1 數學建模的任務分配

（1）數學建模三大塊：建模+編程+寫作
（2）模型講解
? 簡單例子
? 寫作訓練

2 簡介

層次分析法（The analytic hierarchy process 簡稱AHP）建模比賽中最基礎的模型之一，其主要用于解決評價類問題（例如：選擇哪種方案最好、哪位運動員或者員工表現得更優秀）
AHP的主要特點是通過建立遞階層次結構，把人類的判斷轉化為若干因素兩兩之間重要度的比較上，從而把難于量化的定性判斷轉化為可操作的重要度的比較上面，在許多情況下，決策者可以直接使用AHP進行決策，極大的提高了決策的有效性、可靠性和可行性，但其本質是一種思維方式，它把復雜問題分解成多個組成因素，又將這些因素按支配關系分別形成遞階層次結構，通過兩兩比較但方法確定決策方案相對重要度但總排序，整個程序體現來人類決策思維的基本特征，即分解、判斷、綜合，克服來其他方法回避決策者主觀判斷的缺點，

3 模型介紹

3.1 評價類問題

高考畢業了，小明選擇去哪個學校
思考問題的思路如下：

3.2 拿到建模問題

優先在知網（萬方、百度學術、谷歌學術）上搜一下相關文獻
如果沒有找到相關文獻，則和小組成員來場頭腦風暴+在平臺上搜索別人或者專家的看法，

3.3 推薦搜索網站

蟲部落-快搜
優先級：
? 谷歌搜索
? 微信搜索
? 知乎搜索
例如本題我們可以搜索關鍵字：
旅游選擇因素、根據什么因素來選擇旅游景點、旅游景點評價指標，

3.4 確定好指標

3.5 確定指標權重

（1）采用分而治之的思想

問題：一次性考慮五個指標之間的關系，往往考慮不周
解決方法：兩兩指標進行比較，最終根據兩兩比較的結果進行推算權重，

（2）分而治之的思想

（3）得到判斷矩陣

（4）再對每個指標進行填寫判斷矩陣

（5）解決判斷矩陣中不一致現象

? 先介紹一下什么叫一致矩陣

? 一致矩陣特點：各行和各列成倍數關系

? 一致矩陣的定義

? 一致性檢驗
原理：檢驗我們構造的矩陣和一致性矩陣是否有太大的差別

? 一致性檢驗的步驟

如果一致性檢驗大于0.1，那就需要修正矩陣，

? 兩個小問題

? 計算一致矩陣的權重

（6）計算判斷矩陣的權重

方法一：算術平均化求權重

? 算術平均法求權重的步驟：

? 步驟的數學表示（可放到論文中）

方法二：幾何平均法

方法三：特征值法求權重

? 將計算結果填入權重表（特征值法最常用）

? 代碼實作求權重矩陣

%層次分析代碼
disp('請輸入判斷矩陣A(n階)');
A=input('A=');
【n,n】=size(A);
x=ones(n,100);
y=ones(n,100);
m=zeros(1,100);
m(1)=max(x(:,1));
y(:,1)=x(:,1);
x(:,2)=A*y(:,1);
m(2)=max(x(:,2));
y(:,2)=x(:,2)/m(2);
p=0.0001;i=2;k=abs(m(2)-m(1));
while k>p
i=i+1;
x(:,i)=A*y(:,i-1);
m(i)=max(x(:,i));
y(:,i)=x(:,i)/m(i);
k=abs(m(i)-m(i-1));
end
a=sum(y(:,i));
w=y(:,i)/a;
t=m(i);
disp('權向量');disp(w);
disp('最大特征值');disp(t);
%以下是一致性檢驗
CI=(t-n)/(n-1);RI=【0 0 0.52 0.89 1.12 1.26 1.36 1.41 1.46 1.49 1.52 1.54 1.56 1.58 1.59】;
CR=CI/RI(n);
if CR<0.10
disp('此矩陣的一致性可以接受!');
disp('CI=');disp(CI);
disp('CR=');disp(CR);
else
disp('此矩陣的一致性不可以接受!');
end

（7）Excel可以方便計算矩陣權重

F4可以鎖定單元格，往后拖動計算公式，那鎖定的那個單元格不會變，

4 層次分析法完整建模程序

4.1 第一步-建立層次結構圖

生成層次結構圖方法
方法一：PPT的SmartArt來生成層次結構圖
方法二：專業 畫圖軟體億圖圖示(或processon)

