該系列文章是講解Python OpenCV影像處理知識，前期主要講解影像入門、OpenCV基礎用法，中期講解影像處理的各種演算法，包括影像銳化算子、影像增強技術、影像分割等，后期結合深度學習研究影像識別、影像分類應用，希望文章對您有所幫助，如果有不足之處，還請海涵~

前面一篇文章介紹了民族服飾及文化圖騰識別，詳細講解影像點運算，包括灰度化處理、灰度線性變換、灰度非線性變換、閾值化處理，這篇文章將講解兩個重要的演算法——傅里葉變換和霍夫變換，萬字長文整理，希望對您有所幫助，同時，該部分知識均為作者查閱資料撰寫總結，并且開設成了收費專欄，為小寶賺點奶粉錢，感謝您的抬愛，當然如果您是在讀學生或經濟拮據，可以私聊我給你每篇文章開白名單，或者轉發原文給你，更希望您能進步，一起加油喔~

PS：寫這篇文章另一個重要的原因是Github資源有作者提交了新的貢獻，發現提交的是霍夫變換，因此作者也總結這篇文章，CSDN博客專欄9比1分成，真的挺不錯的，也希望大家能分享更好的文章，

• https://github.com/eastmountyxz/ImageProcessing-Python

前文參考：
[Python影像處理] 一.影像處理基礎知識及OpenCV入門函式
[Python影像處理] 二.OpenCV+Numpy庫讀取與修改像素
[Python影像處理] 三.獲取影像屬性、興趣ROI區域及通道處理
[Python影像處理] 四.影像平滑之均值濾波、方框濾波、高斯濾波及中值濾波
[Python影像處理] 五.影像融合、加法運算及影像型別轉換
[Python影像處理] 六.影像縮放、影像旋轉、影像翻轉與影像平移
[Python影像處理] 七.影像閾值化處理及演算法對比
[Python影像處理] 八.影像腐蝕與影像膨脹
[Python影像處理] 九.形態學之影像開運算、閉運算、梯度運算
[Python影像處理] 十.形態學之影像頂帽運算和黑帽運算
[Python影像處理] 十一.灰度直方圖概念及OpenCV繪制直方圖
[Python影像處理] 十二.影像幾何變換之影像仿射變換、影像透視變換和影像校正
[Python影像處理] 十三.基于灰度三維圖的影像頂帽運算和黑帽運算
[Python影像處理] 十四.基于OpenCV和像素處理的影像灰度化處理
[Python影像處理] 十五.影像的灰度線性變換
[Python影像處理] 十六.影像的灰度非線性變換之對數變換、伽馬變換
[Python影像處理] 十七.影像銳化與邊緣檢測之Roberts算子、Prewitt算子、Sobel算子和Laplacian算子
[Python影像處理] 十八.影像銳化與邊緣檢測之Scharr算子、Canny算子和LOG算子
[Python影像處理] 十九.影像分割之基于K-Means聚類的區域分割
[Python影像處理] 二十.影像量化處理和采樣處理及區域馬賽克特效
[Python影像處理] 二十一.影像金字塔之影像向下取樣和向上取樣
[Python影像處理] 二十二.Python影像傅里葉變換原理及實作
[Python影像處理] 二十三.傅里葉變換之高通濾波和低通濾波
[Python影像處理] 二十四.影像特效處理之毛玻璃、浮雕和油漆特效
[Python影像處理] 二十五.影像特效處理之素描、懷舊、光照、流年以及濾鏡特效
[Python影像處理] 二十六.影像分類原理及基于KNN、樸素貝葉斯演算法的影像分類案例
[Python影像處理] 二十七.OpenGL入門及繪制基本圖形（一）
[Python影像處理] 二十八.OpenCV快速實作人臉檢測及視頻中的人臉
[Python影像處理] 二十九.MoviePy視頻編輯庫實作抖音短視頻剪切合并操作
[Python影像處理] 三十.影像量化及采樣處理萬字詳細總結（推薦）
[Python影像處理] 三十一.影像點運算處理兩萬字詳細總結（灰度化處理、閾值化處理）

在數字影像處理中，有兩個經典的變換被廣泛應用——傅里葉變換和霍夫變換，其中，傅里葉變換主要是將時間域上的信號轉變為頻率域上的信號，用來進行影像除噪、影像增強等處理；霍夫變換主要用來辨別找出物件中的特征，用來進行特征檢測、影像分析、數位影像處理等處理，

一.影像傅里葉變換概述

傅里葉變換（Fourier Transform，簡稱FT）常用于數字信號處理，它的目的是將時間域上的信號轉變為頻率域上的信號，隨著域的不同，對同一個事物的了解角度也隨之改變，因此在時域中某些不好處理的地方，在頻域就可以較為簡單的處理，同時，可以從頻域里發現一些原先不易察覺的特征，傅里葉定理指出“任何連續周期信號都可以表示成（或者無限逼近）一系列正弦信號的疊加，”

傅里葉公式（1）如下，其中w表示頻率，t表示時間，為復變函式，它將時間域的函式表示為頻率域的函式f(t)的積分，

傅里葉變換認為一個周期函式（信號）包含多個頻率分量，任意函式（信號）f(t)可通過多個周期函式（或基函式）相加合成，從物理角度理解，傅里葉變換是以一組特殊的函式（三角函式）為正交基，對原函式進行線性變換，物理意義便是原函式在各組基函式的投影，如上圖所示，它是由三條正弦曲線組合成，其函式為（2）所示，

