文章目錄
- 一、集合的映射
- 二、可數集與不可數集
- 2.1集合的基數
- 2.2可數集與不可數集
- 2.3確界存在原理
一、集合的映射
高等數學中學過的函式關系 y = f(x) 是從實數集 R (或其子集)到 R 中的一種對應關系， 這個概念可以推廣到一般集合上，
定義1.1：設A, B是兩個非空集合，若存在一個對應關系 f 使得對?x ∈ A，存在唯一的一個y ∈ B 與之對應，則f稱為 A 到 B 的映射，記為 f : A → B ，y 稱為 x 在映射 f 下的像， 記為 y = f(x) 或 y = fx ，A 稱為映射 f 的定義域，記為 D(f) ，像的集合 f(A) ={f(x)?x ∈ A}稱為 f 的值域，記為 R(f) ，
映射 f : A → B ,當 B 為數集時， f 通常稱為泛函；當 A, B 皆為數集時，
f 稱為函式，
有了上面的基本定義，下面我們來討論單射、滿射、雙射，
單射：
定義1.2：對 ?x1, x2 ∈ A，若 x1 , x2 ，恒有 f(x1) , f(x2) ，即對 ?y ∈ R(f) ，存在唯一的一個 x ∈ A 使得 f(x) = y，則 f 稱為單射，
滿射：
定義1.3：設映射 f : A → B, 若 R(f) = B，則 f 稱為滿射，也即B中每一個元素都有A中元素與之對應，
雙射：
既滿足單射也滿足雙射
二、可數集與不可數集
2.1集合的基數
我們對于有限可數集合中元素的計算有很好的概念，但是對于無限集合呢？下面我將引入無限集合中元素的多少及分類方法，
定義2.1.1：設 A, B 是兩個集合，若存在一個雙射 f : A → B ，則稱 A 與 B 是對等的，記為 A ～ B ，若 A 與 B 是對等的， 則稱 A 與 B 有相同的 基數，
對于有限集 A, B 而言，A ～ B 等價于它們元素的個數是相同的，如 {1, 2, 3} 與 {1, 3, 5} 是對等的， 對于無限集，對等的概念為集合的分類提供了一種有效的方法，
2.2可數集與不可數集
對于無限集，可分為兩大類，可數集與不可數集，
定義2.2.1：設 A 是一個非空集，如果 A 與自然數集 N 對等, 則集合 A 稱為可數集或可列集，
也就是說，集合A中的元素和自然數集中的元素對等，比如{4，5，6，······}與自然數集{1，2，3，4，······}對等，則{4，5，6，······}是可數集，有限集和可數集統稱為至多可數集，
若集合不是至多可數集則就是不可數集，也可以說，與實數R或者（0，1）存在對等，則是不可數集合，
通俗來講，就是可數集可以一個一個按著順序的數出來，而不可數集不能一個一個數出來，比如（0，1）區間內可以說有無數個元素，并不能一個一個數出來，
2.3確界存在原理
定義2.3.1：設 E ? R 是一個非空集，
如果存在一個實數 b ∈ R ， 使得對 ?x ∈ E 皆有 x ≤ b ， 則稱 b 為 E 的一個上界；集 E 稱為上有界集，
如果存在一個實數 a ∈ R ， 使得對 ?x ∈ E 皆有 x ≥ a ，則稱 a 為 E 的一個下界；集 E 稱為下有界集，
很顯然，若 E 有一個上(下)界，則必有無數個上(下)界， 那么對 E 而言，是否存在最小上界和最大下界？下面對于一般實數集的最小上界和最大下界給出一個確切定義，
定義2.3.2：
設 E 是一個上有界集，若存在一個數 μ ∈ R 滿足下列兩個條件：
·對 ?x ∈ E ，皆有 x ≤ μ ；
·對 ?ε > 0 , 都有一個 x0 ∈ E ，使得 x0 > μ ? ε ，
（這兩句話的意思是：上確界減去一個極小的數ε后，就不是上確界了，因為他不再大于x0，下確界同理）
則稱 μ 為 E 的上確界， 記為 μ = sup E ，或 μ = sup {x|x ∈ E}，
設 E 是一個下有界集，若存在一個數 γ ∈ R 滿足下列兩個條件：
·對 ?x ∈ E ，皆有 x ≥ γ ；
·對 ?ε > 0 , 都有一個 x0 ∈ E ，使得 x0 < γ + ε ，
則稱 γ 為 E 的下確界， 記為 γ = inf E ，或 γ = inf {x|x ∈ E}，
下面引出確界存在原理：
(確界存在原理) 任何非空有上界的實數集必有上確界；任何非空有下界的
實數集必有下確界，
確界存在原理有什么用呢？
高等數學中的定理：單調有界數列必有極限，就是用確界存在原理證明的，下面給出證明：
證明 我們不妨假定數列是單調增加，且上有界，
設 {xn; n ∈ N} 是單調有上界數列，x1 ≤ x2 ≤ x3 ≤ · · · ≤ xn ≤ xn+1 ≤ · · · < M.
由確界存在原理， {xn; n ∈ N} 必有上確界 sup {xn, n ∈ N} ，記為 μ ，
于是對 ?ε > 0 ，由上確界定義知，存在至少一個 xN ∈ {xn; n ∈ N} , 使得：
μ ? ε < xN ≤ μ
由于 {xn} 是單調增加的，故當 n > N 時，
有μ ? ε < xN ≤ xn ≤ μ < μ + ε
即 |xn ? μ| < ε ，依極限的定義有 limn→∞xn = μ ，
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