1. 引言

丈夫和妻子在家玩拋硬幣游戲，假設每次妻子選正面，丈夫選反面，妻子制定規則如下：每一輪開始時籌碼為 1 元錢，如果第一局為正面，則本輪結束，妻子贏 1 元錢，否則籌碼加為 2 元錢，如果妻子贏，本輪結束，她還是賺 1 元錢，否則籌碼加為 4 元錢，以此類推，問：

1. 這個賭局是否公平？
2. 妻子可以通過這種方式把丈夫的錢贏光嗎？
   說明：這個問題是我若干年前自己想出來的，若有雷同，純屬巧合！

2. 問題建模

分析該問題涉及的幾個因素：

1. 妻子、丈夫的初始個人資產，假設它們均為正整數，也可以考慮為無窮的情況，
2. 終止條件，與賭局數量緊密相關，可以用某方錢輸光為終止條件，在此基礎上進一步考慮賭局數量固定，還可以僅考慮不超過一輪，
3. 籌碼設定策略，可以考慮固定籌碼、加倍籌碼、按條件改變籌碼等策略， 引言中所提到是按條件改變籌碼的一種特例，
4. 硬幣正面概率，可以固定為 0.5，也可以考慮其它常數，
   為便于后面對情況的描述，對各個因素建立相應的符號系統，

2.1 資產建模

記妻子資產為 m m m, 如果為無窮，則記為 m → ∞ m \rightarrow \infty m→∞. 丈夫資產為 n n n, 同理可為無窮. 記妻子資產的變化量為 Δ m \Delta m Δm, 其期望值為 Δ m ￣ \overline{\Delta m} Δm, 方差為 σ \sigma σ .
簡便起見，資產均省略其單位，即元，

2.2 終止條件

如果妻子輸光，則記為 t = W t = W t=W; 如果丈夫輸光，則記為 t = H t = H t=H; 如果達到總局數上限 G G G, 則記為 t = G t = G t=G. 輪數記為 r r r.

2.3 籌碼設定策略

不失一般性，固定籌碼記為 v ≡ 1 v \equiv 1 v≡1; 每次加倍籌碼記為 v = k i v = k^i v=ki, 默認情況下 k = 2 k = 2 k=2; 對于按加倍籌碼策略，可以認為在每一輪退化為加倍籌碼策略，

2.4 單局勝率設定

硬幣正面概率記為 p p p, 則反面概率為 ( 1 ? p ) (1 - p) (1?p). 默認情況為 p = 0.5 p = 0.5 p=0.5.

3. 不同設定下的問題分析

本節基于不同設定，分析相應的問題，為簡便起見，均站在妻子的角度討論輸贏，

3.1 雙方資產無限、局數有限、不超過1輪

性質1: 當 m , n → ∞ m, n \rightarrow \infty m,n→∞, t ≤ G t \leq G t≤G, v = k i v = k^i v=ki, k = 2 k = 2 k=2, p = 0.5 p = 0.5 p=0.5, r ≤ 1 r \leq 1 r≤1時, Δ m ￣ = 0 \overline{\Delta m} = 0 Δm=0.
證明: 由于 r ≤ 1 r \leq 1 r≤1，只需要贏1局即結束；又由于 t ≤ G t \leq G t≤G，連續輸 G G G 局也需要結束.
情況1: 連續輸 i i i 局之后，贏1局結束，其中 0 ≤ i ≤ G ? 1 0 \leq i \leq G - 1 0≤i≤G?1，其概率為
( 1 ? p ) i p , (1) (1-p)^i p, \tag{1} (1?p)ip,(1)
收益為 1.
情況2: 連續輸 G G G 次結束，其概率為
( 1 ? p ) G , (2) (1 - p)^G, \tag{2} (1?p)G,(2)
損失為
k 0 + ? + k G ? 1 = k G ? 1. (3) k^0 + \dots + k^{G - 1} = k^G - 1 \tag{3}. k0+?+kG?1=kG?1.(3)
由于損失為負收益，綜合情況 1 和 2 , 期望收益為:
Δ m ￣ = ? ( 1 ? p ) G ( k G ? 1 ) + ∑ i = 0 G ? 1 ( 1 ? p ) i p . (4) \overline{\Delta m} = - (1 - p)^G (k^G - 1) + \sum_{i = 0}^{G - 1} (1-p)^i p. \tag{4} Δm=?(1?p)G(kG?1)+i=0∑G?1?(1?p)ip.(4)
由于 p = 0.5 p = 0.5 p=0.5, k = 2 k = 2 k=2,
Δ m ￣ = ? 1 2 G ( 2 G ? 1 ) + ∑ i = 1 G 1 2 i = 0. \overline{\Delta m} = -\frac{1}{2^G}(2^G - 1) + \sum_{i = 1}^{G}\frac{1}{2^i} = 0. Δm=?2G1?(2G?1)+i=1∑G?2i1?=0.
證畢，
性質1說明，在這個場景下賭局是公平的，進一步地，可以證明無論如何改變籌碼設定策略，賭局都是公平的，

3.2 雙方資產無限、局數無上限、剛好1輪

性質2: 當 m , n → ∞ m, n \rightarrow \infty m,n→∞, p = 2 p = 2 p=2, 局數無上限，1 輪的平均局數為 2 2 2.
證明: 連續輸 i i i 局之后，贏1局結束，其中 0 ≤ i ≤ G ? 1 0 \leq i \leq G - 1 0≤i≤G?1，其概率為 (1) 式所示.
因此，平均局數為
t ￣ = ∑ i = 0 ∞ i ( 1 ? p ) i p . \overline{t} = \sum_{i = 0}^ \infty i (1 - p)^i p. t=i=0∑∞?i(1?p)ip.
當 p = 0.5 p = 0.5 p=0.5 時, 根據高中的級數求和知識，
t ￣ = ∑ i = 1 ∞ i 2 i = 2. \overline{t} = \sum_{i = 1}^ \infty \frac{i}{2^i} = 2. t=i=1∑∞?2ii?=2.
證畢，
性質2說明，妻子想要贏 1 元錢，平均需要 2 局，

3.3 雙方無限資產下的固定局數

性質3: m , n → ∞ m, n \rightarrow \infty m,n→∞, t = G t = G t=G, v = 2 i v = 2^i v=2i, p = 0.5 p = 0.5 p=0.5, Δ m ￣ = 0 \overline{\Delta m} = 0 Δm=0.
證明:
注：無限資產不會涉及破產問題，
性質4: 在設定1下，雙方的資產變化量方差為 x x x（要計算），

3.4 雙方有限資產下的固定局數

公平

3.5 雙方有限資產下的無限局數

公平

3.6 單方有限資產下的有限局數

3.7 單方有限資產下的無限局數

有限資產方將輸光，不公平，
想用馬爾科夫鏈，

4. 討論

重要的是建立一個完備的體系，
做研究作業的要義在于：屁大個事兒，搞一大堆道理，還很嚴謹的樣子，