現代數字信號處理課后作業【第七章】

窗函式設計原理：
設 希 望 逼 近 的 濾 波 器 頻 率 響 應 函 數 為 H d ( e j w ) 設希望逼近的濾波器頻率回應函式為H_d(e^{jw}) 設希望逼近的濾波器頻率響應函數為Hd?(ejw)， 其 單 位 脈 沖 響 應 是 h d ( n ) 其單位脈沖回應是h_d(n) 其單位脈沖響應是hd?(n)， H d ( e j w ) = ∑ n = ? ∞ ∞ = h d ( n ) e ? j w n h d ( n ) = 1 2 π ∫ ? w c w c H d ( e j w ) d w H_d(e^{jw})=\sum\limits_{n=-∞}^{∞}=h_d(n)e^{-jwn} \\ h_d(n)=\dfrac{1}{2\pi}\int_{-w_c}^{w_c}H_d(e^{jw})dw Hd?(ejw)=n=?∞∑∞?=hd?(n)e?jwnhd?(n)=2π1?∫?wc?wc??Hd?(ejw)dw h d ( n ) 是 無 限 時 寬 ， 且 是 非 因 果 序 列 ， h_d(n)是無限時寬，且是非因果序列， hd?(n)是無限時寬，且是非因果序列，
第 一 類 線 性 相 位 F I R 濾 波 器 當 序 列 長 度 N 為 奇 數 時 ， 可 實 現 ： 低 通 、 高 通 、 帶 通 、 帶 阻 濾 波 器 當 N 為 偶 數 時 ， 可 實 現 ： 低 通 、 帶 通 濾 波 器 ， 第一類線性相位FIR濾波器 當序列長度N為奇數時，可實作：低通、高通、帶通、帶阻濾波器\\ 當N為偶數時，可實作：低通、帶通濾波器， 第一類線性相位FIR濾波器當序列長度N為奇數時，可實現：低通、高通、帶通、帶阻濾波器當N為偶數時，可實現：低通、帶通濾波器，
為 了 構 造 第 一 類 線 性 相 位 F I R 濾 波 器 ， 則 需 要 將 h d ( n ) 截 取 一 段 ， 并 保 證 截 取 的 一 段 關 于 n = N ? 1 2 偶 對 稱 ， 即 h ( n ) = h d ( n ) w ( n ) ， 其 中 w ( n ) 為 窗 函 數 ， 為了構造第一類線性相位FIR濾波器，則需要將h_d(n)截取一段，并保證截取的一段關于n=\dfrac{N-1}{2}偶對稱，即h(n)=h_d(n)w(n)，其中w(n)為窗函式， 為了構造第一類線性相位FIR濾波器，則需要將hd?(n)截取一段，并保證截取的一段關于n=2N?1?偶對稱，即h(n)=hd?(n)w(n)，其中w(n)為窗函數，
設 H d ( e j w ) = H d g ( w ) e ? j w α ， 其 中 α 為 群 延 時 ， H d g ( w ) 為 數 字 濾 波 器 的 幅 度 特 性 ， 設H_d(e^{jw})=H_{dg}(w)e^{-jw\alpha}，其中 \alpha為群延時，H_{dg}(w)為數字濾波器的幅度特性， 設Hd?(ejw)=Hdg?(w)e?jwα，其中α為群延時，Hdg?(w)為數字濾波器的幅度特性，
當 α = N ? 1 2 ， 截 取 的 一 段 h ( n ) 關 于 n = N ? 1 2 偶 對 稱 ， 保 證 所 設 計 的 濾 波 器 具 有 線 性 相 位 ， 當\alpha=\dfrac{N-1}{2}，截取的一段h(n)關于n=\dfrac{N-1}{2}偶對稱，保證所設計的濾波器具有線性相位， 當α=2N?1?，截取的一段h(n)關于n=2N?1?偶對稱，保證所設計的濾波器具有線性相位，

窗函式設計步驟：
① ： 構 造 希 望 逼 近 的 頻 率 響 應 函 數 H d ( e j w ) = H d g ( w ) e ? j w ( N ? 1 ) / 2 ①：構造希望逼近的頻率回應函式H_d(e^{jw})=H_{dg}(w)e^{-jw(N-1)/2} ①：構造希望逼近的頻率響應函數Hd?(ejw)=Hdg?(w)e?jw(N?1)/2
② ： 確 定 濾 波 器 頻 帶 邊 界 條 件 ， 計 算 h d ( n ) = 1 2 π ∫ ? π π H d ( e j w ) e j w n d w ②：確定濾波器頻帶邊界條件，計算h_d(n)=\dfrac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}H_d(e^{jw})e^{jwn}dw ②：確定濾波器頻帶邊界條件，計算hd?(n)=2π1?∫?ππ?Hd?(ejw)ejwndw
③ ： 加 窗 得 到 設 計 結 果 h ( n ) = h d ( n ) w ( n ) ③：加窗得到設計結果h(n)=h_d(n)w(n) ③：加窗得到設計結果h(n)=hd?(n)w(n)

7-1 要求設計一個線性相位數字濾波器（矩形窗）， H d ( e j w ) = { e ? j w α w 1 ? ∣ w ∣ ? w 2 0 其 它 H_d(e^{jw})=\begin{cases} e^{-jw\alpha} & w_1\leqslant |w|\leqslant w_2 \\ 0 &其它\end{cases} Hd?(ejw)={e?jwα0?w1??∣w∣?w2?其它?

