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線性變換這個詞在線性代數中經常被提及，每個線性變換的背后都有一個矩陣，矩陣的概念比較直觀，相比之下，線性變換就顯得抽象了，
線性變換
拋開矩陣，我們從變換的角度討論投影，通過T變換，使平面內的一個向量投影到一條直線上：
T就像一個函式：給定一個輸入向量，經過T的變換，輸出成直線上的投影，過去我們一直用更專業的“映射”稱呼這種變換關系，下圖中v和w是R2空間內的向量，通過T變換變成了直線上的投影，即T(v)和T(w)：
變換的關系有很多，而線性代數只討論線性變換，如果T表示一個線性變換關系，對于任意向量v和w以及標量c，線性變換應該保證下面兩個運算的不變性，加法不變性和數乘不變性，這一點和線性組合類似：
把二者結合：
順便說一下，投影變換是一種線性變換，
判斷線性變換
判斷一個變換是否是線性變換其實并不困難，只要判斷這個變換是否滿足加法不變性和數乘不變性即可，
反例1：平移整個平面
假設某個變換關系T是平面沿著某個方向平移v0，也就是說對于平面內的任意向量v，都有T(v) = v + v0，T變換是否是線性變換？
這個看起來很簡單的變換并不是線性變換，它違背了線性變換的兩個不變性，以數乘不變性為例：
線性變換的不變性要求對輸入空間內的任意向量都成立，當然也包括零向量，因此一個更簡單的判斷方法就是使用零向量，數乘不變性對于零向量來說將有T(0) = 0，但本例中T(0) = v0，所以說“平移”變換不是線性變換，
反例2：求向量的長度
變換關系T(v) = ||v||是否是線性變換？
T變換將產生維度的變化，假設v是一個三維向量，經過T的變換將變成一個大于等于0的實數，也就是一維向量：
雖然本例滿足T(0) = 0，但是對于數乘不變性來說，如果c是負數，那么T(cv) ≠ cT(v)，因此本例不是線性變換，
正例1：旋轉變換
變換關系T：R2→R2是將一個二維空間的向量旋轉45°，這個變換是否是線性變換？
答案是肯定的，它符合線性變換的兩個不變性，
即使去掉坐標軸，依然能夠清晰地描述這個變換，下圖是對二維平面內的圖形進行旋轉：
正例2：線性變換與矩陣
到目前為止，線性變換還沒有和矩陣產生任何關系，現在有一個變換關系是矩陣乘以一個向量，T(v) = Av，其中A是一個矩陣，根據矩陣乘法的性質：
這符合線性變換的兩個判據，因此矩陣乘以向量是一個線性變換，這意味著選中一個矩陣，用它乘以平面上的所有向量，將得到一系列線性變換后的結果，即整個平面通過矩陣乘法發生了變換，這也是一個值得研究的結果，
現在有一個矩陣：
如果用A乘以一個R2空間的向量v——當然，A是2×2矩陣，它也只能乘以一個R2空間的向量——將把v線性變換成另一個向量，變換后的向量的x分量不變，y分量與v的y分量相反：
描述線性變換
我們的目的是理解線性變換，而理解線性變換的本質是確定線性變換背后的矩陣，雖然可以在脫離坐標和具體數值的情況下討論線性變換，但是為了更好地描述，我們仍然有必要引入坐標系，
假設有一個三維向量，能夠通過某種線性變換變成二維向量，這將是一個怎樣的變換？
用矩陣描述這個關系，T(v) = Av，v是三維向量，通過Av變成了二維向量，那么A一定是一個2×3矩陣，任何一個2×3的矩陣都可以將一個三維向量線性變換成二維向量，每一個變換都對應一個具體的矩陣，
輸入空間的基
對于平面內特定的向量v1，只要看看T(v1)就可以了解線性變換對它產生的作用，我們對空間內其它向量的線性變換同樣感興趣，換句話說，我們想知道線性變換對于整個輸入空間的影響，既然向量空間是由線性無關的向量張成的，那么只要知道平面內兩個線性無關的向量，就可以了解平面內所有向量線性變換的結果，也就是說，只要知道輸入空間的基，就能掌握線性變換對整個輸入空間的影響，
v1,v2……vn是輸入空間的一組基向量，把它稱之為輸入基，只要知道所有輸入基的線性變換，就可以知道輸入空間內任意向量的線性變換：
坐標
先來看看什么是坐標，
Rn空間的坐標是一組數字，這些數字表示Rn空間的給定向量v由多少個基向量組成（基向量線性組合的系數），但是基向量不止一組，如果基向量改變了，坐標也隨之改變，因此一般來說，坐標系建立在標準基的基礎之上，例如一個三維空間的向量的坐標是(2,3,4)：
上式可以清晰地看到v是三個標準基向量的線性組合，盡管大多數時候我們都意識不到這種組合，
對于線性組合來說，一旦選定了一組基，坐標也隨之確定，比如對于輸入空間的任意一個向量v來說，都可以用基向量的唯一線性組合表示：
