面試前必知必會的二分查找及其變種

需要更多演算法動圖詳解，可以微信搜索[袁廚的演算法小屋]

今天給大家帶來的是二分查找及其變種的總結，大家一定要看到最后呀，用心滿滿，廢話不多說，讓導演幫我們把鏡頭切到袁記菜館吧！

袁記菜館內，，，，

店小二：掌柜的，您進歡訓來了呀，喲！今天您買這魚挺大呀！

袁廚：那是，這是我今天從咱們江邊買的，之前一直去菜市場買，那里的老貴了，你猜猜我今天買的多少錢一條，

店小二：之前的魚，30個銅板一條，今天的我猜26個銅板，

袁廚：貴了，

店小二：還貴呀！那我猜20個銅板！

袁廚：還是貴了，

店小二：15個銅板，

袁廚：便宜了

店小二：18個銅板

袁廚：恭喜你猜對了

上面的例子就用到了我們的二分查找思想，如果你玩過類似的游戲，那二分查找理解起來肯定很輕松啦，下面我們一起征服二分查找吧！

二分查找

二分查找也稱折半查找（Binary Search），是一種在有序陣列中查找某一特定元素的搜索演算法，我們可以從定義可知，運用二分搜索的前提是陣列必須是有序的，這里需要注意的是，我們的輸入不一定是陣列，也可以是陣列中某一區間的起始位置和終止位置

通過上面二分查找的定義，我們知道了二分查找演算法的作用及要求，那么該演算法的具體執行程序是怎樣的呢？

下面我們通過一個例子來幫助我們理解，我們需要在 nums 陣列中，查詢元素 8 的索引

int[ ]  nums = {1,3,4,5,6,8,12,14,16}; target = 8  

（1）我們需要定義兩個指標分別指向陣列的頭部及尾部，這是我們在整個陣列中查詢的情況，當我們在陣列

某一區間進行查詢時，可以輸入陣列，起始位置，終止位置進行查詢，

（2）找出mid，該索引為 mid =（left + right）/ 2，但是這樣寫有可能溢位，所以我們需要改進一下寫成

mid = left +（right - left）/ 2 或者 left + ((right - left ) >> 1) 兩者作用是一樣的，都是為了找到兩指標的中

間索引，使用位運算的速度更快，那么此時的 mid = 0 + (8-0) / 2 = 4

（3）此時我們的 mid = 4，nums[mid] = 6 < target,那么我們需要移動我們的 left 指標，讓left = mid + 1，下次則可以在新的 left 和 right 區間內搜索目標值，下圖為移動前和移動后

（4）我們需要在 left 和 right 之間計算 mid 值，mid = 5 + （8 - 5）/ 2 = 6 然后將 nums[mid] 與 target 繼續比較，進而決定下次移動left 指標還是 right 指標，見下圖

（5）我們發現 nums[mid] > target，則需要移動我們的 right 指標， 則 right = mid - 1；則移動過后我們的 left 和 right 會重合，這里是我們的一個重點大家需要注意一下，后面會對此做詳細敘述，

（6）我們需要在 left 和 right 之間繼續計算 mid 值，則 mid = 5 +（5 - 5）/ 2 = 5 ，見下圖，此時我們將 nums[mid] 和 target 比較，則發現兩值相等，回傳 mid 即可 ，如果不相等則跳出回圈，回傳 -1，

二分查找的執行程序如下

1.從已經排好序的陣列或區間中，取出中間位置的元素，將其與我們的目標值進行比較，判斷是否相等，如果相等

則回傳，

2.如果 nums[mid] 和 target 不相等，則對 nums[mid] 和 target 值進行比較大小，通過比較結果決定是從 mid

的左半部分還是右半部分繼續搜索，如果 target > nums[mid] 則右半區間繼續進行搜索，即 left = mid + 1; 若

target < nums[mid] 則在左半區間繼續進行搜索，即 right = mid -1；

動圖決議

下面我們來看一下二分查找的代碼，可以認真思考一下 if 陳述句的條件，每個都沒有簡寫，

 public static int binarySearch(int[] nums,int target,int left, int right) {
        //這里需要注意，回圈條件
        while (left <= right) {
            //這里需要注意，計算mid
            int mid = left + ((right - left) >> 1);
            if (nums[mid] == target) {
                return mid;
            }else if (nums[mid] < target) {
                //這里需要注意，移動左指標
                left  = mid + 1;
            }else if (nums[mid] > target) {
                //這里需要注意，移動右指標
                right = mid - 1;
            }
        }
        //沒有找到該元素，回傳 -1
        return -1;
    }