傅里葉變換可以應用于影像處理中，經過對影像進行變換得到其頻譜圖，從譜頻圖里頻率高低來表征影像中灰度變化劇烈程度，影像中的邊緣信號和噪聲信號往往是高頻信號，而影像變化頻繁的影像輪廓及背景等信號往往是低頻信號，這時可以有針對性的對影像進行相關操作，例如影像除噪、影像增強和銳化等，二維影像的傅里葉變換可以用以下數學公式（3）表達，其中f是空間域（Spatial Domain）)值，F是頻域（Frequency Domain）值，

二.影像傅里葉變換操作

對上面的傅里葉變換有了大致的了解之后，下面通過Numpy和OpenCV分別講解影像傅里葉變換的演算法及操作代碼，

1.Numpy實作傅里葉變換

Numpy中的 FFT包提供了函式 np.fft.fft2()可以對信號進行快速傅里葉變換，其函式原型如下所示，該輸出結果是一個復數陣列（Complex Ndarry），

• fft2(a, s=None, axes=(-2, -1), norm=None)
  – a表示輸入影像，陣列狀的復雜陣列
  – s表示整數序列，可以決定輸出陣列的大小，輸出可選形狀（每個轉換軸的長度），其中s[0]表示軸0，s[1]表示軸1，對應fit(x,n)函式中的n，沿著每個軸，如果給定的形狀小于輸入形狀，則將剪切輸入，如果大于則輸入將用零填充，如果未給定’s’，則使用沿’axles’指定的軸的輸入形狀
  – axes表示整數序列，用于計算FFT的可選軸，如果未給出，則使用最后兩個軸，“axes”中的重復索引表示對該軸執行多次轉換，一個元素序列意味著執行一維FFT
  – norm包括None和ortho兩個選項，規范化模式（請參見numpy.fft），默認值為無

Numpy中的fft模塊有很多函式，相關函式如下：

• numpy.fft.fft(a, n=None, axis=-1, norm=None)
  計算一維傅里葉變換
• numpy.fft.fft2(a, n=None, axis=-1, norm=None)
  計算二維的傅里葉變換
• numpy.fft.fftn()
  計算n維的傅里葉變換
• numpy.fft.rfftn()
  計算n維實數的傅里葉變換
• numpy.fft.fftfreq()
  回傳傅里葉變換的采樣頻率
• numpy.fft.shift()
  將FFT輸出中的直流分量移動到頻譜中央

下面的代碼是通過Numpy庫實作傅里葉變換，呼叫np.fft.fft2()快速傅里葉變換得到頻率分布，接著呼叫np.fft.fftshift()函式將中心位置轉移至中間，最終通過Matplotlib顯示效果圖，

# -*- coding: utf-8 -*-
import cv2 as cv
import numpy as np
from matplotlib import pyplot as plt
import matplotlib

#讀取影像
img = cv.imread('test.png', 0)

#快速傅里葉變換演算法得到頻率分布
f = np.fft.fft2(img)

#默認結果中心點位置是在左上角,
#呼叫fftshift()函式轉移到中間位置
fshift = np.fft.fftshift(f)       

#fft結果是復數, 其絕對值結果是振幅
fimg = np.log(np.abs(fshift))

#設定字體
matplotlib.rcParams['font.sans-serif']=['SimHei']

#展示結果
plt.subplot(121), plt.imshow(img, 'gray'), plt.title('(a)原始影像')
plt.axis('off')
plt.subplot(122), plt.imshow(fimg, 'gray'), plt.title('(b)傅里葉變換處理')
plt.axis('off')
plt.show()

輸出結果如圖2所示，圖2(a)為原始影像，圖2(b)為頻率分布圖譜，其中越靠近中心位置頻率越低，越亮（灰度值越高）的位置代表該頻率的信號振幅越大，

需要注意，傅里葉變換得到低頻、高頻資訊，針對低頻和高頻處理能夠實作不同的目的，同時，傅里葉程序是可逆的，影像經過傅里葉變換、逆傅里葉變換能夠恢復原始影像，

下列代碼呈現了原始影像在變化方面的一種表示：影像最明亮的像素放到中央，然后逐漸變暗，在邊緣上的像素最暗，這樣可以發現影像中亮、暗像素的百分比，即為頻域中的振幅AA的強度，

# -*- coding: utf-8 -*-
import cv2 as cv
import numpy as np
from matplotlib import pyplot as plt

#讀取影像
img = cv.imread('Na.png', 0)

#傅里葉變換
f = np.fft.fft2(img)

#轉移像素做幅度普
fshift = np.fft.fftshift(f)       

#取絕對值：將復數變化成實數取對數的目的為了將資料變化到0-255
res = np.log(np.abs(fshift))

#展示結果
plt.subplot(121), plt.imshow(img, 'gray'), plt.title('Original Image')
plt.subplot(122), plt.imshow(res, 'gray'), plt.title('Fourier Image')
plt.show()

輸出結果如圖3所示，圖3(a)為原始影像，圖3(b)為頻率分布圖譜，

2.Numpy實作傅里葉逆變換

下面介紹Numpy實作傅里葉逆變換，它是傅里葉變換的逆操作，將頻譜影像轉換為原始影像的程序，通過傅里葉變換將轉換為頻譜圖，并對高頻（邊界）和低頻（細節）部分進行處理，接著需要通過傅里葉逆變換恢復為原始效果圖，頻域上對影像的處理會反映在逆變換影像上，從而更好地進行影像處理，