(1) N為奇數，求 h ( n ) h(n) h(n)

? α = N ? 1 2 \alpha=\dfrac{N-1}{2} α=2N?1?

? h d ( n ) = 1 2 π ∫ ? π π H d ( e j w ) e j w n d w h_d(n)=\dfrac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}H_d(e^{jw})e^{jwn}dw hd?(n)=2π1?∫?ππ?Hd?(ejw)ejwndw

= 1 2 π [ ∫ ? w 2 ? w 1 e ? j w α ? e j w n d w + ∫ w 1 w 2 e ? j w α ? e j w n d w ] \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ =\dfrac{1}{2\pi}\big[\int_{-w_2}^{-w_1}e^{-jw\alpha}\cdot e^{jwn}dw+\int_{w_1}^{w_2}e^{-jw\alpha}\cdot e^{jwn} dw\big] =2π1?[∫?w2??w1??e?jwα?ejwndw+∫w1?w2??e?jwα?ejwndw]

? = s i n [ w 2 ( n ? α ) ] ? s i n [ w 1 ( n ? α ) ] π ( n ? α ) \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ =\dfrac{sin[w_2(n-\alpha)]-sin[w_1(n-\alpha)]}{\pi(n-\alpha)} =π(n?α)sin[w2?(n?α)]?sin[w1?(n?α)]?

? h ( n ) = h d ( n ) R N ( n ) h(n)=h_d(n)R_N(n) h(n)=hd?(n)RN?(n)

? = s i n [ w 2 ( n ? N ? 1 2 ) ] ? s i n [ w 1 ( n ? N ? 1 2 ) ] π ( n ? N ? 1 2 ) ? R N ( n ) \ \ \ \ \ \ \ \ \ =\dfrac{sin[w_2(n-\frac{N-1}{2})]-sin[w_1(n-\frac{N-1}{2})]}{\pi(n-\frac{N-1}{2})}\cdot R_N(n) =π(n?2N?1?)sin[w2?(n?2N?1?)]?sin[w1?(n?2N?1?)]??RN?(n)

? = 1 π { w 2 S a [ w 2 ( n ? N ? 1 2 ) ] ? w 1 S a [ w 1 ( n ? N ? 1 2 ) ] } ? R N ( n ) \ \ \ \ \ \ \ \ \ =\dfrac{1}{\pi}\big\{w_2Sa[w_2(n-\frac{N-1}{2})]-w_1Sa[w_1(n-\frac{N-1}{2})]\big\}\cdot R_N(n) =π1?{w2?Sa[w2?(n?2N?1?)]?w1?Sa[w1?(n?2N?1?)]}?RN?(n)

? 當 N 為 奇 數 時 ： 當N為奇數時： 當N為奇數時：

? h ( n ) = { w 2 ? w 1 π ? R N ( n ) n = N ? 1 2 s i n [ w 2 ( n ? N ? 1 2 ) ] ? s i n [ w 1 ( n ? N ? 1 2 ) ] π ( n ? N ? 1 2 ) ? R N ( n ) n ≠ N ? 1 2 h(n)=\begin{cases} \dfrac{w_2-w_1}{\pi}\cdot R_N(n) & n=\frac{N-1}{2} \\ \\ \dfrac{sin[w_2(n-\frac{N-1}{2})]-sin[w_1(n-\frac{N-1}{2})]}{\pi(n-\frac{N-1}{2})}\cdot R_N(n) & n\neq \frac{N-1}{2} \end{cases} h(n)=????????????πw2??w1???RN?(n)π(n?2N?1?)sin[w2?(n?2N?1?)]?sin[w1?(n?2N?1?)]??RN?(n)?n=2N?1?n?=2N?1??

(2) N為偶數，求 h ( n ) h(n) h(n)

? h ( n ) = s i n [ w 2 ( n ? N ? 1 2 ) ] ? s i n [ w 1 ( n ? N ? 1 2 ) ] π ( n ? N ? 1 2 ) ? R N ( n ) h(n)=\dfrac{sin[w_2(n-\frac{N-1}{2})]-sin[w_1(n-\frac{N-1}{2})]}{\pi(n-\frac{N-1}{2})}\cdot R_N(n) h(n)=π(n?2N?1?)sin[w2?(n?2N?1?)]?sin[w1?(n?2N?1?)]??RN?(n)

(3) 若用布萊克曼窗設計，求出以上兩種形式的 h ( n ) h(n) h(n)運算式

? 布 萊 克 曼 窗 w B l ( n ) = [ 0.42 ? 0.5 c o s ( 2 π n N ? 1 ) + 0.08 c o s ( 4 π n N ? 1 ) ] R N ( n ) 布萊克曼窗w_{Bl}(n)=\big[0.42-0.5cos(\dfrac{2\pi n}{N-1})+0.08cos(\dfrac{4\pi n}{N-1})\big]R_N(n) 布萊克曼窗wBl?(n)=[0.42?0.5cos(N?12πn?)+0.08cos(N?14πn?)]RN?(n)

? 當 N 為 奇 數 時 ： 當N為奇數時： 當N為奇數時：

? h ( n ) = { w 2 ? w 1 π ? w B l ( n ) n = N ? 1 2 1 π { w 2 S a [ w 2 ( n ? N ? 1 2 ) ] ? w 1 S a [ w 1 ( n ? N ? 1 2 ) ] } ? w B l ( n ) n ≠ N ? 1 2 h(n)=\begin{cases} \dfrac{w_2-w_1}{\pi}\cdot w_{Bl}(n) & n=\frac{N-1}{2} \\ \dfrac{1}{\pi}\big\{w_2Sa[w_2(n-\frac{N-1}{2})]-w_1Sa[w_1(n-\frac{N-1}{2})]\big\}\cdot w_{Bl}(n) & n\neq \frac{N-1}{2} \end{cases} h(n)=????πw2??w1???wBl?(n)π1?{w2?Sa[w2?(n?2N?1?)]?w1?Sa[w1?(n?2N?1?)]}?wBl?(n)?n=2N?1?n?=2N?1??

