機械振動

• x ′ ′ + ω 2 x 0 = 0 x''+\omega^2x0=0 x′′+ω2x0=0
• ω = k m \omega=\sqrt{\frac{k}{m}} ω=mk? ?
• A = x 0 2 + v 0 2 ω 2 A=\sqrt{x_0^2+\frac{v_0^2}{\omega^2}} A=x02?+ω2v02?? ?
• φ = arctan ? ( ? v 0 x 0 ω ) \varphi=\arctan(-\frac{v_0}{x_0\omega}) φ=arctan(?x0?ωv0??)
• E k = 1 2 ( m ′ ) 2 E_k=\frac{1}{2}(m')^2 Ek?=21?(m′)2
• E p = 1 2 k x 2 E_p=\frac{1}{2}kx^2 Ep?=21?kx2
• E = E k + E p = 1 2 k A 2 E=E_k+E_p=\frac{1}{2}kA^2 E=Ek?+Ep?=21?kA2
• 一個周期內平均勢能與動能: 1 4 A 2 \frac{1}{4}A^2 41?A2
• 諧振動合成: A = A 1 2 + A 2 2 + 2 A 1 A 2 cos ? ( φ 2 ? φ 1 ) A=\sqrt{A_1^2+A_2^2+2A_1A_2\cos(\varphi_2-\varphi_1)} A=A12?+A22?+2A1?A2?cos(φ2??φ1?) ?

機械波

• k = 2 π λ k=\frac{2\pi}{\lambda} k=λ2π?
• E = ρ Δ V A 2 ω 2 cos ? 2 ( ω t ? k x ) E=ρ\Delta VA^2\omega^2\cos^2(\omega t-kx) E=ρΔVA2ω2cos2(ωt?kx)
• w ˉ = 1 2 ρ A 2 ω 2 \bar w=\frac{1}{2}\rho A^2\omega^2 wˉ=21?ρA2ω2
• I = w ˉ u I=\bar wu I=wˉu
• 波的干涉: A 2 = A 1 2 + A 2 2 + 2 A 1 A 2 cos ? Δ φ Δ φ = ( φ 1 ? φ 2 ) ? 2 π r 2 ? r 1 λ A^2=A_1^2+A_2^2+2A_1A_2\cos\Delta \varphi\\ \Delta\varphi=(\varphi_1-\varphi_2)-2\pi\frac{r_2-r_1}{\lambda} A2=A12?+A22?+2A1?A2?cosΔφΔφ=(φ1??φ2?)?2πλr2??r1??
• 駐波: 振動方向相同, 振幅相同, 頻率相同, 沿相反方向傳播的同類波相干疊加形成駐波
  x = ( 2 k + 1 ) λ 4 時 為 波 節 , 這 些 點 保 持 靜 止 x = k λ 2 時 為 波 腹 , 幅 度 最 大 x=(2k+1)\frac{\lambda}{4}時為波節, 這些點保持靜止\\ x=k\frac{\lambda}{2}時為波腹, 幅度最大 x=(2k+1)4λ?時為波節,這些點保持靜止x=k2λ?時為波腹,幅度最大
• 繩的波速 u = F μ u=\sqrt{\frac{F}{\mu}} u=μF? ?

