    print('最優路徑的概率是：',final_score)
    print('最優路徑為：',best_path)

運行結果是：

最優路徑的概率是： 0.0030240004
最優路徑為： [2, 1, 1, 1]

分析：因為我的狀態代碼是從0開始的，因此對應起來的正確路徑就是[3,2,2,2]
書上的例子運行結果是：

最優路徑的概率是： 0.014700001
最優路徑為： [2, 2, 2]

對應起來就是[3,3,3]

10.4、試用前向概率和后向概率推導 P ( O ∣ λ ) = ∑ i = 1 N ∑ j = 1 N α t ( i ) a i j b j ( o t + 1 ) β t + 1 ( j ) P(O|\lambda )=\sum_{i=1}^{N}\sum_{j=1}^{N}\alpha _{t}(i)a_{ij}b_{j}(o_{t+1})\beta _{t+1}(j) P(O∣λ)=i=1∑N?j=1∑N?αt?(i)aij?bj?(ot+1?)βt+1?(j)

t = 1 , 2 , . . . , T ? 1 t=1,2,...,T-1 t=1,2,...,T?1
Proof:
根據后向演算法的遞推公式計算可得： β t ( i ) = ∑ j = 1 N a i j b j ( o t + 1 ) β t + 1 ( j ) i = 1 , 2 , . . . , N (1) \beta _{t}(i)=\sum_{j=1}^{N}a_{ij}b_{j}(o_{t+1})\beta _{t+1}(j)\quad i=1,2,...,N\tag{1} βt?(i)=j=1∑N?aij?bj?(ot+1?)βt+1?(j)i=1,2,...,N(1)
又根據李航老師書上的公式可得：
P ( O ∣ λ ) = ∑ j = 1 N α t ( j ) β t ( j ) (2) P(O|\lambda )=\sum_{j=1}^{N}\alpha _{t}(j)\beta _{t}(j) \tag{2} P(O∣λ)=j=1∑N?αt?(j)βt?(j)(2)
就算不使用李航老師書上的公式，也可以很簡單的推出公式（2）
下面推導一下：
P ( O ∣ λ ) = ∑ i = 1 N ∑ j = 1 N α t ( i ) a i j b j ( o t + 1 ) β t + 1 ( j ) = ∑ i = 1 N α t ( i ) ∑ j = 1 N a i j b j ( o t + 1 ) β t + 1 ( j ) P(O|\lambda )=\sum_{i=1}^{N}\sum_{j=1}^{N}\alpha _{t}(i)a_{ij}b_{j}(o_{t+1})\beta _{t+1}(j)=\sum_{i=1}^{N}\alpha _{t}(i)\sum_{j=1}^{N}a_{ij}b_{j}(o_{t+1})\beta _{t+1}(j) P(O∣λ)=i=1∑N?j=1∑N?αt?(i)aij?bj?(ot+1?)βt+1?(j)=i=1∑N?αt?(i)j=1∑N?aij?bj?(ot+1?)βt+1?(j)
= ∑ i = 1 N α t ( i ) β t ( i ) =\sum_{i=1}^{N}\alpha _{t}(i)\beta _{t}(i) =i=1∑N?αt?(i)βt?(i)

下面給出詳細的證明，（2）式的推導需要用到聯合分布與邊際分布之間的關系，還有最重要的就是一個假設：觀測獨立性假設，也就是任意時刻的觀測值只依賴于該時刻馬爾可夫鏈的狀態值，與其他狀態和觀測值無關，下面的公式（3）成立，
P ( o t ∣ i T , o T , i T ? 1 , o T ? 1 , . . . , i 1 , o 1 ) = p ( o t ∣ i t ) (3) P(o_{t}|i_{T},o_{T},i_{T-1},o_{T-1},...,i_{1},o_{1})=p(o_{t}|i_{t})\tag{3} P(ot?∣iT?,oT?,iT?1?,oT?1?,...,i1?,o1?)=p(ot?∣it?)(3)

