1. 前言

4. 序結構

定義1(二元關系). 設 X X X是一個集合， R \mathcal{R} R是 X × X X\times X X×X的子集，則稱 R \mathcal{R} R是 X X X的一個二元關系， R \mathcal{R} R中的元素 ( a , b ) (a,b) (a,b)通常被記為 a R b a\mathcal{R}b aRb，

當 R \mathcal{R} R是 X X X的對角時
R = Δ X = { ( a , a ) : a ∈ X } \mathcal{R}=\Delta_X=\{(a,a):a\in X\} R=ΔX?={(a,a):a∈X}
該二元關系被記為 = = =，

定義2(序關系). 設 X X X是一個集合， R \mathcal{R} R是一個二元關系，當 R \mathcal{R} R滿足性質

• 自反性，即

5. ω 1 \omega_1 ω1?的構造

設 X X X是不可數集合，根據選擇公理， X X X上可以定義一個良序（Well Ordering），也就是滿足如下性質的序：

• 設 A A A是 X X X是非空子集，則 A A A中存在極小元 a a a，即 a ∈ A a\in A a∈A，且對任何 b ∈ A b\in A b∈A，有 a ≤ b a\leq b a≤b，

特別地，上述條件說明 A A A中任何兩個元素都可以比較，即

命題1. 良序一定是線性序，

定義 s e g ? a \mathbf{seg}\,a sega為 X X X中所有小于 a a a的元素構成的集合，即
s e g ? a = { x ∈ X : x < a } . \mathbf{seg}\,a=\{x\in X:x<a\}. sega={x∈X:x<a}.
定義 Y = { y ∈ X : s e g ? y 是 不 可 數 的 } Y=\{y\in X:\mathbf{seg}\,y是不可數的\} Y={y∈X:segy是不可數的}，當 Y Y Y不是空集時，根據良序性，存在 Y Y Y的極小元 y 0 y_0 y0?，此時定義
ω 1 : = s e g ? y 0 , \omega_1:=\mathbf{seg}\,y_0, ω1?:=segy0?,
當 Y = ? Y=\empty Y=?時，定義 ω 1 = X \omega_1=X ω1?=X，這樣定義的 ω 1 \omega_1 ω1?被稱為第一不可數序，

命題2. 如上定義的 ω 1 \omega_1 ω1?具有性質：

• ω 1 \omega_1 ω1?是具有良序的不可數集合，
• 任何 x ∈ ω 1 x\in \omega_1 x∈ω1?， s e g ? x \mathbf{seg}\,x segx是可數的，
• 對于序列 { x n } ? ω 1 \{x_n\}\subset \omega_1 {xn?}?ω1?，存在 y ∈ ω 1 y\in \omega_1 y∈ω1?使得
  ∪ n s e g ? x n = s e g ? y \cup_n \mathbf{seg}\,x_n=\mathbf{seg}\,y ∪n?segxn?=segy
  我們記 y = sup ? x n y=\sup x_n y=supxn?.

我們在 ω 1 \omega_1 ω1?上定義線性序拓撲：一族拓撲基為如下形式

• ( ? ∞ , a ) : = { x ∈ ω 1 : x < a } (-\infty,a):=\{x\in \omega_1:x<a\} (?∞,a):={x∈ω1?:x<a}.
• ( b , ∞ ) : = { x ∈ ω 1 : x < b } (b,\infty):=\{x\in \omega_1:x<b\} (b,∞):={x∈ω1?:x<b}.
• ( a , b ) : = { x ∈ ω 1 : a < x < b } (a,b):=\{x\in \omega_1:a<x<b\} (a,b):={x∈ω1?:a<x<b}.

命題3. 驗證：

• 如上定義確實是一個拓撲基.
• 設序列 { x n } \{x_n\} {xn?}和 { y n } \{y_n\} {yn?}都包含于 ω 1 \omega_1 ω1?中，且 x n ≤ y n ≤ x n + 1 x_n\leq y_n\leq x_{n+1} xn?≤yn?≤xn+1?，則
  sup ? x n = sup ? y n ， lim ? n → ∞ x n = sup ? x n ， lim ? n → ∞ y n = sup ? y n . \sup x_n=\sup y_n，\lim_{n\rightarrow \infty}x_n=\sup x_n，\lim_{n\rightarrow \infty}y_n=\sup y_n. supxn?=supyn?，n→∞lim?xn?=supxn?，n→∞lim?yn?=supyn?.
• R \mathbb{R} R中通常的拓撲就是線性序拓撲.
• 設 A , B A,B A,B為 ω 1 \omega_1 ω1?中不交的閉子集，則至少其中一個是可數集.
• ω 1 \omega_1 ω1?上的連續實值函式最終是常數，即存在 A ∈ ω 1 A\in \omega_1 A∈ω1?使得任何 x ≥ A x\geq A x≥A，有常數 c c c使得
  f ( x ) = c . f(x)=c. f(x)=c.