影像傅里葉變化主要使用的函式如下所示：

• numpy.fft.ifft2(a, n=None, axis=-1, norm=None)
  實作影像逆傅里葉變換，回傳一個復數陣列
• numpy.fft.fftshift()
  fftshit()函式的逆函式，它將頻譜影像的中心低頻部分移動至左上角
• iimg = numpy.abs(逆傅里葉變換結果)
  將復數轉換為0至255范圍

下面的代碼分別實作了傅里葉變換和傅里葉逆變換，

# -*- coding: utf-8 -*-
import cv2 as cv
import numpy as np
from matplotlib import pyplot as plt
import matplotlib

#讀取影像
img = cv.imread('Lena.png', 0)

#傅里葉變換
f = np.fft.fft2(img)
fshift = np.fft.fftshift(f)
res = np.log(np.abs(fshift))

#傅里葉逆變換
ishift = np.fft.ifftshift(fshift)
iimg = np.fft.ifft2(ishift)
iimg = np.abs(iimg)

#設定字體
matplotlib.rcParams['font.sans-serif']=['SimHei']

#展示結果
plt.subplot(131), plt.imshow(img, 'gray'), plt.title(u'(a)原始影像')
plt.axis('off')
plt.subplot(132), plt.imshow(res, 'gray'), plt.title(u'(b)傅里葉變換處理')
plt.axis('off')
plt.subplot(133), plt.imshow(iimg, 'gray'), plt.title(u'(c)傅里葉逆變換處理')
plt.axis('off')
plt.show()

輸出結果如圖4所示，從左至右分別為原始影像、頻譜影像、逆傅里葉變換轉換影像，

3.OpenCV實作傅里葉變換

OpenCV 中相應的函式是cv2.dft()和用Numpy輸出的結果一樣，但是是雙通道的，第一個通道是結果的實數部分，第二個通道是結果的虛數部分，并且輸入影像要首先轉換成 np.float32 格式，其函式原型如下所示：

• dst = cv2.dft(src, dst=None, flags=None, nonzeroRows=None)
  – src表示輸入影像，需要通過np.float32轉換格式
  – dst表示輸出影像，包括輸出大小和尺寸
  – flags表示轉換標記，其中DFT _INVERSE執行反向一維或二維轉換，而不是默認的正向轉換；DFT _SCALE表示縮放結果，由陣列元素的數量除以它；DFT _ROWS執行正向或反向變換輸入矩陣的每個單獨的行，該標志可以同時轉換多個矢量，并可用于減少開銷以執行3D和更高維度的轉換等；DFT _COMPLEX_OUTPUT執行1D或2D實陣列的正向轉換，這是最快的選擇，默認功能；DFT _REAL_OUTPUT執行一維或二維復數陣列的逆變換，結果通常是相同大小的復數陣列，但如果輸入陣列具有共軛復數對稱性，則輸出為真實陣列
  – nonzeroRows表示當引數不為零時，函式假定只有nonzeroRows輸入陣列的第一行（未設定）或者只有輸出陣列的第一個（設定）包含非零，因此函式可以處理其余的行更有效率，并節省一些時間；這種技術對計算陣列互相關或使用DFT卷積非常有用

注意，由于輸出的頻譜結果是一個復數，需要呼叫cv2.magnitude()函式將傅里葉變換的雙通道結果轉換為0到255的范圍，其函式原型如下：

• cv2.magnitude(x, y)
  – x表示浮點型X坐標值，即實部
  – y表示浮點型Y坐標值，即虛部

該函式最終輸出結果為幅值，即：

下面的代碼是呼叫cv2.dft()進行傅里葉變換的一個簡單示例，

# -*- coding: utf-8 -*-
import numpy as np
import cv2
from matplotlib import pyplot as plt
import matplotlib

#讀取影像
img = cv2.imread('Lena.png', 0)

#傅里葉變換
dft = cv2.dft(np.float32(img), flags = cv2.DFT_COMPLEX_OUTPUT)

#將頻譜低頻從左上角移動至中心位置
dft_shift = np.fft.fftshift(dft)

#頻譜影像雙通道復數轉換為0-255區間
result = 20*np.log(cv2.magnitude(dft_shift[:,:,0], dft_shift[:,:,1]))

#設定字體
matplotlib.rcParams['font.sans-serif']=['SimHei']

#顯示影像
plt.subplot(121), plt.imshow(img, cmap = 'gray')
plt.title(u'(a)原始影像'), plt.xticks([]), plt.yticks([])
plt.subplot(122), plt.imshow(result, cmap = 'gray')
plt.title(u'(b)傅里葉變換處理'), plt.xticks([]), plt.yticks([])
plt.show()

輸出結果如圖5所示，圖5(a)為原始“Lena”圖，圖5(b)為轉換后的頻譜影像，并且保證低頻位于中心位置，

4.OpenCV實作傅里葉逆變換

在OpenCV 中，通過函式cv2.idft()實作傅里葉逆變換，其回傳結果取決于原始影像的型別和大小，原始影像可以為實數或復數，其函式原型如下所示：

• dst = cv2.idft(src[, dst[, flags[, nonzeroRows]]])
  – src表示輸入影像，包括實數或復數
  – dst表示輸出影像
  – flags表示轉換標記
  – nonzeroRows表示要處理的dst行數，其余行的內容未定義（請參閱dft描述中的卷積示例）