4.2 第二步-構造判斷矩陣

因為評價矩陣有主觀性（能搜資料，參考專家的就參考專家的，沒有也不要亂寫），在論文撰寫時，可以直接給出權重矩陣，例如別人的優秀論文

4.3 第三步-計算判斷矩陣相對權重

4.4 第四步-計算合成權重排序

5 層次分析法的局限性

6 模型拓展

（1）層次分析法還適用于最后一層是1對2（這里的2表示大于1小于方案層所有的方案數量），但不是上面舉例中1對3（3表示方案層中所有方案數量）

（2）還適用于一個準則對應自己的多個方案，

7 代碼實作層次分析法

ccfx_Learn.m

%% 注意：在論文寫作中，應該先對判斷矩陣進行一致性檢驗，然后再計算權重，因為只有判斷矩陣通過了一致性檢驗，其權重才是有意義的，
%% 在下面的代碼中，我們先計算了權重，然后再進行了一致性檢驗，這是為了順應計算程序，事實上在邏輯上是說不過去的，
%% 因此大家自己寫論文中如果用到了層次分析法，一定要先對判斷矩陣進行一致性檢驗，
%% 而且要說明的是，只有非一致矩陣的判斷矩陣才需要進行一致性檢驗，
%% 如果你的判斷矩陣本身就是一個一致矩陣，那么就沒有必要進行一致性檢驗，
%% 輸入判斷矩陣
clear;clc
disp('請輸入判斷矩陣A： ')
% A = input('判斷矩陣A=')
A =[1 1 4 1/3 3;
 1 1 4 1/3 3;
 1/4 1/4 1 1/3 1/2;
 3 3 3 1 3;
 1/3 1/3 2 1/3 1]
% matlab矩陣有兩種寫法，可以直接寫到一行:
% [1 1 4 1/3 3;1 1 4 1/3 3;1/4 1/4 1 1/3 1/2;3 3 3 1 3;1/3 1/3 2 1/3 1]
% 也可以寫成多行:
[1 1 4 1/3 3;
 1 1 4 1/3 3;
 1/4 1/4 1 1/3 1/2;
 3 3 3 1 3;
 1/3 1/3 2 1/3 1]
% 兩行之間以分號結尾（最后一行的分號可加可不加），同行元素之間以空格（或者逗號）分開，
%% 方法1：算術平均法求權重
% 第一步：將判斷矩陣按照列歸一化（每一個元素除以其所在列的和）
Sum_A = sum(A)
[n,n] = size(A)  % 也可以寫成n = size(A,1)
% 因為我們的判斷矩陣A是一個方陣，所以這里的r和c相同，我們可以就用同一個字母n表示
SUM_A = repmat(Sum_A,n,1)   %repeat matrix的縮寫
% 另外一種替代的方法如下：
    SUM_A = [];
    for i = 1:n   %回圈哦，這一行后面不能加冒號（和Python不同），這里表示回圈n次
        SUM_A = [SUM_A; Sum_A]
    end
clc;A
SUM_A
Stand_A = A ./ SUM_A
% 這里我們直接將兩個矩陣對應的元素相除即可
% 第二步：將歸一化的各列相加(按行求和)
sum(Stand_A,2)
% 第三步：將相加后得到的向量中每個元素除以n即可得到權重向量
disp('算術平均法求權重的結果為：');
disp(sum(Stand_A,2) / n)
% 首先對標準化后的矩陣按照行求和，得到一個列向量
% 然后再將這個列向量的每個元素同時除以n即可（注意這里也可以用./哦）
%% 方法2：幾何平均法求權重
% 第一步：將A的元素按照行相乘得到一個新的列向量
clc;A
Prduct_A = prod(A,2)
% prod函式和sum函式類似，一個用于乘，一個用于加  dim = 2 維度是行
% 第二步：將新的向量的每個分量開n次方
Prduct_n_A = Prduct_A .^ (1/n)
% 這里對每個元素進行乘方操作，因此要加.號哦，  ^符號表示乘方哦  這里是開n次方，所以我們等價求1/n次方
% 第三步：對該列向量進行歸一化即可得到權重向量
% 將這個列向量中的每一個元素除以這一個向量的和即可
disp('幾何平均法求權重的結果為：');
disp(Prduct_n_A ./ sum(Prduct_n_A))
%% 方法3：特征值法求權重
% 第一步：求出矩陣A的最大特征值以及其對應的特征向量
clc
[V,D] = eig(A)    %V是特征向量, D是由特征值構成的對角矩陣（除了對角線元素外，其余位置元素全為0）
Max_eig = max(max(D)) %也可以寫成max(D(:))哦~
% 那么怎么找到最大特征值所在的位置了？ 需要用到find函式，它可以用來回傳向量或者矩陣中不為0的元素的位置索引，
% 那么問題來了，我們要得到最大特征值的位置，就需要將包含所有特征值的這個對角矩陣D中，不等于最大特征值的位置全變為0
% 這時候可以用到矩陣與常數的大小判斷運算
D == Max_eig
[r,c] = find(D == Max_eig , 1)
% 找到D中第一個與最大特征值相等的元素的位置，記錄它的行和列，
% 第二步：對求出的特征向量進行歸一化即可得到我們的權重
V(:,c)
disp('特征值法求權重的結果為：');
disp( V(:,c) ./ sum(V(:,c)) )
% 我們先根據上面找到的最大特征值的列數c找到對應的特征向量，然后再進行標準化，
%% 計算一致性比例CR
clc
CI = (Max_eig - n) / (n-1);
RI=[0 0 0.52 0.89 1.12 1.26 1.36 1.41 1.46 1.49 1.52 1.54 1.56 1.58 1.59];  %注意哦，這里的RI最多支持 n = 15
CR=CI/RI(n);
disp('一致性指標CI=');disp(CI);
disp('一致性比例CR=');disp(CR);
if CR<0.10
    disp('因為CR < 0.10，所以該判斷矩陣A的一致性可以接受!');
else
    disp('注意：CR >= 0.10，因此該判斷矩陣A需要進行修改!');
end
% % 注意：代碼檔案僅供參考，一定不要直接用于自己的數模論文中
% % 國賽對于論文的查重要求非常嚴格，代碼雷同也算作抄襲
% % 視頻中提到的附件可在售后群（購買后收到的那個有道云筆記中有加入方式）的群檔案中下載，包括講義、代碼、優秀的作業、我視頻中推薦的資料等，
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