? 當 N 為 偶 數 時 ： 當N為偶數時： 當N為偶數時：

? h ( n ) = s i n [ w 2 ( n ? N ? 1 2 ) ] ? s i n [ w 1 ( n ? N ? 1 2 ) ] π ( n ? N ? 1 2 ) ? W B l ( n ) h(n)=\dfrac{sin[w_2(n-\frac{N-1}{2})]-sin[w_1(n-\frac{N-1}{2})]}{\pi(n-\frac{N-1}{2})}\cdot W_{Bl(n)} h(n)=π(n?2N?1?)sin[w2?(n?2N?1?)]?sin[w1?(n?2N?1?)]??WBl(n)?

7-2 按 H d ( e j w ) = { 0 w 1 ? ∣ w ∣ ? w 2 e ? j w α 其 它 H_d(e^{jw})=\begin{cases} 0 &w_1\leqslant |w| \leqslant w_2 \\ e^{-jw\alpha} & 其它 \end{cases} Hd?(ejw)={0e?jwα?w1??∣w∣?w2?其它?，設計一個帶阻濾波器，

(1) N為奇數，求 h ( n ) h(n) h(n)

? α = N ? 1 2 \alpha=\dfrac{N-1}{2} α=2N?1?

? h d ( n ) = 1 2 π ∫ ? π π H d ( e j w ) e j w n d w h_d(n)=\dfrac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}H_d(e^{jw})e^{jwn}dw hd?(n)=2π1?∫?ππ?Hd?(ejw)ejwndw

= 1 2 π [ ∫ ? π ? w 2 e ? j w α e j w n d w + ∫ ? w 1 w 1 e ? j w α e j w n d w + ∫ w 2 π e ? j w α e j w n d w ] \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ =\dfrac{1}{2\pi}\big[\int_{-\pi}^{-w_2}e^{-jw\alpha}e^{jwn}dw+\int_{-w_1}^{w_1}e^{-jw\alpha}e^{jwn}dw+\int_{w_2}^{\pi}e^{-jw\alpha}e^{jwn}dw\big] =2π1?[∫?π?w2??e?jwαejwndw+∫?w1?w1??e?jwαejwndw+∫w2?π?e?jwαejwndw]

? = s i n [ w 1 ( n ? α ) ] ? s i n [ w 2 ( n ? α ) ] + s i n [ π ( n ? α ) ] π ( n ? α ) \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ =\dfrac{sin[w_1(n-\alpha)]-sin[w_2(n-\alpha)]+sin[\pi (n-\alpha)]}{\pi(n-\alpha)} =π(n?α)sin[w1?(n?α)]?sin[w2?(n?α)]+sin[π(n?α)]?

? h ( n ) = h d ( n ) R N ( n ) h(n)=h_d(n)R_N(n) h(n)=hd?(n)RN?(n)

? 當 N 為 奇 數 時 ： 當N為奇數時： 當N為奇數時：

? h ( n ) = { w 1 ? w 2 + 1 π ? R N ( n ) n = N ? 1 2 s i n [ w 1 ( n ? α ) ] ? s i n [ w 2 ( n ? α ) ] + s i n [ π ( n ? α ) ] π ( n ? α ) ? R N ( n ) n ≠ N ? 1 2 h(n)=\begin{cases} \dfrac{w_1-w_2+1}{\pi}\cdot R_N(n) & n=\frac{N-1}{2} \\\dfrac{sin[w_1(n-\alpha)]-sin[w_2(n-\alpha)]+sin[\pi (n-\alpha)]}{\pi(n-\alpha)}\cdot R_N(n) &n\neq \frac{N-1}{2} \end{cases} h(n)=??????πw1??w2?+1??RN?(n)π(n?α)sin[w1?(n?α)]?sin[w2?(n?α)]+sin[π(n?α)]??RN?(n)?n=2N?1?n?=2N?1??

(2) N為偶數，求 h ( n ) h(n) h(n)

? h ( n ) = s i n [ w 1 ( n ? α ) ] ? s i n [ w 2 ( n ? α ) ] + s i n [ π ( n ? α ) ] π ( n ? α ) ? R N ( n ) h(n)=\dfrac{sin[w_1(n-\alpha)]-sin[w_2(n-\alpha)]+sin[\pi (n-\alpha)]}{\pi(n-\alpha)}\cdot R_N(n) h(n)=π(n?α)sin[w1?(n?α)]?sin[w2?(n?α)]+sin[π(n?α)]??RN?(n)