注意，由于輸出的頻譜結果是一個復數，需要呼叫cv2.magnitude()函式將傅里葉變換的雙通道結果轉換為0到255的范圍，其函式原型如下：

• cv2.magnitude(x, y)
  – x表示浮點型X坐標值，即實部
  – y表示浮點型Y坐標值，即虛部

該函式最終輸出結果為幅值，即：

下面的代碼是呼叫cv2.idft()進行傅里葉逆變換的一個簡單示例，

# -*- coding: utf-8 -*-
import numpy as np
import cv2
from matplotlib import pyplot as plt
import matplotlib

#讀取影像
img = cv2.imread('Lena.png', 0)

#傅里葉變換
dft = cv2.dft(np.float32(img), flags = cv2.DFT_COMPLEX_OUTPUT)
dftshift = np.fft.fftshift(dft)
res1= 20*np.log(cv2.magnitude(dftshift[:,:,0], dftshift[:,:,1]))

#傅里葉逆變換
ishift = np.fft.ifftshift(dftshift)
iimg = cv2.idft(ishift)
res2 = cv2.magnitude(iimg[:,:,0], iimg[:,:,1])

#設定字體
matplotlib.rcParams['font.sans-serif']=['SimHei']

#顯示影像
plt.subplot(131), plt.imshow(img, 'gray'), plt.title(u'(a)原始影像')
plt.axis('off')
plt.subplot(132), plt.imshow(res1, 'gray'), plt.title(u'(b)傅里葉變換處理')
plt.axis('off')
plt.subplot(133), plt.imshow(res2, 'gray'), plt.title(u'(b)傅里葉變換逆處理')
plt.axis('off')
plt.show()

輸出結果如圖6所示，圖6(a)為原始“Lena”圖，圖6(b)為傅里葉變換后的頻譜影像，圖6?為傅里葉逆變換，頻譜影像轉換為原始影像的程序，

三.基于傅里葉變換的高通濾波和低通濾波

傅里葉變換的目的并不是為了觀察影像的頻率分布（至少不是最終目的），更多情況下是為了對頻率進行過濾，通過修改頻率以達到影像增強、影像去噪、邊緣檢測、特征提取、壓縮加密等目的，

過濾的方法一般有三種：低通（Low-pass）、高通（High-pass）、帶通（Band-pass），所謂低通就是保留影像中的低頻成分，過濾高頻成分，可以把過濾器想象成一張漁網，想要低通過濾器，就是將高頻區域的信號全部拉黑，而低頻區域全部保留，例如，在一幅大草原的影像中，低頻對應著廣袤且顏色趨于一致的草原，表示影像變換緩慢的灰度分量；高頻對應著草原影像中的老虎等邊緣資訊，表示影像變換較快的灰度分量，由于灰度尖銳過度造成，

1.高通濾波器

高通濾波器是指通過高頻的濾波器，衰減低頻而通過高頻，常用于增強尖銳的細節，但會導致影像的對比度會降低，該濾波器將檢測影像的某個區域，根據像素與周圍像素的差值來提升像素的亮度，圖7展示了“Lena”圖對應的頻譜影像，其中心區域為低頻部分，

接著通過高通濾波器覆寫掉中心低頻部分，將255兩點變換為0，同時保留高頻部分，高通濾波器處理程序如圖8所示，

其中心黑色模板生成的核心代碼如下：

• rows, cols = img.shape
• crow,ccol = int(rows/2), int(cols/2)
• fshift[crow-30:crow+30, ccol-30:ccol+30] = 0

通過高通濾波器將提取影像的邊緣輪廓，生成如圖9所示影像，

完整代碼如下所示：

# -*- coding: utf-8 -*-
import cv2 as cv
import numpy as np
from matplotlib import pyplot as plt
import matplotlib

#讀取影像
img = cv.imread('Lena.png', 0)

#傅里葉變換
f = np.fft.fft2(img)
fshift = np.fft.fftshift(f)

#設定高通濾波器
rows, cols = img.shape
crow,ccol = int(rows/2), int(cols/2)
fshift[crow-30:crow+30, ccol-30:ccol+30] = 0

#傅里葉逆變換
ishift = np.fft.ifftshift(fshift)
iimg = np.fft.ifft2(ishift)
iimg = np.abs(iimg)

#設定字體
matplotlib.rcParams['font.sans-serif']=['SimHei']

#顯示原始影像和高通濾波處理影像
plt.subplot(121), plt.imshow(img, 'gray'), plt.title(u'(a)原始影像')
plt.axis('off')
plt.subplot(122), plt.imshow(iimg, 'gray'), plt.title(u'(b)結果影像')
plt.axis('off')
plt.show()

輸出結果如圖10所示，圖10(a)為原始“Na”圖，圖10(b)為高通濾波器提取的邊緣輪廓影像，它通過傅里葉變換轉換為頻譜影像，再將中心的低頻部分設定為0，再通過傅里葉逆變換轉換為最終輸出影像，