二分查找的思路及代碼已經理解了，那么我們來看一下實作時容易出錯的地方

1.計算 mid 時 ，不能使用 （left + right ）/ 2,否則有可能會導致溢位

2.while (left < = right) { } 注意括號內為 left <= right ,而不是 left < right ，我們繼續回顧剛才的例子，如果我們設定條件為 left < right 則當我們執行到最后一步時，則我們的 left 和 right 重疊時，則會跳出回圈，回傳 -1，區間內不存在該元素，但是不是這樣的，我們的 left 和 right 此時指向的就是我們的目標元素 ，但是此時 left = right 跳出回圈

3.left = mid + 1,right = mid - 1 而不是 left = mid 和 right = mid，我們思考一下這種情況,見下圖，當我們的target 元素為 16 時，然后我們此時 left = 7 ，right = 8，mid = left + (right - left) = 7 + (8-7) = 7，那如果設定 left = mid 的話，則會進入死回圈，mid 值一直為7 ，

下面我們來看一下二分查找的遞回寫法

public static int binarySearch(int[] nums,int target,int left, int right) {
        
        if (left <= right) {
            int mid = left + ((right - left) >> 1);
            if (nums[mid] == target) {
                //查找成功
                return  mid;
            }else if (nums[mid] > target) {
                //新的區間,左半區間
                return binarySearch(nums,target,left,mid-1);
            }else if (nums[mid] < target) {
                //新的區間，右半區間
                return binarySearch(nums,target,mid+1,right);
            }
        }
        //不存在回傳-1
        return -1;
    }

例題：

題目描述

給定一個排序陣列和一個目標值，在陣列中找到目標值，并回傳其索引，如果目標值不存在于陣列中，回傳它將會被按順序插入的位置，

你可以假設陣列中無重復元素，

示例 1:

輸入: [1,3,5,6], 5
輸出: 2

示例 2:

輸入: [1,3,5,6], 2
輸出: 1

示例 3:

輸入: [1,3,5,6], 7
輸出: 4

示例 4:

輸入: [1,3,5,6], 0
輸出: 0

題目決議

這個題目完全就和咱們的二分查找一樣，只不過有了一點改寫，那就是將咱們的回傳值改成了 left，具體實作程序見下圖

class Solution {
    public int searchInsert(int[] nums, int target) {

        int left = 0, right = nums.length-1;
        //注意回圈條件
        while (left <= right) {
            //求mid
            int mid = left + ((right - left ) >> 1);
            //查詢成功
            if (target == nums[mid]) {
                return mid;
            //右區間    
            } else if (nums[mid] < target) {
                left = mid + 1;   
            //左區間               
            } else if (nums[mid] > target) {
                right = mid - 1;
            }
        }
        //回傳插入位置
        return left;
    }
}

二分查找變種一

上面我們說了如何使用二分查找在陣列或區間里查出特定值的索引位置，但是我們剛才陣列里面都沒有重復值，查到回傳即可，那么我們思考一下下面這種情況

此時我們陣列里含有多個 5 ，我們查詢是否含有 5 可以很容易查到，但是我們想獲取第一個 5 和 最后一個 5 的位置應該怎么實作呢？哦！我們可以使用遍歷，當查詢到第一個 5 時，我們設立一個指標進行定位，然后到達最后一個 5 時回傳，這樣我們就能求的第一個和最后一個五了？因為我們這個文章的主題就是二分查找，我們可不可以用二分查找來實作呢？當然是可以的，

題目描述

給定一個按照升序排列的整數陣列 nums，和一個目標值 target，找出給定目標值在陣列中的開始位置和結束位置，

如果陣列中不存在目標值 target，回傳 [-1, -1]，

示例 1：

輸入：nums = [5,7,7,8,8,10], target = 8
輸出：[3,4]

示例 2：

輸入：nums = [5,7,7,8,8,10], target = 6
輸出：[-1,-1]