根據聯合分布于邊際分布之間的關系，那么就有：
P ( O ∣ λ ) = ∑ i = 1 N P ( O , i t = q i ∣ λ ) (4) P(O|\lambda )=\sum_{i=1}^{N}P(O,i_{t}=q_{i}|\lambda )\tag{4} P(O∣λ)=i=1∑N?P(O,it?=qi?∣λ)(4)
上式的意義也就是對所有的在 i t i_{t} it?時刻的狀態求和得到邊際分布 P ( O ∣ λ ) P(O|\lambda ) P(O∣λ)
再根據前向演算法后向演算法的定義，所以有：
P ( O ∣ λ ) = ∑ i = 1 N P ( O , i t = q i ∣ λ ) = ∑ i = 1 N P ( o 1 , o 2 , . . . , o t , . . . , o T , i t = q t ∣ λ ) P(O|\lambda)=\sum_{i=1}^{N}P(O,i_{t}=q_{i}|\lambda )=\sum_{i=1}^{N}P(o_{1},o_{2},...,o_{t},...,o_{T},i_{t}=q_{t}|\lambda ) P(O∣λ)=i=1∑N?P(O,it?=qi?∣λ)=i=1∑N?P(o1?,o2?,...,ot?,...,oT?,it?=qt?∣λ)
= ∑ i = 1 N P ( o 1 , o 2 , . . . , o t , i t = q t ∣ λ ) ? P ( o t + 1 , . . . , o T ∣ o 1 , o 2 , . . . , o t , i t = q t , λ ) =\sum_{i=1}^{N}P(o_{1},o_{2},...,o_{t},i_{t}=q_{t}|\lambda )*P(o_{t+1},...,o_{T}|o_{1},o_{2},...,o_{t},i_{t}=q_{t},\lambda) =i=1∑N?P(o1?,o2?,...,ot?,it?=qt?∣λ)?P(ot+1?,...,oT?∣o1?,o2?,...,ot?,it?=qt?,λ)
= ∑ i = 1 N P ( o 1 , o 2 , . . . , o t , i t = q t ∣ λ ) ? P ( o t + 1 , . . . , o T ∣ i t = q t , λ ) =\sum_{i=1}^{N}P(o_{1},o_{2},...,o_{t},i_{t}=q_{t}|\lambda )*P(o_{t+1},...,o_{T}|i_{t}=q_{t},\lambda) =i=1∑N?P(o1?,o2?,...,ot?,it?=qt?∣λ)?P(ot+1?,...,oT?∣it?=qt?,λ)
= ∑ j = 1 N α t ( j ) β t ( j ) t = 1 , 2 , . . . , T ? 1 =\sum_{j=1}^{N}\alpha _{t}(j)\beta _{t}(j) \quad t=1,2,...,T-1 =j=1∑N?αt?(j)βt?(j)t=1,2,...,T?1
得證，

獨立性的假設是一個比較強的條件，其實作實往往很復雜，這里只是簡化了條件，不然估計很多理論難以實作到實際中去，

10.5、比較維特比演算法中變數 δ \delta δ的計算和前向演算法中變數 α \alpha α的計算的主要區別

解：
維特比演算法計算的是時刻t是給定觀測序列 o 1 , o 2 , . . . , o t o_{1},o_{2},...,o_{t} o1?,o2?,...,ot?計算到目前時刻t的所有狀態取值的的概率最大值，
而前向演算法的計算卻是給定初始狀態分布，計算觀測序列的概率值，

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    我學到了以下幾點 01Linux系統介紹02系統安裝，密碼啊破解03Linux常用命令04LAMP 01LINUX windows： win03 8 12 16 19 配置不繁瑣 Linux：redhat,centos(紅帽社區版)，Ubuntu server,suse unix:金融機構，證券，銀 ......

    uj5u.com 2020-09-10 02:04:30 more
  • 05HTML

    01HTML介紹 02頭部標簽講解03基礎標簽講解04表單標簽講解 HTML前段語言 js1.了解代碼2.根據代碼 懂得挖掘漏洞 （POST注入/XSS漏洞上傳）3.黑帽seo 白帽seo 客戶網站被黑帽植入劫持代碼如何處理4.熟悉html表單 <html><head><title>TDK標題，描述 ......

    uj5u.com 2020-09-10 02:04:36 more
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  • 2023年最新微信小程式抓包教程

    01 開門見山 隔一個月發一篇文章，不過分。 首先回顧一下《微信系結手機號資料庫被脫庫事件》，我也是第一時間得知了這個訊息，然后跟蹤了整件事情的經過。下面是這起事件的相關截圖以及近日流出的一萬條資料樣本： 個人認為這件事也沒什么，還不如關注一下之前45億快遞資料查詢渠道疑似在近日復活的訊息。 訊息是 ......