2.低通濾波器

低通濾波器是指通過低頻的濾波器，衰減高頻而通過低頻，常用于模糊影像，低通濾波器與高通濾波器相反，當一個像素與周圍像素的插值小于一個特定值時，平滑該像素的亮度，常用于去燥和模糊化處理，如PS軟體中的高斯模糊，就是常見的模糊濾波器之一，屬于削弱高頻信號的低通濾波器，

下圖展示了“Lena”圖對應的頻譜影像，其中心區域為低頻部分，如果構造低通濾波器，則將頻譜影像中心低頻部分保留，其他部分替換為黑色0，最終得到的效果圖為模糊影像，

那么，如何構造該濾波影像呢？如圖12所示，濾波影像是通過低通濾波器和頻譜影像形成，其中低通濾波器中心區域為白色255，其他區域為黑色0，

低通濾波器主要通過矩陣設定構造，其核心代碼如下：

• rows, cols = img.shape
• crow,ccol = int(rows/2), int(cols/2)
• mask = np.zeros((rows, cols, 2), np.uint8)
• mask[crow-30:crow+30, ccol-30:ccol+30] = 1

通過低通濾波器將模糊影像的完整代碼如下所示：

# -*- coding: utf-8 -*-
import cv2
import numpy as np
from matplotlib import pyplot as plt

#讀取影像
img = cv2.imread('Na.png', 0)

#傅里葉變換
dft = cv2.dft(np.float32(img), flags = cv2.DFT_COMPLEX_OUTPUT)
fshift = np.fft.fftshift(dft)

#設定低通濾波器
rows, cols = img.shape
crow,ccol = int(rows/2), int(cols/2) #中心位置
mask = np.zeros((rows, cols, 2), np.uint8)
mask[crow-30:crow+30, ccol-30:ccol+30] = 1

#掩膜影像和頻譜影像乘積
f = fshift * mask
print(f.shape, fshift.shape, mask.shape)


#傅里葉逆變換
ishift = np.fft.ifftshift(f)
iimg = cv2.idft(ishift)
res = cv2.magnitude(iimg[:,:,0], iimg[:,:,1])

#顯示原始影像和低通濾波處理影像
plt.subplot(121), plt.imshow(img, 'gray'), plt.title('Original Image')
plt.axis('off')
plt.subplot(122), plt.imshow(res, 'gray'), plt.title('Result Image')
plt.axis('off')
plt.show()

輸出結果如圖13所示，圖13(a)為原始“Nana”圖，圖13(b)為低通濾波器模糊處理后的影像，

四.影像霍夫變換概述

霍夫變換（Hough Transform）是一種特征檢測（Feature Extraction），被廣泛應用在影像分析、計算機視覺以及數位影像處理，霍夫變換是在1959年由氣泡室（Bubble Chamber）照片的機器分析而發明，發明者Paul Hough在1962年獲得美國專利，現在廣泛使用的霍夫變換是由Richard Duda和Peter Hart在1972年發明，并稱之為廣義霍夫變換，經典的霍夫變換是檢測圖片中的直線，之后，霍夫變換不僅能識別直線，也能夠識別任何形狀，常見的有圓形、橢圓形，1981年，因為Dana H.Ballard的一篇期刊論文“Generalizing the Hough transform to detect arbitrary shapes”，讓霍夫變換開始流行于計算機視覺界，

霍夫變換是一種特征提取技術，用來辨別找出物件中的特征，其目的是通過投票程式在特定型別的形狀內找到物件的不完美實體，這個投票程式是在一個引數空間中進行的，在這個引數空間中，候選物件被當作所謂的累加器空間中的區域最大值來獲得，累加器空間是由計算霍夫變換的演算法明確地構建，霍夫變換主要優點是能容忍特征邊界描述中的間隙，并且相對不受影像噪聲的影響，

最基本的霍夫變換是從黑白影像中檢測直線，它的演算法流程大致如下：給定一個物件和要辨別的形狀的種類，演算法會在引數空間中執行投票來決定物體的形狀，而這是由累加空間里的區域最大值來決定，假設存在直線公式如（4）所示，其中m表示斜率，b表示截距，

如果用引數空間表示，則直線為（b, m），但它存在一個問題，垂直線的斜率不存在（或無限大），使得斜率引數m值接近于無限，為此，為了更好的計算，Richard O. Duda和Peter E. Hart在1971年4月，提出了Hesse normal form（Hesse法線式），如公式（5）所示，它轉換為直線的離散極坐標公式，

其中r是原點到直線上最近點的距離，θ是x軸與連接原點和最近點直線之間的夾角，如圖15-14所示，

對于點(x0, y0)，可以將通過這個點的一族直線統一定義為公式（6），因此，可以將影像的每一條直線與一對引數(r,θ)相關聯，相當于每一對(r0,θ)代表一條通過點的直線(x0, y0)，其中這個引數(r,θ)平面被稱為霍夫空間，

然而在實作的影像處理領域，影像的像素坐標P(x, y)是已知的，而(r,θ)是需要尋找的變數，如果能根據像素點坐標P(x, y)值繪制每個(r,θ)值，那么就從影像笛卡爾坐標系統轉換到極坐標霍夫空間系統，這種從點到曲線的變換稱為直線的霍夫變換，變換通過量化霍夫引數空間為有限個值間隔等分或者累加格子，當霍夫變換演算法開始，每個像素坐標點P(x, y)被轉換到(r,θ)的曲線點上面，累加到對應的格子資料點，當一個波峰出現時候，說明有直線存在，