(3) 若用布萊克曼窗設計，求出以上兩種形式的 h ( n ) h(n) h(n)運算式

? 布 萊 克 曼 窗 w B l ( n ) = [ 0.42 ? 0.5 c o s ( 2 π n N ? 1 ) + 0.08 c o s ( 4 π n N ? 1 ) ] R N ( n ) 布萊克曼窗w_{Bl}(n)=\big[0.42-0.5cos(\dfrac{2\pi n}{N-1})+0.08cos(\dfrac{4\pi n}{N-1})\big]R_N(n) 布萊克曼窗wBl?(n)=[0.42?0.5cos(N?12πn?)+0.08cos(N?14πn?)]RN?(n)

? 當 N 為 奇 數 時 ： 當N為奇數時： 當N為奇數時：

? h ( n ) = { w 1 ? w 2 + 1 π ? w B l ( n ) n = N ? 1 2 s i n [ w 1 ( n ? α ) ] ? s i n [ w 2 ( n ? α ) ] + s i n [ π ( n ? α ) ] π ( n ? α ) ? w B l ( n ) n ≠ N ? 1 2 h(n)=\begin{cases} \dfrac{w_1-w_2+1}{\pi}\cdot w_{Bl}(n) & n=\frac{N-1}{2} \\\dfrac{sin[w_1(n-\alpha)]-sin[w_2(n-\alpha)]+sin[\pi (n-\alpha)]}{\pi(n-\alpha)}\cdot w_{Bl}(n) &n\neq \frac{N-1}{2} \end{cases} h(n)=??????πw1??w2?+1??wBl?(n)π(n?α)sin[w1?(n?α)]?sin[w2?(n?α)]+sin[π(n?α)]??wBl?(n)?n=2N?1?n?=2N?1??

? 當 N 為 偶 數 時 ： 當N為偶數時： 當N為偶數時：

? h ( n ) = s i n [ w 1 ( n ? α ) ] ? s i n [ w 2 ( n ? α ) ] + s i n [ π ( n ? α ) ] π ( n ? α ) ? w B l ( n ) h(n)=\dfrac{sin[w_1(n-\alpha)]-sin[w_2(n-\alpha)]+sin[\pi (n-\alpha)]}{\pi(n-\alpha)}\cdot w_{Bl}(n) h(n)=π(n?α)sin[w1?(n?α)]?sin[w2?(n?α)]+sin[π(n?α)]??wBl?(n)

7-5 用頻率采樣法設計一個線性相位低通濾波器，N=15時幅度采樣為： H d ( k ) = { 1 k = 0 0.5 k = 1 , 14 0 k = 2 , 3 , . . . , 13 H_d(k)=\begin{cases} 1 & k=0 \\ 0.5 & k=1,14 \\ 0 & k=2,3,...,13 \end{cases} Hd?(k)=??????10.50?k=0k=1,14k=2,3,...,13?

頻率采樣法設計FIR濾波器的基本思想：
設 希 望 逼 近 的 濾 波 器 的 頻 響 函 數 用 H d ( e j w ) 表 示 ， 對 H d ( e j w ) 在 w = 0 到 2 π 之 間 等 間 隔 采 樣 N 點 ， 得 到 H d ( k ) : 設希望逼近的濾波器的頻響函式用H_d(e^{jw})表示，對H_d(e^{jw})在w=0到2\pi之間等間隔采樣N點，得到H_d(k): 設希望逼近的濾波器的頻響函數用Hd?(ejw)表示，對Hd?(ejw)在w=0到2π之間等間隔采樣N點，得到Hd?(k): H d ( k ) = H d ( e j w ) ∣ w = 2 π k N k = 0 , 1 , 2 , . . . , N ? 1 H_d(k)=H_d(e^{jw})\bigg|_{w=\frac{2\pi k}{N}} \ \ \ \ \ \ \ \ k=0,1,2,...,N-1 Hd?(k)=Hd?(ejw)∣∣∣∣?w=N2πk?? k=0,1,2,...,N?1
再 對 H d ( k ) 進 行 N 點 I D F T ， 得 到 h ( n ) : 再對H_d(k)進行N點IDFT，得到h(n): 再對Hd?(k)進行N點IDFT，得到h(n): h ( n ) = 1 N ∑ k = 0 N ? 1 H d ( k ) W N ? k n n = 0 , 1 , 2 , . . . , N ? 1 h(n)=\dfrac{1}{N}\sum\limits_{k=0}^{N-1}H_d(k)W_N^{-kn} \ \ \ \ \ \ \ \ \ n=0,1,2,...,N-1 h(n)=N1?k=0∑N?1?Hd?(k)WN?kn? n=0,1,2,...,N?1
將 h ( n ) 作 為 所 設 計 的 F I R 濾 波 器 的 單 位 脈 沖 響 應 ， 其 系 統 函 數 H ( z ) 為 : 將h(n)作為所設計的FIR濾波器的單位脈沖回應，其系統函式H(z)為: 將h(n)作為所設計的FIR濾波器的單位脈沖響應，其系統函數H(z)為: H ( z ) = ∑ n = 0 N ? 1 h ( n ) z ? n ( 該 式 適 合 F I R 直 接 型 網 絡 結 構 ) H(z)=\sum\limits_{n=0}^{N-1}h(n)z^{-n} \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ (該式適合FIR直接型網路結構) H(z)=n=0∑N?1?h(n)z?n (該式適合FIR直接型網絡結構)
根 據 頻 率 域 采 樣 理 論 ， 得 到 H ( z ) 的 內 插 表 示 形 式 ： 根據頻率域采樣理論，得到H(z)的內插表示形式： 根據頻率域采樣理論，得到H(z)的內插表示形式： H ( z ) = 1 N ∑ n = 0 N ? 1 ∑ k = 0 N ? 1 H d ( k ) W N ? k n z ? n = 1 N ∑ k = 0 N ? 1 H d ( k ) ∑ n = 0 N ? 1 W N ? k n z ? n = 1 N ∑ k = 0 N ? 1 H d ( k ) 1 ? W N ? k N z ? N 1 ? W N ? k z ? 1 = 1 ? z ? N N ∑ k = 0 N ? 1 H d ( k ) 1 ? W N ? k z ? 1 ( 該 式 適 合 頻 率 采 樣 結 構 ) \begin{aligned} H(z)&=\dfrac{1}{N}\sum\limits_{n=0}^{N-1}\sum\limits_{k=0}^{N-1}H_d(k)W_N^{-kn}z^{-n} \\ &=\dfrac{1}{N}\sum\limits_{k=0}^{N-1}H_d(k)\sum\limits_{n=0}^{N-1}W_N^{-kn}z^{-n} \\ &=\dfrac{1}{N}\sum\limits_{k=0}^{N-1}H_d(k)\dfrac{1-W_N^{-kN}z^{-N}}{1-W_N^{-k}z^{-1}} \\ &=\dfrac{1-z^{-N}}{N}\sum\limits_{k=0}^{N-1}\dfrac{H_d(k)}{1-W_N^{-k}z^{-1}} \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ (該式適合頻率采樣結構)\end{aligned} H(z)?=N1?n=0∑N?1?k=0∑N?1?Hd?(k)WN?kn?z?n=N1?k=0∑N?1?Hd?(k)n=0∑N?1?WN?kn?z?n=N1?k=0∑N?1?Hd?(k)1?WN?k?z?11?WN?kN?z?N?=N1?z?N?k=0∑N?1?1?WN?k?z?1Hd?(k)? (該式適合頻率采樣結構)?