    uj5u.com 2023-04-20 08:48:24 more
  • web3 產品介紹：metamask 錢包 使用最多的瀏覽器插件錢包

    Metamask錢包是一種基于區塊鏈技術的數字貨幣錢包，它允許用戶在安全、便捷的環境下管理自己的加密資產。Metamask錢包是以太坊生態系統中最流行的錢包之一，它具有易于使用、安全性高和功能強大等優點。 本文將詳細介紹Metamask錢包的功能和使用方法。 一、 Metamask錢包的功能 數字資 ......

    uj5u.com 2023-04-20 08:47:46 more
  • vulnhub_Earth

    前言 靶機地址->>>vulnhub_Earth 攻擊機ip：192.168.20.121 靶機ip：192.168.20.122 參考文章 https://www.cnblogs.com/Jing-X/archive/2022/04/03/16097695.html https://www.cnb ......

    uj5u.com 2023-04-20 07:46:20 more
  • 從4k到42k，軟體測驗工程師的漲薪史，給我看哭了

    清明節一過，盲猜大家已經無心上班，在數著日子準備過五一，但一想到銀行卡里的余額……瞬間心情就不美麗了。最近，2023年高校畢業生就業調查顯示，本科畢業月平均起薪為5825元。調查一出，便有很多同學表示自己又被平均了。看著這一資料，不免讓人想到前不久中國青年報的一項調查：近六成大學生認為畢業10年內會 ......

    uj5u.com 2023-04-20 07:44:00 more
  • 最新版本 Stable Diffusion 開源 AI 繪畫工具之中文自動提詞篇

    🎈 標簽生成器 由于輸入正向提示詞 prompt 和反向提示詞 negative prompt 都是使用英文，所以對學習母語的我們非常不友好 使用網址：https://tinygeeker.github.io/p/ai-prompt-generator 這個網址是為了讓大家在使用 AI 繪畫的時候 ......

    uj5u.com 2023-04-20 07:43:36 more
  • 漫談前端自動化測驗演進之路及測驗工具分析

    隨著前端技術的不斷發展和應用程式的日益復雜，前端自動化測驗也在不斷演進。隨著 Web 應用程式變得越來越復雜，自動化測驗的需求也越來越高。如今，自動化測驗已經成為 Web 應用程式開發程序中不可或缺的一部分，它們可以幫助開發人員更快地發現和修復錯誤，提高應用程式的性能和可靠性。 ......

    uj5u.com 2023-04-20 07:43:16 more
  • CANN開發實踐：4個DVPP記憶體問題的典型案例解讀

    摘要：由于DVPP媒體資料處理功能對存放輸入、輸出資料的記憶體有更高的要求（例如，記憶體首地址128位元組對齊），因此需呼叫專用的記憶體申請介面，那么本期就分享幾個關于DVPP記憶體問題的典型案例，并給出原因分析及解決方法。 本文分享自華為云社區《FAQ_DVPP記憶體問題案例》，作者：昇騰CANN。 DVPP ......

    uj5u.com 2023-04-20 07:43:03 more
  • msf學習

    msf學習 以kali自帶的msf為例 一、msf核心模塊與功能 msf模塊都放在/usr/share/metasploit-framework/modules目錄下 1、auxiliary 輔助模塊，輔助滲透（埠掃描、登錄密碼爆破、漏洞驗證等） 2、encoders 編碼器模塊，主要包含各種編碼 ......

    uj5u.com 2023-04-20 07:42:59 more
  • Halcon軟體安裝與界面簡介

    1. 下載Halcon17版本到到本地 2. 雙擊安裝包后 3. 步驟如下 1.2 Halcon軟體安裝 界面分為四大塊 1. Halcon的五個助手 1) 影像采集助手：與相機連接，設定相機引數，采集影像 2) 標定助手：九點標定或是其它的標定，生成標定檔案及內參外參，可以將像素單位轉換為長度單位 ......

    uj5u.com 2023-04-20 07:42:17 more
  • 在MacOS下使用Unity3D開發游戲

    第一次發博客，先發一下我的游戲開發環境吧。 去年2月份買了一臺MacBookPro2021 M1pro(以下簡稱mbp)，這一年來一直在用mbp開發游戲。我大致分享一下我的開發工具以及使用體驗。 1、Unity 官網鏈接： https://unity.cn/releases 我一般使用的Apple ......

    uj5u.com 2023-04-20 07:40:19 more

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