非線性方程求根
一、二分法
- 有根區間為[a,b]，注意a0，b0的選取，
- 誤差估計及求需要迭代的次數，
- 常考解題思路：已知誤差，求迭代次數；已知迭代次數，求絕對誤差限及最終的根的值
二、簡單迭代法（逐次逼近法）
- 一般格式：迭代函式，迭代格式
- 收斂條件：φ(x)在區間[a,b]上可導，且滿足下列兩個條件，（經常用于證明迭代格式收斂）
- 誤差估計
- 收斂階：p階收斂證明方法一般為以下兩種：
- Aitken加速法
Nw
- 常考解題思路：構建迭代方程、寫成迭代格式、證明迭代格式收斂、求收斂階
三、Newton 迭代法
- 迭代格式：根據f(x)在x0處的一階Taylor展開得到
- 平方收斂（會證明）
- 收斂的注意事項
（1）區域收斂
（2）對初值選取比較嚴格
四、Newton 迭代法的變形
- 簡化Newton迭代法
- 割線法：1.618階收斂
- 帶引數的Newton迭代法
- 直接求方程重根的Newton迭代法
五、常考題型及解題思路總結
- 說明方程在某區間上有唯一根，
- 求方程導數，證明單調性，根據零點定理，一定存在唯一根
- 證明迭代格式收斂
- 根據函式收斂的兩條性質，即函式值域、導數范圍證明迭代格式收斂
- 求收斂的迭代格式的收斂階
- 根據判斷收斂階的兩個方法：p階導數不為零、構建p階無窮小等式
- 限制絕對誤差限，求迭代次數
- 根據每種方法的誤差估計式進行求解
- 求解重根方程的根
- 根據兩種求根方法進行求解，一種是給定重根數、一種是求二階導，不受重根數的影響
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