(1) 求 h ( n ) 、 H ( e j w ) h(n)、H(e^{jw}) h(n)、H(ejw)的運算式

? h ( n ) = 1 N ∑ k = 0 N ? 1 H d ( k ) W N ? k n = 1 15 ( W 15 0 + 0.5 W 15 ? n + 0.5 W 15 ? 14 n ) h(n)=\dfrac{1}{N}\sum\limits_{k=0}^{N-1}H_d(k)W_N^{-kn}=\dfrac{1}{15}(W_{15}^{0}+0.5W_{15}^{-n}+0.5W_{15}^{-14n}) h(n)=N1?k=0∑N?1?Hd?(k)WN?kn?=151?(W150?+0.5W15?n?+0.5W15?14n?)

? = 1 15 [ 1 + 0.5 e j 2 π n 15 + 0.5 e j 28 π n 15 ] \ \ \ \ \ \ \ \ \ =\dfrac{1}{15}[1+0.5e^{\frac{j2\pi n}{15}}+0.5e^{\frac{j28\pi n}{15}}] =151?[1+0.5e15j2πn?+0.5e15j28πn?]

? = 1 15 [ 1 + 0.5 ( e j 2 π n 15 + e j ? 2 π n 15 ) ] \ \ \ \ \ \ \ \ \ =\dfrac{1}{15}[1+0.5(e^{\frac{j2\pi n}{15}}+e^{j\frac{-2\pi n}{15}})] =151?[1+0.5(e15j2πn?+ej15?2πn?)]

? = 1 + c o s ( 2 π n 15 ) 15 \ \ \ \ \ \ \ \ \ =\dfrac{1+cos(\frac{2\pi n}{15})}{15} =151+cos(152πn?)?

? H ( z ) = 1 ? z ? N N ∑ k = 0 N ? 1 H d ( k ) 1 ? W N ? k z ? 1 H(z)=\dfrac{1-z^{-N}}{N}\sum\limits_{k=0}^{N-1}\dfrac{H_d(k)}{1-W_N^{-k}z^{-1}} H(z)=N1?z?N?k=0∑N?1?1?WN?k?z?1Hd?(k)?

? H ( z ) = 1 ? z ? 15 15 ∑ k = 0 14 H d ( k ) 1 ? W 15 ? k z ? 1 H(z)=\dfrac{1-z^{-15}}{15}\sum\limits_{k=0}^{14}\dfrac{H_d(k)}{1-W_{15}^{-k}z^{-1}} H(z)=151?z?15?k=0∑14?1?W15?k?z?1Hd?(k)?

? = 1 ? z ? 15 15 ( 1 1 ? z ? 1 + 0.5 1 ? W 15 ? 1 z ? 1 + 0.5 1 ? W 15 ? 14 z ? 1 ) \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ =\dfrac{1-z^{-15}}{15}(\dfrac{1}{1-z^{-1}}+\dfrac{0.5}{1-W_{15}^{-1}z^{-1}}+\dfrac{0.5}{1-W_{15}^{-14}z^{-1}}) =151?z?15?(1?z?11?+1?W15?1?z?10.5?+1?W15?14?z?10.5?)