如圖15所示，三條正弦曲線在平面相交于一點，該點坐標(r0,θ)表示三個點組成的平面內的直線，這就是使用霍夫變換檢測直線的程序，它追蹤影像中每個點對應曲線間的交點，如果交于一點的曲線的數量超過了閾值，則認為該交點所代表的引數對(r0,θ)在原影像中為一條直線，

同樣的原理，可以用來檢測圓，對于圓的引數方程變為如下等式：

其中(a, b)為圓的中心點坐標，r圓的半徑，這樣霍夫引數空間就變成一個三維引數空間，給定圓半徑轉為二維霍夫引數空間，變換相對簡單，也比較常用，

五.影像霍夫線變換操作

在OpenCV中，霍夫變換分為霍夫線變換和霍夫圓變換，其中霍夫線變換支持三種不同方法——標準霍夫變換、多尺度霍夫變換和累計概率霍夫變換，

• 標準霍夫變換主要有HoughLines()函式實作，
• 多尺度霍夫變換是標準霍夫變換在多尺度下的變換，可以通過HoughLines()函式實作，
• 累計概率霍夫變換是標準霍夫變換的改進，它能在一定范圍內進行霍夫變換，計算單獨線段的方向及范圍，從而減少計算量，縮短計算時間，可以通過HoughLinesP()函式實作，

在OpenCV 中，通過函式HoughLines()檢測直線，并且能夠呼叫標準霍夫變換（SHT）和多尺度霍夫變換（MSHT），其函式原型如下所示：

• lines = HoughLines(image, rho, theta, threshold[, lines[, srn[, stn[, min_theta[, max_theta]]]]])
  – image表示輸入的二值影像
  – lines表示經過霍夫變換檢測到直線的輸出矢量，每條直線為(r,θ)
  – rho表示以像素為單位的累加器的距離精度
  – theta表示以弧度為單位的累加器角度精度
  – threshold表示累加平面的閾值引數，識別某部分為圖中的一條直線時它在累加平面中必須達到的值，大于該值線段才能被檢測回傳
  – srn表示多尺度霍夫變換中rho的除數距離，默認值為0，粗略的累加器進步尺寸為rho，而精確的累加器進步尺寸為rho/srn
  – stn表示多尺度霍夫變換中距離精度theta的除數，默認值為0,，如果srn和stn同時為0，使用標準霍夫變換
  – min_theta表示標準和多尺度的霍夫變換中檢查線條的最小角度，必須介于0和max_theta之間
  – max_theta表示標準和多尺度的霍夫變換中要檢查線條的最大角度，必須介于min_theta和π之間

下面的代碼是呼叫HoughLines()函式檢測影像中的直線，并將所有的直線繪制于原影像中，

# -*- coding: utf-8 -*-
import cv2
import numpy as np
from matplotlib import pyplot as plt

#讀取影像
gray = cv2.imread('judge.png', 0)

#灰度變換
#gray = cv2.cvtColor(img, cv2.COLOR_BGR2GRAY)

#轉換為二值影像
edges = cv2.Canny(gray, 50, 150)

#顯示原始影像
plt.subplot(121), plt.imshow(edges, 'gray'), plt.title('Input Image')
plt.axis('off')

#霍夫變換檢測直線
lines = cv2.HoughLines(edges, 1, np.pi / 180, 160)

#轉換為二維
line = lines[:, 0, :] 

#將檢測的線在極坐標中繪制 
for rho,theta in line[:]: 
    a = np.cos(theta)
    b = np.sin(theta)
    x0 = a * rho
    y0 = b * rho
    print x0, y0
    x1 = int(x0 + 1000 * (-b))
    y1 = int(y0 + 1000 * (a))
    x2 = int(x0 - 1000 * (-b))
    y2 = int(y0 - 1000 * (a))
    print x1, y1, x2, y2
    #繪制直線
    cv2.line(gray, (x1, y1), (x2, y2), (255, 0, 0), 2)

#顯示處理影像
plt.subplot(122), plt.imshow(gray, 'gray'), plt.title('Result Image')
plt.axis('off')
plt.show()

輸出結果如圖16所示，第一幅圖為原始影像，第二幅檢測出的直線，

使用該方法檢測大樓影像中的直線如圖17所示，可以發現直線會存在越界的情況，

前面的標準霍夫變換會計算影像中的每一個點，計算量比較大，另外它得到的是整條線(r,θ)，并不知道原圖中直線的端點，接下來使用累計概率霍夫變換，它是一種改進的霍夫變換，呼叫HoughLinesP()函式實作，

• lines = HoughLinesP(image, rho, theta, threshold[, lines[, minLineLength[, maxLineGap]]])
  – image表示輸入的二值影像
  – lines表示經過霍夫變換檢測到直線的輸出矢量，每條直線具有4個元素的矢量，即（x1, y1）和（x2, y2）是每個檢測線段的端點
  – rho表示以像素為單位的累加器的距離精度
  – theta表示以弧度為單位的累加器角度精度
  – threshold表示累加平面的閾值引數，識別某部分為圖中的一條直線時它在累加平面中必須達到的值，大于該值線段才能被檢測回傳
  – minLineLength表示最低線段的長度，比這個設定引數短的線段不能被顯示出來，默認值為0
  – maxLineGap表示允許將同一行點與點之間連接起來的最大距離，默認值0

