【計算智能】模糊控制（一）模糊集合及其基本運算

介紹

模糊邏輯是一種基于“真實度”而不是現代計算機所基于的“對或錯”（1或0）布爾邏輯的計算方法，

模糊邏輯思想最早由加州大學伯克利分校的Lotfi Zadeh博士首先提出，Zadeh博士在研究計算機對自然語言的理解問題時，理解自然語言（正如生活中大多數其他活動，甚至是宇宙中的大多數其他活動一樣）不容易轉換為0和1的絕對項，（是否最終可以用二進制形式描述一切都是值得追求的哲學問題，但實際上，我們可能會使用許多資料想要讓計算機處于介于兩者之間的某種狀態，那么通常就是計算的結果，）

模糊邏輯包括0和1作為極端的真實情況（或“事物的狀態”或“事實”），但也包括介于兩者之間的各種真實狀態，

模糊邏輯相對來說更接近我們大腦的作業方式，我們匯總資料并形成許多區域事實，然后進一步匯總為更高的事實，這些事實又在超過某些閾值時引起某些進一步的結果，例如運動反應，在人工神經網路和專家系統中使用了類似的程序，

將模糊邏輯視為推理的真正作業方式可能會有所幫助，而二進制或布爾邏輯只是其一種特殊情況，

模糊集

古典集合（也稱為普通集、正集等）是具有清晰明確邊界的集合，通常情況下我們使用的集合都是古典集合，例如{x | x> 0}表示大于0的實數集，盡管經典集合適合于各種應用，并且已被證明是數學和計算機科學的重要工具，但是它們并不能反映人類概念和思想的本質，而人類概念和思想往往是抽象的和不精確的，作為說明，從數學上講，我們可以將高個子集表示為一個身高超過180cm的人的集合，如果我們讓“高個子” ={身高|身高>180cm}，這就上述所示的集合，但這是代表我們通常的“高個子”概念的一種不自然且不充分的方式，一方面，經典集的二分性質將人分類在直覺上是不合理的，這種不合理來自于集合中包含和排除之間的急劇過渡，

與經典集相反，模糊集顧名思義，它是一個沒有清晰邊界的集合，也就是說，從“屬于一個集合”到“不屬于一個集合”的過渡是漸進的，這種平滑的過渡的特征在于隸屬函式，該函式在建模常用語言表達時為模糊集提供了靈活性，例如“水是熱”或“溫度高”，正如扎德（Zadeh）在1965年發表的開創性論文“模糊集”中指出的那樣，這種定義不正確的集合或類“在人類思維中，特別是在模式識別，資訊交流和抽象領域中起著重要作用”，

基本定義和術語

模糊集合定義

模糊集合與普通集合定義對應如圖，

模糊集：給定一個論域U，那么從U到單位區間 [0,1] 的一個映射

μ A : U → [ 0 , 1 ] \mu_A:U→[0,1] μA?:U→[0,1]

稱為U上的一個模糊集，或U的一個模糊子集，

隸屬度和模糊化

在這個圖象中，冷、暖和熱是映射溫度范圍的函式，在這個刻度上的一個點有三個"真值"—分別對應著三個真值函式，對于展示的特定的溫度，這三個真值可以被解釋為把溫度描述為，“相當冷”, “有些暖"和"不太熱”，

通常情況會采用梯形，但在作模糊回歸分析時則會選用三角形的歸屬函式，

在模糊邏輯的眼中，冷、暖和熱之間是沒有嚴格的界限的，也就是說某一種溫度的大小并不完全歸屬于某一個類，而是以隸屬度(Degree of Membership)來衡量的，比如對于5攝氏度的氣溫，隸屬于冷的隸屬度為0.7, 暖的隸屬度為0.3，大雨的隸屬度為0.

將邏輯的輸入數值(溫度)轉化成各個集合(冷、暖和熱)的隸屬度的程序就叫做模糊化（Fuzzification）， 也是模糊邏輯的第一步，

模糊集合的表示

模糊集可以記為A， 映射（函式）μA(·) 或簡記為A(·) 叫做模糊集A的隸屬函式， 對于每個x∈U，μA(x) 叫做元素x對模糊集A的隸屬度，

模糊集的常用表示法有下述幾種：

（1）函式描述法，也即給出隸屬函式的具體運算式，

（2）Zadeh 記法，例如

A = 1 x 1 + 0.5 x 2 + 0.6 x 3 + 0 x 4 A=\frac{1}{x_1}+\frac{0.5}{x_2}+\frac{0.6}{x_3}+\frac{0}{x_4} A=x1?1?+x2?0.5?+x3?0.6?+x4?0?

，分母是論域中的元素，分子是該元素對應的隸屬度，有時候，若隸屬度為0，該項可以忽略不寫，

（3）序偶法，例如

A = { ( x 1 , 1 ) , ( x 2 , 0.5 ) , ( x 3 . 0.6 ) , ( x 4 , 0 ) } A=\{ {(x_1,1),(x_2,0.5),(x_3.0.6),(x_4,0) }\} A={(x1?,1),(x2?,0.5),(x3?.0.6),(x4?,0)}

，序偶對的前者是論域中的元素，后者是該元素對應的隸屬度，

（4）向量法，在有限論域的場合，給論域中元素規定一個表達的順序，那么可以將上述序偶法簡寫為隸屬度的向量式，如A= (1,0.5,0.72,0) ，

模糊集合基本運算

模糊集合的交并補運算

模糊集合的交并補運算如下所示：

舉例如下：

模糊關系

模糊關系矩陣

模糊關系矩陣如下：

模糊關系合成

模糊關系合成指的是由第一個集合和第二個集合之間的模糊關系以及第二個和三個集合之間的模糊關系得到第一個和第三個模糊關系的運算，

模糊關系擴展原理