? = 1 ? z ? 15 15 [ 1 1 ? z ? 1 + 1 ? c o s ( 2 π 15 ) z ? 1 1 ? 2 c o s ( 2 π 15 ) z ? 1 + z ? 2 ] 其 中 c o s ( 2 π 15 ) = 0.9135 \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ =\dfrac{1-z^{-15}}{15}[\dfrac{1}{1-z^{-1}}+\dfrac{1-cos(\frac{2\pi}{15})z^{-1}}{1-2cos(\frac{2\pi}{15})z^{-1}+z^{-2}}] \ \ \ \ \ \ \ \ 其中cos(\frac{2\pi}{15})=0.9135 =151?z?15?[1?z?11?+1?2cos(152π?)z?1+z?21?cos(152π?)z?1?] 其中cos(152π?)=0.9135

? H ( z ) = 1 ? z ? 15 15 [ 1 1 ? z ? 1 + 1 ? 0.9315 z ? 1 1 ? 1.8271 z ? 1 + z ? 2 ] H(z)=\dfrac{1-z^{-15}}{15}[\dfrac{1}{1-z^{-1}}+\dfrac{1-0.9315z^{-1}}{1-1.8271z^{-1}+z^{-2}}] H(z)=151?z?15?[1?z?11?+1?1.8271z?1+z?21?0.9315z?1?]

? H ( e j w ) = H ( z ) ∣ z = e j w = 1 ? e ? j 15 w 15 [ 1 1 ? e ? j w + 1 ? 0.9315 e ? j w 1 ? 1.8271 e ? j w + e ? j 2 w ] H(e^{jw})=H(z)\bigg|_{z=e^{jw}}=\dfrac{1-e^{-j15w}}{15}[\dfrac{1}{1-e^{-jw}}+\dfrac{1-0.9315e^{-jw}}{1-1.8271e^{-jw}+e^{-j2w}}] H(ejw)=H(z)∣∣∣∣?z=ejw?=151?e?j15w?[1?e?jw1?+1?1.8271e?jw+e?j2w1?0.9315e?jw?]

(2) 用直接型及頻率采樣型兩種結構實作這一濾波器，畫出結構圖

• 直接型：

? H ( z ) = ∑ n = 0 N ? 1 h ( n ) z ? n = ∑ n = 0 14 1 + c o s ( 2 π n 15 ) 15 z ? n H(z)=\sum\limits_{n=0}^{N-1}h(n)z^{-n}=\sum\limits_{n=0}^{14}\dfrac{1+cos(\frac{2\pi n}{15})}{15}z^{-n} H(z)=n=0∑N?1?h(n)z?n=n=0∑14?151+cos(152πn?)?z?n

• n次冪系數如下：
  

? H ( z ) = ∑ n = 0 N ? 1 h ( n ) z ? n ≈ 0.1333 + 0.127 z ? 1 + 0.111 z ? 2 + 0.087 z ? 3 + 0.059 z ? 4 + 0.033 z ? 5 + 0.012 z ? 6 + 0.001 z ? 7 + 0.001 z ? 8 + 0.012 z ? 9 + 0.033 z ? 10 + 0.059 z ? 11 + 0.087 z ? 12 + 0.111 z ? 13 + 0.127 z ? 14 H(z)=\sum\limits_{n=0}^{N-1}h(n)z^{-n}\approx0.1333+0.127z^{-1}+0.111z^{-2}+0.087z^{-3}+0.059z^{-4}+0.033z^{-5}+0.012z^{-6} +0.001z^{-7}+0.001z^{-8}+0.012z^{-9}+0.033z^{-10}+0.059z^{-11}+0.087z^{-12}+0.111z^{-13}+0.127z^{-14} H(z)=n=0∑N?1?h(n)z?n≈0.1333+0.127z?1+0.111z?2+0.087z?3+0.059z?4+0.033z?5+0.012z?6+0.001z?7+0.001z?8+0.012z?9+0.033z?10+0.059z?11+0.087z?12+0.111z?13+0.127z?14

• 直接型結構圖：

• 頻率采樣型：

? H ( z ) = 1 ? z ? N N ∑ k = 0 N ? 1 H d ( k ) 1 ? W N ? k z ? 1 H(z)=\dfrac{1-z^{-N}}{N}\sum\limits_{k=0}^{N-1}\dfrac{H_d(k)}{1-W_N^{-k}z^{-1}} H(z)=N1?z?N?k=0∑N?1?1?WN?k?z?1Hd?(k)?

? H ( z ) = 1 ? z ? 15 15 ∑ k = 0 14 H d ( k ) 1 ? W 15 ? k z ? 1 H(z)=\dfrac{1-z^{-15}}{15}\sum\limits_{k=0}^{14}\dfrac{H_d(k)}{1-W_{15}^{-k}z^{-1}} H(z)=151?z?15?k=0∑14?1?W15?k?z?1Hd?(k)?

? = 1 ? z ? 15 15 ( 1 1 ? z ? 1 + 0.5 1 ? W 15 ? 1 z ? 1 + 0.5 1 ? W 15 ? 14 z ? 1 ) \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ =\dfrac{1-z^{-15}}{15}(\dfrac{1}{1-z^{-1}}+\dfrac{0.5}{1-W_{15}^{-1}z^{-1}}+\dfrac{0.5}{1-W_{15}^{-14}z^{-1}}) =151?z?15?(1?z?11?+1?W15?1?z?10.5?+1?W15?14?z?10.5?)