波動光學

• 光波的疊加:
  1. 兩光波在空間一點p疊加的合光強: I p = I 1 + I 2 + 2 < E 1 ? E 2 > I_p=I_1+I_2+2<E_1\cdot E_2> Ip?=I1?+I2?+2<E1??E2?>, 其中 I 1 , I 2 I_1,I_2 I1?,I2?為兩光波獨立存在時的光強, E 1 , E 2 E_1,E_2 E1?,E2?為兩光波的光矢量.
  2. 相干疊加: I = I 1 + I 2 + 2 I 1 I 2 cos ? Δ φ , Δ φ I=I_1+I_2+2\sqrt{I_1}\sqrt{I_2}\cos\Delta \varphi,\ \Delta \varphi I=I1?+I2?+2I1? ?I2? ?cosΔφ, Δφ為兩光波在p的相位差.
  3. 非相干疊加: I = I 1 + I 2 I=I_1+I_2 I=I1?+I2?
• 楊氏雙縫干涉: δ = x d D \delta=\frac{xd}{D} δ=Dxd?
  當 δ = 2 k ? λ 2 \delta=2k\cdot \frac{\lambda}{2} δ=2k?2λ?(正負)時, 干涉加強
  當 δ = ( 2 k + 1 ) ? λ 2 \delta=(2k+1)\cdot \frac{\lambda}{2} δ=(2k+1)?2λ?(正負)
  Δ x = D λ d \Delta x=\frac{D\lambda}{d} Δx=dDλ?
  Δ φ = 2 π δ λ \Delta\varphi=\frac{2\pi \delta}{\lambda} Δφ=λ2πδ?
  I = I 1 + I 2 + I 1 I 2 cos ? ( Δ φ ) I=I_1+I_2+\sqrt{I_1I_2}\cos(\Delta\varphi) I=I1?+I2?+I1?I2? ?cos(Δφ)
• 光程與光程差:
  在折射率為n的介質中, 光速 u = c / n u=c/n u=c/n,則有
  x = c t = c r u = n r x=ct=\frac{cr}{u}=nr x=ct=ucr?=nr
  x為在相同時間內光在真空中傳播的路程, 稱為光程. 光程差定義為
  n 2 r 2 ? n 1 r 1 n_2r_2-n_1r_1 n2?r2??n1?r1?
  相位差可表示為
  Δ φ = 2 π λ 0 ( n 2 r 2 ? n 1 r 1 ) \Delta \varphi = \frac{2\pi}{\lambda_0}(n_2r_2-n_1r_1) Δφ=λ0?2π?(n2?r2??n1?r1?)
• 分振幅干涉: δ = 2 d n 2 2 ? n 1 2 sin ? 2 i + λ 2 \delta=2d\sqrt{n_2^2-n_1^2\sin^2i}+\frac{\lambda}{2} δ=2dn22??n12?sin2i ?+2λ?
• 劈尖干涉: 垂直入射時, i, γ都為0, 等厚干涉條件變為 δ = 2 n 2 d + λ 2 = k λ 或 ( 2 k + 1 ) ? λ 2 \delta=2n_2d+\frac{\lambda}{2}=k\lambda或(2k+1)\cdot\frac{\lambda}{2} δ=2n2?d+2λ?=kλ或(2k+1)?2λ?
  d對應一定的空氣層厚度, Δ d = d k + 1 ? d k = λ 2 n 2 \Delta d=d_{k+1}-d_k=\frac{\lambda}{2n_2} Δd=dk+1??dk?=2n2?λ?
  明紋間距為 Δ x = λ 2 θ n 2 \Delta x=\frac{\lambda}{2\theta n_2} Δx=2θn2?λ?
• 牛頓環: d = r 2 2 R d=\frac{r^2}{2R} d=2Rr2?
  明紋條件: 2 r 2 2 R + λ 2 = 2 k λ 2 2\frac{r^2}{2R}+\frac{\lambda}{2}=2k\frac{\lambda}{2} 22Rr2?+2λ?=2k2λ?
  暗紋條件: 2 r 2 2 R + λ 2 = ( 2 k + 1 ) λ 2 2\frac{r^2}{2R}+\frac{\lambda}{2}=(2k+1)\frac{\lambda}{2} 22Rr2?+2λ?=(2k+1)2λ?
  r = ( 2 k ? 1 ) ? R λ 2 明 紋 r = k λ R 暗 紋 r=\sqrt{(2k-1)\cdot\frac{R\lambda}{2}}明紋\\r=\sqrt{k\lambda R}暗紋 r=(2k?1)?2Rλ? ?明紋r=kλR ?暗紋
