關于原神抽獎概率的簡要分析

序言

最近迷上了原神這款游戲，趁著保研完，肝了兩個星期，也氪了一些金，先不談這款游戲可玩性有多高，但論氪金強度算是我從小到大玩的游戲中，能排得上第一的了，

對于這種寸卡寸金的游戲，如何在無窮無盡的抽卡活動中，做到理性抽卡，無疑需要嚴謹的數學分析，才能了解大概氪多少金才能滿足自己的預期，本文將對此做出一定的解答，

同時，本文對于網上一直所傳的氪不改命，玄不救非之說，也將進行一定的抨擊，

假設陳述

• 原神抽獎卡池，在非保底的情況下，抽到五星的概率為基礎概率，即0.6%

符號說明

目標變數

P ( s u c c e s s ) P(success) P(success)

求解方法

• 法一：
  
  運用全概率公式，寫出方程組，直接進行求解，
  
  { P ( b o t t o m ) P ( s u c c e s s ∥ b o t t o m ) + P ( b o t t o m ￣ ) P ( s u c c e s s ∥ b o t t o m ￣ ) = P ( s u c c e s s ) P ( s u c c e s s ) ( 1 ? P ( b a s e ) ) n ? 1 = P ( b o t t o m ) \left\{\begin{matrix} P(bottom)P(success\|bottom)+P(\overline{bottom})P(success\|\overline{bottom})=P(success) \\ P(success)(1-P(base))^{n-1}=P(bottom) \end{matrix}\right. {P(bottom)P(success∥bottom)+P(bottom)P(success∥bottom)=P(success)P(success)(1?P(base))n?1=P(bottom)?
  
  代入，得：
  
  { P ( b o t t o m ) + 0.006 ( 1 ? P ( b o t t o m ) ) = P ( s u c c e s s ) P ( s u c c e s s ) ( 1 ? 0.006 ) 89 = P ( b o t t o m ) \left\{\begin{matrix} P(bottom)+0.006(1-P(bottom))=P(success) \\ P(success)(1-0.006)^{89}=P(bottom) \end{matrix}\right. {P(bottom)+0.006(1?P(bottom))=P(success)P(success)(1?0.006)89=P(bottom)?
  
  求解，得：
  
  P ( s u c c e s s ) = 0.01435 ± 0.000005 P(success)=0.01435\pm0.000005 P(success)=0.01435±0.000005

• 法二：
  
  通過間接求解，在平均概率下進行獨立重復試驗中第一次抽到五星的次數的期望，進行求解，
  
  E [ X ] = ∑ i = 1 n ? 1 i ? P ( b a s e ) ( 1 ? P ( b a s e ) ) i ? 1 + n ? ( 1 ? ∑ i = 1 n ? 1 P ( b a s e ) ( 1 ? P ( b a s e ) ) i ? 1 ) = ∑ i = 1 89 i ? 0.006 ( 1 ? 0.006 ) 89 + 90 ? ( 1 ? ∑ i = 1 89 0.006 ( 1 ? 0.006 ) 89 ) ≈ 69.6998 E[X]=\sum_{i=1}^{n-1}i*P(base)(1-P(base))^{i-1}+n*(1-\sum_{i=1}^{n-1}P(base)(1-P(base))^{i-1}) \\ \quad \\ =\sum_{i=1}^{89}i*0.006(1-0.006)^{89}+90*(1-\sum_{i=1}^{89}0.006(1-0.006)^{89}) \\ \quad \\ \approx69.6998 E[X]=∑i=1n?1?i?P(base)(1?P(base))i?1+n?(1?∑i=1n?1?P(base)(1?P(base))i?1)=∑i=189?i?0.006(1?0.006)89+90?(1?∑i=189?0.006(1?0.006)89)≈69.6998
  
  P ( s u c c e s s ) = 1 E [ X ] P(success)=\frac{1}{E[X]} P(success)=E[X]1?(這個等式，概率論那本書上好像沒有，不過我自己私下里證明過了，感興趣的同學可以自行證明)
  
  那么，可以得到與法一相同的結果，證明了結果的正確性，

結論

可以看到的是我們得出的平均概率1.435%是略小于官方給出的平均概率1.6%的，
很顯然，這說明，即使在未保底的情況下，我們抽中五星的概率可能并非是基礎概率0.6%，
結合這幾天，我看的PDD抽獎的視頻，我發現確實在一些之前很非的情況下，后面抽到五星的頻率顯著變高，
當然，我并不清楚原神抽獎內部究竟是怎樣的機制，不過或許可以借助這一點，再結合一些大佬的分析，在五十抽向后的概率或許確實有一定的提升，所以大家注意好這點，抽雙黃吧！

當然，這也僅僅是概率的提高，可能樣本量少一點的話，在實際抽獎中，根本感覺不到那種概率的提升，所以，也僅供大家參考，同時，大家也要考慮一下自己的經濟水平究竟如何，有多大經濟水平，有多大期望，

這里我用python做了一個小實驗，用直方圖展示10000個玩家，在我上述假設的那種情況下抽獎2000次，抽到五星的次數，并與無保底的轉換平均概率（0.01435）進行了比較，

# -*- coding: utf-8 -*-

import matplotlib.pyplot as plt
import random
import numpy as np
from pylab import mpl
mpl.rcParams['font.sans-serif'] = ['SimHei']

random.seed(0)
data1=[]
data2=[]
n=10000
epoches=2000
prob=0.006
prob_trans=0.01435

for i in range(n):
    curcnt=0
    counter=0
    for epoch in range(epoches):
        rand=random.random()
        counter+=1
        if rand<prob:
            curcnt+=1
            counter=0
        if counter==90:
            curcnt+=1
            counter=0
    data1.append(curcnt)
    
plt.subplot(121)
plt.hist(data1,bins=np.linspace(10,50,20),density=False)
plt.xlim(10,50)
plt.ylim(0,4000)
plt.title('90次保底情況')

for i in range(n):
    curcnt=0
    for epoch in range(epoches):
        rand=random.random()
        if rand<prob_trans:
            curcnt+=1
    data2.append(curcnt)

plt.subplot(122)
plt.hist(data2,bins=np.linspace(10,50,20),density=False)
plt.xlim(10,50)
plt.ylim(0,4000)
plt.title('無90次保底情況(基礎概率已經過轉換)')
plt.show()

從左圖中，大家可以估計一下，自己抽多少次，能拿到多少五星，

同時，通過上圖的對比，可以看出，在原神抽獎的機制下，并不會出現，特別非酋，或者特別歐皇的情況，最非酋和最歐皇的，也就是一倍之差，所以，大家也不要相信網上那些一個十抽多少黃的視頻了，肯定是P的，

即使出了雙黃的兄弟，之前也是大概率流下過非酋的眼淚，

所以，這個游戲，沒有絕對的非酋，也沒有絕對的歐皇，合理估計自己能拿到的五星，不要有非分之想，方為正途！