? = 1 ? z ? 15 15 [ 1 1 ? z ? 1 + 1 ? c o s ( 2 π 15 ) z ? 1 1 ? 2 c o s ( 2 π 15 ) z ? 1 + z ? 2 ] 其 中 c o s ( 2 π 15 ) = 0.9135 \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ =\dfrac{1-z^{-15}}{15}[\dfrac{1}{1-z^{-1}}+\dfrac{1-cos(\frac{2\pi}{15})z^{-1}}{1-2cos(\frac{2\pi}{15})z^{-1}+z^{-2}}] \ \ \ \ \ \ \ \ 其中cos(\frac{2\pi}{15})=0.9135 =151?z?15?[1?z?11?+1?2cos(152π?)z?1+z?21?cos(152π?)z?1?] 其中cos(152π?)=0.9135

? H ( z ) = 1 ? z ? 15 15 [ 1 1 ? z ? 1 + 1 ? 0.9315 z ? 1 1 ? 1.8271 z ? 1 + z ? 2 ] H(z)=\dfrac{1-z^{-15}}{15}[\dfrac{1}{1-z^{-1}}+\dfrac{1-0.9315z^{-1}}{1-1.8271z^{-1}+z^{-2}}] H(z)=151?z?15?[1?z?11?+1?1.8271z?1+z?21?0.9315z?1?]

• 頻率采樣型結構圖：

(3) 比較兩種結構用的乘法器與加法器數目

• 直接型結構：
  乘法器個數：15個，加法器個數：14個

• 頻率采樣結構：
  乘法器個數：7個，加法器個數：6個

7-8 用窗函式法設計FIR線性相位數字低通濾波器LPF，已知： w c = 0.5 π ， N = 21 w_c=0.5\pi，N=21 wc?=0.5π，N=21，求 h ( n ) , H ( e j w ) h(n),H(e^{jw}) h(n),H(ejw)并畫出圖形，

? H d ( e j w ) = { e ? j w α ∣ w ∣ ? w c 0 其 它 H_d(e^{jw})=\begin{cases} e^{-jw\alpha} & |w|\leqslant w_c \\ 0 &其它\end{cases} Hd?(ejw)={e?jwα0?∣w∣?wc?其它?

? α = N ? 1 2 \alpha=\dfrac{N-1}{2} α=2N?1?

? h d ( n ) = 1 2 π ∫ ? π π H d ( e j w ) e j w n d w h_d(n)=\dfrac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}H_d(e^{jw})e^{jwn}dw hd?(n)=2π1?∫?ππ?Hd?(ejw)ejwndw

? = 1 2 π ∫ ? w c w c e j w ( n ? α ) d w \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ =\dfrac{1}{2\pi}\int_{-w_c}^{w_c}e^{jw(n-\alpha)}dw =2π1?∫?wc?wc??ejw(n?α)dw

? = s i n [ w c ( n ? α ) ] π ( n ? α ) \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ =\dfrac{sin[w_c(n-\alpha)]}{\pi(n-\alpha)} =π(n?α)sin[wc?(n?α)]?

? h ( n ) = h d ( n ) R N ( n ) h(n)=h_d(n)R_N(n) h(n)=hd?(n)RN?(n)

? = s i n [ w c ( n ? N ? 1 2 ) ] π ( n ? N ? 1 2 ) ? R N ( n ) \ \ \ \ \ \ \ \ \ =\dfrac{sin[w_c(n-\frac{N-1}{2})]}{\pi(n-\frac{N-1}{2})}\cdot R_N(n) =π(n?2N?1?)sin[wc?(n?2N?1?)]??RN?(n)

? = s i n [ 0.5 π ( n ? 10 ) ] π ( n ? 10 ) ? R 21 ( n ) \ \ \ \ \ \ \ \ \ =\dfrac{sin[0.5\pi(n-10)]}{\pi(n-10)}\cdot R_{21}(n) =π(n?10)sin[0.5π(n?10)]??R21?(n)

? H ( e j w ) = ∑ n = 0 N ? 1 h ( n ) e ? j w n = ∑ n = 0 20 s i n [ 0.5 π ( n ? 10 ) ] π ( n ? 10 ) e ? j w n = ∑ n = 0 20 0.5 s i n c [ 0.5 ( n ? 10 ) ] e ? j w n H(e^{jw})=\sum\limits_{n=0}^{N-1}h(n)e^{-jwn}=\sum\limits_{n=0}^{20}\dfrac{sin[0.5\pi(n-10)]}{\pi(n-10)}e^{-jwn}=\sum\limits_{n=0}^{20}0.5sinc[0.5(n-10)]e^{-jwn} H(ejw)=n=0∑N?1?h(n)e?jwn=n=0∑20?π(n?10)sin[0.5π(n?10)]?e?jwn=n=0∑20?0.5sinc[0.5(n?10)]e?jwn

• 幅頻特性圖：

• Matlab代碼塊：

B=zeros(1,21);
A=1;
for n=1:21
   B(n)=0.5*sinc(0.5*((n-1)-10));    
end

figure;
subplot(2,1,1);
stem(0:20,B,'r.');
xlabel('n');ylabel('h(n)');grid on;title('h(n)');
[H,w]=freqz(B,A,'whole');
subplot(2,1,2);
plot(w/pi,abs(H));
xlabel('\omega/\pi');ylabel('|H(e^j^\omega)|');grid on;title('幅頻特性');