下面的代碼是呼叫HoughLinesP()函式檢測影像中的直線，并將所有的直線繪制于原影像中，

# -*- coding: utf-8 -*-
import cv2
import numpy as np
from matplotlib import pyplot as plt
import matplotlib

#讀取影像
img = cv2.imread('judge.png')

#灰度轉換
gray = cv2.cvtColor(img, cv2.COLOR_BGR2GRAY)

#轉換為二值影像
edges = cv2.Canny(gray, 50, 200)

#顯示原始影像
plt.subplot(121), plt.imshow(edges, 'gray'), plt.title(u'(a)原始影像')
plt.axis('off')

#霍夫變換檢測直線
minLineLength = 60
maxLineGap = 10
lines = cv2.HoughLinesP(edges, 1, np.pi/180, 30, minLineLength, maxLineGap)

#繪制直線
lines1 = lines[:, 0, :]
for x1,y1,x2,y2 in lines1[:]:
    cv2.line(img, (x1,y1), (x2,y2), (255,0,0), 2)

res = cv2.cvtColor(img, cv2.COLOR_BGR2RGB)

#設定字體
matplotlib.rcParams['font.sans-serif']=['SimHei']

#顯示處理影像
plt.subplot(122), plt.imshow(res), plt.title(u'(b)結果影像')
plt.axis('off')
plt.show()

輸出結果如圖18所示，圖18(a)為原始影像，圖18(b)檢測出的直線，它有效地提取了線段的起點和終點，

六.影像霍夫圓變換操作

霍夫圓變換的原理與霍夫線變換很類似，只是將線的(r,θ)二維坐標提升為三維坐標，包括圓心點(x_center,y_center,r)和半徑r，其數學形式如公式（7），

從而一個圓的確定需要三個引數，通過三層回圈實作，接著尋找引數空間累加器的最大（或者大于某一閾值）的值，隨著資料量的增大，導致圓的檢測將比直線更耗時，所以一般使用霍夫梯度法減少計算量，在OpenCV中，提供了cv2.HoughCircles()函式檢測圓，其原型如下所示：

• circles = HoughCircles(image, method, dp, minDist[, circles[, param1[, param2[, minRadius[, maxRadius]]]]])
  – image表示輸入影像，8位灰度單通道影像
  – circles表示經過霍夫變換檢測到圓的輸出矢量，每個矢量包括3個元素，即（x, y, radius）
  – method表示檢測方法，包括HOUGH_GRADIENT值
  – dp表示用來檢測圓心的累加器影像的解析度于輸入影像之比的倒數，允許創建一個比輸入影像解析度低的累加器
  – minDist表示霍夫變換檢測到的圓的圓心之間的最小距離
  – param1表示引數method設定檢測方法的對應引數，對當前唯一的方法霍夫梯度法CV_HOUGH_GRADIENT，它表示傳遞給Canny邊緣檢測算子的高閾值，而低閾值為高閾值的一半，默認值100
  – param2表示引數method設定檢測方法的對應引數，對當前唯一的方法霍夫梯度法CV_HOUGH_GRADIENT，它表示在檢測階段圓心的累加器閾值，它越小，將檢測到更多根本不存在的圓；它越大，能通過檢測的圓就更接近完美的圓形
  – minRadius表示圓半徑的最小值，默認值為0
  – maxRadius表示圓半徑的最大值，默認值0

下列代碼是檢測影像中的圓，

# -*- coding: utf-8 -*-
import cv2
import numpy as np
from matplotlib import pyplot as plt

#讀取影像
img = cv2.imread('test01.png')

#灰度轉換
gray = cv2.cvtColor(img, cv2.COLOR_BGR2GRAY)

#顯示原始影像
plt.subplot(121), plt.imshow(gray, 'gray'), plt.title('Input Image')
plt.axis('off')

#霍夫變換檢測圓
#circles1 = cv2.HoughCircles(gray, cv2.HOUGH_GRADIENT, 1, 100,
#                           param1=100, param2=30, minRadius=200, maxRadius=300)

circles1 = cv2.HoughCircles(gray, cv2.HOUGH_GRADIENT, 1, 20, param2=30)

print(circles1)

#提取為二維
circles = circles1[0, :, :]

#四舍五入取整
circles = np.uint16(np.around(circles))

#繪制圓
for i in circles[:]: 
    cv2.circle(img, (i[0],i[1]), i[2], (255,0,0), 5) #畫圓
    cv2.circle(img, (i[0],i[1]), 2, (255,0,255), 10) #畫圓心

#顯示處理影像
plt.subplot(122), plt.imshow(img), plt.title('Result Image')
plt.axis('off')
plt.show()

輸出結果如圖19所示，圖19(a)為原始影像，圖圖19(b)檢測出的圓形，它有效地提取了圓形的圓心和輪廓，

使用下面的函式能有效提取人類眼睛的輪廓，核心函式如下：

circles1 = cv2.HoughCircles(gray, cv2.HOUGH_GRADIENT, 1, 20,
                            param1=100, param2=30,
                            minRadius=160, maxRadius=300)

輸出結果如圖20所示，它提取了三條圓形接近于人體的眼睛，

圖20中顯示了三條曲線，通過不斷優化最大半徑和最小半徑，比如將minRadius設定為160，maxRadius設定為200，將提取更為精準的人體眼睛，如圖21所示，