示例 3：

輸入：nums = [], target = 0
輸出：[-1,-1]

題目決議

這個題目很容易理解，我們在上面說了如何使用遍歷解決該題，但是這個題目的目的就是讓我們使用二分查找，我們來逐個分析，先找出目標元素的下邊界，那么我們如何找到目標元素的下邊界呢？

我們來重點分析一下剛才二分查找中的這段代碼

  if (nums[mid] == target) {
       return mid;
  }else if (nums[mid] < target) {
      //這里需要注意，移動左指標
      left  = mid + 1;
  }else if (nums[mid] > target) {
      //這里需要注意，移動右指標
      right = mid - 1;
  } 

我們只需在這段代碼中修改即可，我們再來剖析一下這塊代碼，nums[mid] == target 時則回傳，nums[mid] < target 時則移動左指標，在右區間進行查找， nums[mid] > target時則移動右指標，在左區間內進行查找，

那么我們思考一下，如果此時我們的 nums[mid] = target ,但是我們不能確定 mid 是否為該目標數的左邊界，所以此時我們不可以回傳下標，例如下面這種情況，

此時 mid = 4 ，nums[mid] = 5,但是此時的 mid 指向的并不是第一個 5，所以我們需要繼續查找 ，因為我們要找

的是數的下邊界，所以我們需要在 mid 的值的左區間繼續尋找 5 ，那我們應該怎么做呢？我們只需在

target <= nums[mid] 時，讓 right = mid - 1即可，這樣我們就可以繼續在 mid 的左區間繼續找 5 ，是不是聽著有點繞，我們通過下面這組圖進行描述，

其實原理很簡單，就是我們將小于和等于合并在一起處理，當 target <= nums[mid] 時，我們都移動右指標，也就是 right = mid -1，還有一個需要注意的就是，我們計算下邊界時最后的回傳值為 left ，當上圖結束回圈時，left = 3，right = 2，回傳 left 剛好時我們的下邊界，我們來看一下求下邊界的具體執行程序，

動圖決議

計算下邊界代碼

int lowerBound(int[] nums, int target) {
        int left = 0, right = nums.length - 1;
        while (left <= right) {
            //這里需要注意，計算mid
            int mid = left + ((right - left) >> 1);
            if (target <= nums[mid]) {
                //當目標值小于等于nums[mid]時，繼續在左區間檢索，找到第一個數
                right = mid - 1;

            }else if (target > nums[mid]) {
                //目標值大于nums[mid]時，則在右區間繼續檢索，找到第一個等于目標值的數
                left = mid + 1;

            }
        }
        return left;
    }

計算上邊界時算是和計算上邊界時條件相反，

計算下邊界時，當 target <= nums[mid] 時，right = mid -1；target > nums[mid] 時，left = mid + 1；

計算上邊界時，當 target < nums[mid] 時，right = mid -1; target >= nums[mid] 時 left = mid + 1;剛好和計算下邊界時條件相反，回傳right，

計算上邊界代碼

int upperBound(int[] nums, int target) {
        int left = 0, right = nums.length - 1;
        while (left <= right) {
            //求mid
            int mid = left + ((right - left) >> 1);
            //移動左指標情況
            if (target >= nums[mid]) {
                 left = mid + 1; 
            //移動右指標情況
            }else if (target < nums[mid]) {
                right = mid - 1;
            }
            
        }
        return left;
    }

題目完整代碼

class Solution {
    public int[] searchRange (int[] nums, int target) {
         int upper = upperBound(nums,target);
         int low = lowerBound(nums,target);  
         //不存在情況
         if (upper < low) {
             return new int[]{-1,-1};
         }
         return new int[]{low,upper};
    }
    //計算下邊界
    int lowerBound(int[] nums, int target) {
        int left = 0, right = nums.length - 1;
        while (left <= right) {
            //這里需要注意，計算mid
            int mid = left + ((right - left) >> 1);
            if (target <= nums[mid]) {
                //當目標值小于等于nums[mid]時，繼續在左區間檢索，找到第一個數
                right = mid - 1;

            }else if (target > nums[mid]) {
                //目標值大于nums[mid]時，則在右區間繼續檢索，找到第一個等于目標值的數
                left = mid + 1;