  r k + N 2 ? r k 2 = N R λ r_{k+N}^2-r_k^2=NR\lambda rk+N2??rk2?=NRλ
  R = r k + N 2 ? r k 2 N λ R=\frac{r_{k+N}^2-r_k^2}{N\lambda} R=Nλrk+N2??rk2??
  R為曲率半徑
• 邁克爾遜干涉儀: Δ d = N λ 2 \Delta d=N\frac{\lambda}{2} Δd=N2λ?
• 單縫夫瑯禾費衍射:
  N λ 2 = a sin ? φ N\frac{\lambda}{2}=a\sin\varphi N2λ?=asinφ
  暗 紋 : a sin ? θ = k λ ( 正 負 ) 明 紋 : a sin ? θ = ( 2 k + 1 ) λ 2 ( 正 負 ) 暗紋:a\sin\theta = k\lambda(正負)\\ 明紋: a\sin\theta=(2k+1)\frac{\lambda}{2}(正負) 暗紋:asinθ=kλ(正負)明紋:asinθ=(2k+1)2λ?(正負)
  光強: I = I 0 sin ? 2 ( π a λ sin ? θ ) π a λ sin ? θ I=I_0\frac{\sin^2(\frac{\pi a}{\lambda}\sin\theta)}{\frac{\pi a}{\lambda}\sin\theta} I=I0?λπa?sinθsin2(λπa?sinθ)?
• 光學儀器全部: φ m = 1.22 λ D \varphi _m=1.22\frac{\lambda}{D} φm?=1.22Dλ?
  R = 1 Δ φ R=\frac{1}{\Delta\varphi} R=Δφ1?
• 衍射光柵, 光柵光譜
  產生主極大的條件: ( a + b ) sin ? φ = k λ ( 正 負 ) (a+b)\sin\varphi=k\lambda(正負) (a+b)sinφ=kλ(正負)
  k < a + b λ k<\frac{a+b}{\lambda} k<λa+b?
  暗紋公式:
  ( a + b ) sin ? φ = m λ N ( 正 負 ) , m = 1 , 2 , . . . N ? 1 , N + 1 , N + 2...2 N ? 1 , 2 N + 1... (a+b)\sin\varphi=\frac{m\lambda}{N}(正負), m=1,2,...N-1,N+1,N+2...2N-1,2N+1... (a+b)sinφ=Nmλ?(正負),m=1,2,...N?1,N+1,N+2...2N?1,2N+1...
  缺級公式:
  ( a + b ) sin ? φ = k λ (a+b)\sin\varphi=k\lambda (a+b)sinφ=kλ
  a sin ? φ = k ′ λ a\sin\varphi =k'\lambda asinφ=k′λ
  k = k ′ a + b a k=k'\frac{a+b}{a} k=k′aa+b?
  光柵衍射光強公式
  I = I m ( sin ? α α ) 2 ( sin ? N δ 2 sin ? δ 2 ) 2 I=I_m(\frac{\sin\alpha}{\alpha})^2(\frac{\sin\frac{N\delta}{2}}{\sin\frac{\delta}{2}})^2 I=Im?(αsinα?)2(sin2δ?sin2Nδ??)2
• X射線在晶體上的衍射
  布拉格公式: 2 d sin ? φ = k λ 2d\sin\varphi=k\lambda 2dsinφ=kλ
• 馬呂斯定律: I = I 0 cos ? 2 α I=I_0\cos^2\alpha I=I0?cos2α
• 布儒斯特定律: 當入射角i與折射角γ之和等于90度, 即反射與折射光垂直時, 反射光成為與光震動方向與入射面垂直的線偏振光.
  sin ? i B = n 2 n 1 sin ? γ = n 2 n 1 cos ? i B \sin i_B=\frac{n_2}{n_1}\sin γ=\frac{n_2}{n_1}\cos i_B siniB?=n1?n2??sinγ=n1?n2??cosiB?
• 波鏡片: o光和e光通過波晶片后的光程差和相位差分別為 Δ L = ( n o ? n e ) d δ = 2 π λ ( n o ? n e ) d \Delta L=(n_o-n_e)d\\\delta=\frac{2\pi}{\lambda}(n_o-n_e)d ΔL=(no??ne?)dδ=λ2π?(no??ne?)d