最終代碼如下：

# -*- coding: utf-8 -*-
import cv2
import numpy as np
from matplotlib import pyplot as plt

#讀取影像
img = cv2.imread('eyes.png')

#灰度轉換
gray = cv2.cvtColor(img, cv2.COLOR_BGR2GRAY)

#顯示原始影像
plt.subplot(121), plt.imshow(gray, 'gray'), plt.title('Input Image')
plt.axis('off')

#霍夫變換檢測圓
circles1 = cv2.HoughCircles(gray, cv2.HOUGH_GRADIENT, 1, 20,
                            param1=100, param2=30,
                            minRadius=160, maxRadius=200)
print(circles1)

#提取為二維
circles = circles1[0, :, :]

#四舍五入取整
circles = np.uint16(np.around(circles))

#繪制圓
for i in circles[:]: 
    cv2.circle(img, (i[0],i[1]), i[2], (255,0,0), 5) #畫圓
    cv2.circle(img, (i[0],i[1]), 2, (255,0,255), 8) #畫圓心

#顯示處理影像
plt.subplot(122), plt.imshow(img), plt.title('Result Image')
plt.axis('off')
plt.show()

七.總結

本文主要講解傅里葉變換和霍夫變換，傅里葉變換主要用來進行影像除噪、影像增強處理，通過Numpy和OpenCV兩種方法分別進行敘述，并結合代碼加深了讀者的印象；霍夫變換主要用來辨別找出物件中的特征，包括提取影像中的直線和圓，呼叫cv2.HoughLines()、cv2.HoughLinesP()和cv2.HoughCircles()實作，

• 源代碼下載地址：https://github.com/eastmountyxz/ImageProcessing-Python

時光嘀嗒嘀嗒的流失，這是我在CSDN寫下的第八篇年終總結，比以往時候來的更早一些，《敏而多思，寧靜致遠》，僅以此篇紀念這風雨兼程的一年，這感恩的一年，列車上只寫了一半，這兩天完成，思遠，思君O(∩_∩)O

• 2020年總結：敏而多思，寧靜致遠——紀念這風雨兼程的一年

2020年8月18新開的“娜璋AI安全之家”，主要圍繞Python大資料分析、網路空間安全、人工智能、Web滲透及攻防技術進行講解，同時分享CCF、SCI、南核北核論文的演算法實作，娜璋之家會更加系統，并重構作者的所有文章，從零講解Python和安全，寫了近十年文章，真心想把自己所學所感所做分享出來，還請各位多多指教，真誠邀請您的關注！謝謝，

(By:Eastmount 2020-12-02 下午6點寫于武漢 http://blog.csdn.net/eastmount/ )

參考文獻，在此感謝這些大佬，共勉！

• [1]岡薩雷斯著. 數字影像處理（第3版）[M]. 北京：電子工業出版社，2013.
• [2]阮秋琦. 數字影像處理學（第3版）[M]. 北京：電子工業出版社，2008.
• [3]毛星云，冷雪飛. OpenCV3編程入門[M]. 北京：電子工業出版社，2015.
• [4]張錚，王艷平，薛桂香等. 數字影像處理與機器視覺——Visual C++與Matlab實作[M]. 北京：人民郵電出版社，2014.
• [5]百度百科. 傅里葉變換[EB/OL]. (2019.02.05). https://baike.baidu.com/item/傅里葉變換/7119029.
• [6]網易云課堂_高登教育. Python+OpenCV影像處理[EB/OL]. (2019-01-15). https://study.163.com/course/courseLearn.htm?courseId=1005317018.
• [7]安安zoe. 影像的傅里葉變換[EB/OL]. (2018-02-01). https://www.jianshu.com/p/89ce7fdb9e12.
• [8]daduzimama. 影像的傅里葉變換的迷思----頻譜居中[EB/OL]. (2018-06-07). https://blog.csdn.net/daduzimama/article/details/80597454.
• [9]tenderwx. [數字影像處理] 傅里葉變換在影像處理中的應用[EB/OL]. (2016-03-05). https://www.cnblogs.com/tenderwx/p/5245859.html.
• [10]小小貓釣小小魚. 深入淺出的講解傅里葉變換（真正的通俗易懂）[EB/OL]. (2018-02-02).
• [11]https://www.cnblogs.com/h2zZhou/p/8405717.html.
• [12]百度百科. 霍夫變換[EB/OL]. (2018-11-21). https://baike.baidu.com/item/霍夫變換/4647236.
• [13]yuyuntan. 經典霍夫變換（Hough Transform）[EB/OL]. (2018-04-29). https://blog.csdn.net/yuyuntan/article/details/80141392.
• [14]g20040733. 霍夫變換[EB/OL]. (2016-12-07). https://blog.csdn.net/g200407331/article/details/53507784.
• [15]我i智能. Python下opencv使用筆記（十一）（詳解hough變換檢測直線與圓）[EB/OL]. (2015-07-23). https://blog.csdn.net/on2way/article/details/47028969.
• [16]ex2tron. Python+OpenCV教程17：霍夫變換[EB/OL]. (2018-01-10). https://www.jianshu.com/p/34d6dc466e81.
• [17]Daetalus. OpenCV-Python教程（9、使用霍夫變換檢測直線）[EB/OL]. (2013-07-12). https://blog.csdn.net/sunny2038/article/details/9253823.