一旦向量確定，其線性組合也隨之確定，此時c1, c2 ,…,cn就是該向量的一組確定的坐標值，
線性變換與矩陣
我們的目的是確定線性變換背后的矩陣，矩陣是與坐標有關的（矩陣中的元素是確定的值），而線性變換與坐標無關，現在的問題是，如何把一個與坐標無關的線性變換變成一個與坐標有關的矩陣？
假設有T能夠完成一個向量從n維空間到m維空間的線性變換：
現在我們打算構造一個矩陣A來描述這個線性變換，在描述時需要兩組基：輸入空間的一組基來描述輸入向量，以及輸出空間的一組基來確定輸出向量的坐標，這兩組基一旦確定，對應的矩陣也就確定了，
v1,v2……vn是輸入空間的一組基向量，來自Rn空間；w1,w2……wm是輸出空間的一組基向量，來自Rm空間，對于每個輸入向量來說，都有具體的坐標值，該坐標由基向量的線性組合確定，然后把這些坐標值乘以某個矩陣A，將得到相應的輸出向量，輸出向量的坐標同樣可以由輸出空間的基確定，用矩陣A來表示線性變換，就是將矩陣乘以輸入向量的坐標，得到它在輸出空間的坐標，
值得注意的是，線性變換背后的矩陣A乘以的是輸入向量的坐標，不是輸入向量本身，得到的也是輸出向量的坐標，不是輸出向量本身，定義一個線性變換T(v)，對v = c1v1 + c2v2 + …… + cnvn進行變換，如果用A描述這個變換，則A需要滿足：
之后用輸出向量的坐標對輸出空間的基向量進行線性組合，得到最終的輸出向量w：
由于我們之前一直使用的是標準基，因此感覺不到坐標的存在，
我們之前說過，投影屬于線性變換，這里正好用投影的例子對上面的描述加以說明，為了簡單起見，將這個投影定義在二維空間，n = m = 2，參與變換的向量都在平面上，讓平面上的所有向量都投影在一條直線上，選擇輸入空間的兩個基向量v1和v2代替R2空間的標準基向量，其中v1沿著投影方向趴在直線上，v2垂直于投影方向：
上圖特意去掉了坐標系，以強調線性變換與坐標無關，同時，由于輸出空間也是R2空間，我們也同樣用v1和v2作為輸出空間的基，即w1 = v1, w2 = v2，
之前說過，輸入空間和輸出空間的基一旦確定，對應的矩陣也就確定了，現在的問題是，根據v1、v2和w1、w2如何描述這個用于線性變換的變換規則？也就是說，作用于線性變換的矩陣是什么？
對于出入空間的任意向量v，都可以表示成兩個基向量的線性組合：
我們事先已經知道投影變換是一種線性變換，它線性變換的兩個不變性：
T表示投影變換，T(v1)是v1的投影，沿著直線方向的向量的投影就是這個向量本身，所以T(v1) = v1，v2垂直于直線，它的投影是零向量，所以T(v2) = 0，由此得到了投影變換和這組基向量的關系：
A用一組特殊的輸入基和輸出基（垂直于直線和沿著直線方向的一組基）描述了線性變換，將矩陣A乘以輸入向量的坐標，得到它在輸出空間的坐標：
如果改用標準坐標基，即：
投影的直線也需要給出具體的位置，假設T(v)變換是將向量投影到45°的直線上：
現在嘗試找出這個符合要求的矩陣，也就是投影矩陣，根據投影矩陣的公式，可以用向量a = (t, t)表示直線，從而求得投影矩陣：
在使用標準坐標基的時候，坐標值等于向量本身：
可以看到，如果選擇的基向量不同，即使對于同樣的線性變換，背后的矩陣也不同，在使用標準坐標基的時候，感覺不到坐標的存在，此時矩陣乘以輸入向量等于輸出向量，實際上第一次是以投影矩陣的特征向量為基，得到的矩陣A是投影矩陣P的特征值矩陣，
如何確定矩陣
確定矩陣A的前提是需要知道輸入空間和輸出空間的基，我們依然用v1,v2……vn和w1,w2……wm表示這兩組基，T(v1)表示對輸入空間的第一個基向量v1做線性變換，此時矩陣A乘以的坐標是(1,0,…,0)，得到的輸出坐標是：
當知道線性變換的結果時，就可以通過它的坐標確定A的第一列，上式實際上描述了這樣線性變換：
求導也是一種線性變換
這里有一個特殊的線性變換——求導，T = d/dx，我們之所以能夠對函式求導，正是因為求導本身是一種線性變換，因此只需要掌握少量的求導法則，就能求出函式線性組合的導數，
假設輸入空間的基是1, x, x2，線性組合是c1 + c2x + c3x2；輸出是導數：
輸出空間的基是1, x，這是一個從三維空間到二維空間的線性變換：
描述這個線性變換的矩陣A滿足：
出處：微信公眾號 "我是8位的"
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