            }
        }
        return left;
    }
    //計算上邊界
    int upperBound(int[] nums, int target) {
        int left = 0, right = nums.length - 1;
        while (left <= right) {          
            int mid = left + ((right - left) >> 1);
            if (target >= nums[mid]) {
                 left = mid + 1;               
            }else if (target < nums[mid]) {
                right = mid - 1;
            }            
        }
        return right;
    }
}

二分查找變種二

我們在上面的變種中，描述了如何找出目標元素在陣列中的上下邊界，然后我們下面來看一個新的變種，如何從陣列或區間中找出第一個大于或最后一個小于目標元素的數的索引，例 nums = {1,3,5,5,6,6,8,9,11} 我們希望找出第一個大于 5的元素的索引，那我們需要回傳 4 ，因為 5 的后面為 6，第一個 6 的索引為 4，如果希望找出最后一個小于 6 的元素，那我們則會回傳 3 ，因為 6 的前面為 5 最后一個 5 的索引為 3，好啦題目我們已經了解，下面我們先來看一下如何在陣列或區間中找出第一個大于目標元素的數吧，

找出第一個大于目標元素的數，大概有以下幾種情況

1.陣列包含目標元素，找出在他后面的第一個元素

2.目標元素不在陣列中，陣列內的部分元素大于它，此時我們需要回傳第一個大于他的元素

3.目標元素不在陣列中，且陣列中的所有元素都大于它，那么我們此時回傳陣列的第一個元素即可

4.目標元素不在陣列中，且陣列中的所有元素都小于它，那么我們此時沒有查詢到，回傳 -1 即可，

既然我們已經分析完所有情況，那么這個題目對咱們就沒有難度了，下面我們描述一下案例的執行程序

nums = {1,3,5,5,6,6,8,9,11} target = 7

上面的例子中，我們需要找出第一個大于 7 的數，那么我們的程式是如何執行的呢？

上面的例子我們已經弄懂了，那么我們看一下，當 target = 0時，程式應該怎么執行呢？

OK!我們到這一步就能把這個變種給整的明明白白的了，下面我們看一哈程式代碼吧，也是非常簡單的，

public static int lowBoundnum(int[] nums,int target,int left, int right) {

        while (left <= right) {
            //求中間值
            int mid = left + ((right - left) >> 1);
            //大于目標值的情況
            if (nums[mid] > target) {
                 //回傳 mid
                if (mid == 0 || nums[mid-1] <= target) {
                    return mid;
                }
                else{
                    right = mid -1;
                }

            } else if (nums[mid] <= target){
                left = mid + 1;
            }
        }
        //所有元素都小于目標元素
        return -1;
    }

通過上面的例子我們應該可以完全理解了那個變種，下面我們繼續來看以下這種情況，那就是如何找到最后一個小于目標數的元素，還是上面那個例子

nums = {1,3,5,5,6,6,8,9,11} target = 7

查找最后一個小于目標數的元素，比如我們的目標數為 7 ，此時他前面的數為 6，最后一個 6 的索引為 5，此時我們回傳 5 即可，如果目標數元素為 12，那么我們最后一個元素為 11，仍小于目標數，那么我們此時回傳 8，即可，這個變種其實算是上面變種的相反情況，上面的會了，這個也完全可以搞定了，下面我們看一下代碼吧，

public static int upperBoundnum(int[] nums,int target,int left, int right) {

        while (left <= right) {

            int mid = left + ((right - left) >> 1);
             //小于目標值
            if (nums[mid] < target) {
                //看看是不是當前區間的最后一位，如果當前小于，后面一位大于，回傳當前值即可
                if (mid == right || nums[mid+1] >= target) {
                    return mid;
                }
                else{
                    left = mid + 1;
                }

            } else if (nums[mid] >= target){
                right = mid - 1;
            }
        }
        //沒有查詢到的情況
        return -1;
    }

哎嘛寫著寫著咋就那么多了，太長了大家就不愛看啦，剩下的就放在下篇吧，咱們下篇見呀！

如果這篇文章對您有一丟丟幫助的話，或者是能感受到這篇文章的用心的話，那么感謝您的點贊，在看，轉發呀，這樣我就滿血復活啦，

我是袁廚，一個酷愛用動圖解演算法的年輕人，一個酷愛做飯的程式員，一個想和你一起進步的小老弟，

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