浮點加減運算中關于結果規格化的思考

對于兩個浮點數x和y滿足：

完成x與y的加減法有四個步驟：

1. 0運算元檢查，即檢查是否有一個運算元為0，是的話直接得到結果，一般在計算機中不進行這一步，
2. 比較階碼大小并完成對階，要讓兩個浮點數的尾數能夠直接相加減，它們的階碼也就是 M x 和 M y M_{x}和M_{y} Mx?和My?必須相同，因此必須完成對階，一般是讓小階向大階看齊，
3. 尾數進行加減運算，方法與定點加減運算完全一致，沒有什么好說的，
4. 結果規格化，這一步是重點，也是難點，
   要想知道怎么規格化，肯定得知道什么才是規范的表達方式，浮點數都是近似表示的，精度由尾數決定，數的表示范圍大小由R、E決定，為了提高精度需要使尾數的有效位數盡可能占滿可用的位數，這種措施稱為浮點數的規格化，規格化要求尾數：
   ??????????1/R<=|M|<1，
   計算機中R = 2，因此實際上我們計算出來得到的尾數必須屬于[0.5, 1)，

在浮點數加減運算時，我們采用雙符號位，因此，當計算結果為01.XXXX或者10.XXXX時，表示結果溢位，已經大于1了，因此需要規格化，
下面舉個具體的例子：
m = 2 2 X 0.11011011 ， n = 2 4 X ( ? 0.10101100 ) m = 2^{2}X0.11011011，n = 2^{4}X(-0.10101100) m=22X0.11011011，n=24X(?0.10101100)，求m+n，
逐步分析：

• 0運算元檢查，m和n都不為0，
• 對階，小階2向大階4對齊，所以m的階數加2，相應地，m的尾數右移（小數點左移，尾數變小）兩位： m = 2 4 X 0.00110110 ( 11 ) m = 2^{4}X0.00110110(11) m=24X0.00110110(11)，而n保持不變，
• 由于要進行補碼運算，所以將m和n的尾數變成補碼表示(雙符號位)：
  m = 2 4 X 00.00110110 ( 11 ) ， n = 2 4 X 11.01010100 m = 2^{4}X00.00110110(11)，n = 2^{4}X11.01010100 m=24X00.00110110(11)，n=24X11.01010100，其中11.01010100=11.01010011+1（取反再加1），接下來將尾數相加：
  
  可以看到并未溢位，但是并不一定滿足大于0.5， 我們將其轉成原碼很容易發現第一位為0，也就是說是小于0.5的，必須規格化，由此我們總結出要規格化的幾種情形：
• 若尾數為00.0XXX或者11.1XXX，雖然并未溢位，但是并不滿足大于0.5，因此也必須要規格化，由于尾數要變大，階碼變小，即尾數左移（小數點右移），稱之為向左規格化，使之最終變成00.1XXXX或者11.0XXXX，
• 若尾數為10.XXXX或者01.XXXX表明運算結果溢位，必須使尾數變小，階碼變大，尾數右移（小數點左移），稱之為向右規格化，
• 針對例子中的情況，需要進行向左規格化，最終變成：
  ???? m + n = 11.00010101 ( 10 ) X 2 3 m + n = 11.00010101(10)X2^{3} m+n=11.00010101(10)X23
• 將尾數進行舍入處理，最后為10直接加1，變成11.00010110，所以換成原碼的尾數為00.11101010，即最終有：
  ???? m + n = 0.11101010 X 2 011 m + n = 0.11101010X2^{011} m+n=0.11101010X2011，