矩陣分析——線性空間和線性映射(一)

哈工大嚴老師矩陣分析筆記

線性空間定義：給定非空集合 $V$ 和域 $F$ ，若存在映射 $\delta$ ： $V\times V\rightarrow V$ （從V和V自己的卡氏集到V的映射任取V1和V2就可以算出一個值且算出的這個值還在V中）

$\left ( V_{1},V_{2}\right )\mapsto \delta \left ( V_{1},V_{2} \right )$

則稱 $\delta$ 為 $V$ 上的加法，（要習慣把運算比方成加法看作是映射，并且是二元映射,通常 ${\color{Blue} \delta \left ( V_{1} ,V_{2}\right )}= V_{1}+V_{2}$ ）

及映射 $\large \imath$ ： $\left ( V,F\right )\rightarrow V$

$\left ( v,k \right )\mapsto\imath \left ( v,k \right )$

則稱V和F之間的數乘法，記為 $\imath \left ( V,K \right )= v\cdot k$ ，

且這兩種運算滿足通常的運演算法則，則稱V關于此加法和數乘法是域F上的線性空間 (我們直覺上認為這是個集合，但是為啥叫空間呢，只是習慣這樣叫而已，沒有其他意思)

以上定義可理解為：在V中任取兩個元素就可以得到第三個元素，且第三個元素還在V中，算出來這個第三個元素就叫前兩個元素的加法，

解釋：“域”：有加減乘除的四種運算系統，在這個域中的所有數經過這四種運算還在這個域中，

例： $\bg_white Z_{+}=\left \{ 0,1,2,....... \right \}$ 就不是一個域，因為1-2，2/3等都不在 $Z_{+}$ 中，

$Z=\left \{ \pm 1,\pm 2,..... \right \}$ 也不是域，因為不滿足除法，

Q={有理數}，滿足四種運算，所以稱為有理數域，

R={有理數，無理數}滿足四種運算，所以稱為實數域，還有符號C稱為復數域，

“ ${\color{Red}\times }$ ”：不是數于數之間的乘法，表示集合之間的乘法，稱為卡（笛卡爾）氏集，參與運算的不是數是集合，兩個集合可以一樣也可以不一樣，

$S_{1}\times S_{2}= \left \{ \begin{bmatrix} s_{1}\\ s_{2\ \right |} \end{bmatrix} \ \right |s_{1}\in S_{1},s_{2}\in S_{2} \right \}$

在集合S1中取出一個元素s1,在集合S2中取出一個元素s2，構成一個有序對[s1,s2],所有有序對的集合稱為集合S1于S2的卡氏集，例如集合S1有5個元素，集合 S2有6個元素它倆構成的卡氏集有30個元素，

決議幾何是常量數學過渡到變數數學的偉大的一步，這個觀念是笛卡爾提出的，笛卡爾的核心是建立坐標系，一個橫軸一個豎軸把平面的點進行定位，認識到了平面和直線的關系，也就是說他揭示了平面的幾何結構，平面可以看作是直線的卡氏集，即平面可以用兩個數來定位，雖然在我們現在看來非常稀疏平常，但在當時是非常偉大的一步，

“ ${\color{Red} \rightarrow }$ ”：表示映射，前后連接的是兩個集合，例如： $f:$ $A\rightarrow B$ 表示 $f$ 是集合A到集合B的映射，

“ ${\color{Red} \mapsto }$ ”：也表示映射，前后連接的是集合中的元素，例如： $a \mapsto b$ 是上述集合A中的元素a經過映射 $f$ 變為集合B中的元素b，

例： $\sin \left ( x \right )$ 這個函式可以寫作 $\sin \left ( * \right ):$ $\left ( -\infty +\infty \right ) \rightarrow [-1,+1]$

$\sin \left ( * \right ):$ $\pi \mapsto 0$

“通常的運演算法則”：加法:

交換律： $V_{1}+V_{2}= V_{2}+V_{1}$

結合律： $\left ( V_{1}+V_{2} \right )+V_{3}=V_{1}+\left ( V_{2} +V_{3}\right )$

存在零元：存在 $e\in V$ ，滿足 $e+v=v$

有負元：對任意 $v\in V$ ,存在 $a\in V$ ,使 $v+a= e$ ,記 $a= -v$

數乘法：

分配律： $\left ( V_{1}+V_{2} \right )\cdot k= V_{1}\cdot k+V_{2}\cdot k$

$v\cdot \left ( k_{1}{\color{Blue} }+k_{2}\right )= v\cdot k_{1}+v\cdot k_{2}$ (第一個+號是數域F中的加法，第二個+號是V中的加法)

于F中乘法關系 $v\cdot\left ( kl \right )= \left ( v\cdot k \right )\cdot l$

與F中1的關系： $v\cdot 1= v$

“數乘法的數為什么寫在右邊”：

$2\cdot \begin{bmatrix} 1/2\\ 2\\ 3\\ \end{bmatrix}= \begin{bmatrix} 1/2\\ 2\\ 3\\ \end{bmatrix}\cdot 2$

1*1 3*1 3*1 1*1 寫在右面可以把數看作矩陣運算可以把數乘法理解成矩陣乘法

若數乘法的向量為列向量，數乘法的數寫在右側，若數乘法的向量為行向量，數乘法的數寫在左側，好處在于可以把數乘法和矩陣乘法看作同一個數來對待，（后面的許多矩陣中的技巧都源于這個規定）

例1（F上的標準線性空間 $F^{n}$ ）

$V:= F^{n}$

V表示n個集合的卡式集，從這n個集合F中每個集合取一個元素構成的所有N元組的集合，

驗證集合V滿足加法和數乘法的8條性質即為線性空間，從一個數域出發可以造一個標準的線性空間

例2 幾何空間作為線性空間（怎么用線性空間的角度來看幾何空間）

V={空間又向線段的全體} F=實數域R

加法：平行四邊形法則數乘法：同向或反向伸縮滿足八條運算規則，把幾乎空間里面的所有的幾何性質都翻譯成了代數運算系統

當兩條有向線段經過平移能夠重疊，則把這兩條線段算成一條線段，

平行四邊形法則：把兩條又向線段的起點移到同一個點，以這兩條線段為臨邊做出一個平行四邊形，則這個平行四邊形的對角線，就稱為平行四邊形法則，

例3 函式空間（ $F\left ( I,R^{n} \right )$ ）

$V= F\left ( I,R^{n} \right )$ $F= R$ 加法對應分量相加數乘法對應分量相乘

I=[0,1],[1/2,3].........等表示函式的定義域， $R^{n}$ 是n元陣列構成的集合 I是定義域， $R^{n}$ 是取值空間 V表示從I到 $R^{n}$ 的所有函式的集合

比如 $F= \left ( \begin{bmatrix} 0,1 \end{bmatrix} ,R^{2}\right )$ $f\in F$ 則 $f=\begin{bmatrix} f_{1}\left ( x \right )\\ f_{2}\left ( x \right ) \end{bmatrix}= \begin{bmatrix} \sin \left ( x \right )\\ 1/2x^{3} \end{bmatrix}$ 函式空間中的元素以0，1區間為定義域，具有兩個分量的二維向量值函式，把這些元素作為一個元素，則所有這些函式的集合就稱為函式空間，

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