實驗題：50Hz,1KHz兩路1：1混合信號，設計濾波器

(1) IIR濾波器，低通獲得50Hz，1KHz衰減>100倍

題意解讀：
衰 減 倍 數 與 d B 的 關 系 ： 20 l g ( V o V i ) 衰減倍數與dB的關系：20lg(\frac{V_o}{V_i}) 衰減倍數與dB的關系：20lg(Vi?Vo??)
所 以 此 題 衰 減 大 于 100 倍 ， 即 20 l g ( 1 100 ) = ? 40 d B 所以此題衰減大于100倍，即20lg(\frac{1}{100})=-40dB 所以此題衰減大于100倍，即20lg(1001?)=?40dB
設 輸 入 信 號 ： s ( t ) = s i n ( 2 π f 1 t ) + s i n ( 2 π f 2 t ) f 1 = 50 H z ， f 2 = 1000 H z ， F s = 4000 H z 設輸入信號：s(t)=sin(2\pi f_1t)+sin(2\pi f_2t) \ \ \ \ \ f_1=50Hz，f_2=1000Hz，F_s=4000Hz 設輸入信號：s(t)=sin(2πf1?t)+sin(2πf2?t) f1?=50Hz，f2?=1000Hz，Fs?=4000Hz

I I R 模 擬 巴 特 沃 茲 低 通 濾 波 器 : 通 帶 截 止 頻 率 50 H z ， 阻 帶 截 止 頻 率 100 H z ， 通 帶 波 紋 最 大 衰 減 為 1 d B 阻 帶 衰 減 為 40 d B IIR模擬巴特沃茲低通濾波器:通帶截止頻率50Hz ，阻帶截止頻率100Hz ，通帶波紋最大衰減為1dB 阻帶衰減為40dB IIR模擬巴特沃茲低通濾波器:通帶截止頻率50Hz，阻帶截止頻率100Hz，通帶波紋最大衰減為1dB阻帶衰減為40dB

• Matlab代碼塊：原始信號及FFT譜分析

clc;
clear;
close all;

Fs=4000; % 采樣頻率4000Hz  
t=0:1/Fs:1;  
s50=sin(2*pi*50*t); % 產生50Hz正弦波  
s1000=sin(2*pi*1000*t); % 產生1000Hz正弦波  
s=s50+s1000; % 混合信號：信號疊加
  
figure; % 畫圖  
subplot(2,1,1);plot(s);grid on;  
axis([0 1000 -2 2]);
title('原始信號50Hz和1000Hz正弦波混合');  


% -----------------FFT分析信號頻譜----------------------  
len = 1024;    
y=fft(s,len);  % 對原始輸入信號做len點FFT變換  
f=Fs*(0:len/2 - 1)/len;  
  
subplot(2,1,2);plot(f,abs(y(1:len/2)));grid on;  
title('原始信號頻譜')  
xlabel('Hz');ylabel('幅值');  

• 運行結果：

• IIR模擬巴特沃茲低通濾波器設計：

% ------------------------IIR模擬低通濾波器設計---------------------------  
N=0; % 階數  
Fp=200; % 通帶截止頻率50Hz  
Fc=1000; % 阻帶截止頻率100Hz  
Rp=1; % 通帶波紋最大衰減為1dB  
Rs=40; % 阻帶衰減為40dB    20lg(1/100)=40dB   
%-----------------------計算最小濾波器階數-----------------------------  
na=sqrt(10^(0.1*Rp)-1);  
ea=sqrt(10^(0.1*Rs)-1);  
N=ceil(log10(ea/na)/log10(Fc/Fp));     
%----------------------巴特沃茲低通濾波器------------------------------  
Wn=Fp*2/Fs;  
[Bb Ba]=butter(N,Wn,'low'); % 呼叫MATLAB butter函式快速設計濾波器  
[BH,BW]=freqz(Bb,Ba); % 繪制頻率回應曲線

figure;
A1 = BW*Fs/(2*pi);
plot(A1,abs(BH));
grid on;xlabel('頻率／Hz'); ylabel('頻率回應幅度'); 
title('巴特沃茲低通濾波器');

• 運行結果：

• 對原始信號進行低通濾波輸出并分析頻譜：

Bf=filter(Bb,Ba,s); % 進行低通濾波  
By=fft(Bf,len);  % 對濾波輸出信號做len點FFT變換  

figure; % 畫圖  
subplot(2,1,1);plot(t*Fs,s50,'blue',t*Fs,Bf,'red');grid on;  
axis([0 1000 -1 1]);title('巴特沃茲低通濾波輸出');
legend('50Hz正弦波信號','巴特沃斯濾波器濾波后');  
subplot(2,1,2);plot(f,abs(By(1:len/2)));grid on;  
title('巴特沃斯低通濾波后信號頻譜');  
xlabel('Hz');ylabel('幅值');  

• 運行結果：

(2）FIR濾波器，高通獲得1kHz，50Hz衰減>100倍

F I R 數 字 高 通 濾 波 器 ， 由 于 阻 帶 衰 減 大 于 40 d B ， 因 此 選 擇 漢 寧 窗 FIR數字高通濾波器，由于阻帶衰減大于40dB，因此選擇漢寧窗 FIR數字高通濾波器，由于阻帶衰減大于40dB，因此選擇漢寧窗
通 帶 截 止 頻 率 w p = 2 π f 2 / F s 通帶截止頻率w_p=2\pi f_2/F_s 通帶截止頻率wp?=2πf2?/Fs?
阻 帶 截 止 頻 率 w s = 2 π f 1 / F s ， 由 于 該 處 w s < π 4 ， 故 選 擇 w s = π 4 阻帶截止頻率w_s=2\pi f_1/F_s，由于該處w_s<\dfrac{\pi}{4}，故選擇w_s=\dfrac{\pi}{4} 阻帶截止頻率ws?=2πf1?/Fs?，由于該處ws?<4

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