伽瑪函式（Gamma函式），也叫歐拉第二積分，是階乘函式在實數與復數上擴展的一類函式，伽瑪函式在分析學、概率論、偏微分方程和組合數學中有重要的應用，
我們通常看到的伽瑪函式是這樣的：
這到底是個什么東西？有什么用？歐拉又是怎么發現它的？
歐拉大神
伽瑪函式的起因
發現伽瑪函式的起因是數列插值，數列插值問題，通俗地說就是把數列的通項公式從整數定義域擴展到實數，例如數列1,4,9,16,.....可以用通項公式n²表達，即便n為實數的時候，這個通項公式也是良好定義的，直觀的說，就是可以找到一條平滑的曲線y = x²，該曲線能夠通過所有的整數點(x, x²)，從而可以把定義在整數域的公式擴展到實數域，
1728年，哥德巴赫開始處理階乘序列的插值問題：1,2,6,24,120,720,...，既然可以計算2!, 3!,…，是否可以計算2.5!呢？把最初的一些(n, n!)的點畫在坐標軸上，確實可以看到，能夠畫出一條通過這些點的平滑曲線，問題是，這條曲線是什么？
哥德巴赫無法解決階乘往實數域上擴展的這個問題，于是寫信請教尼古拉斯·貝努利和丹尼爾·貝努利兩兄弟，由于歐拉當時正好和丹尼爾·貝努利在一塊玩，他也因此得知了這個問題，之后歐拉于1729年完美地解決了這個問題，由此導致了伽瑪函式的誕生，當時歐拉只有 22 歲，這讓我感覺自己就是混吃等死的，
發現伽瑪函式
在某一個特殊的時刻，歐拉發現階乘n!可以用一個無窮乘積表示：
如果有m項乘積：
當m遠遠大于n時，上式可繼續計算：
當m→∞時，無窮乘積的極限：
很難想像在沒有計算機的年代能夠發現這個變態的無窮乘積，估計歐拉當年是根據極限倒推無窮乘積，然后對外宣稱在機緣巧合下發現了無窮乘積，
值得注意的是，n!明顯不等于③，③又是由②整理而來的，因此n!也不等于②，而是在m→∞時n!等于②或③的極限，以n = 2為例，n! = 2，m是2、50、100時，②的結果分別是1.5、1.9615384615384617、1.980392156862745，展開的越多，越接近于n!，
有了這個無窮乘積，歐拉便開用1/2代入①進行嘗試：
根號里面的東西是英國數學家沃利斯（John Wallis）在1665年寫下的沃利斯公式：
于是歐拉把沃利斯公式折半：
π真是一個神奇的數字！
1665年牛頓還很小，還沒有發明積分，沃利斯用各種巧妙的技巧得到了這個結論，推導程序實際上是在處理
，受沃利斯的啟發，歐拉開始考慮如下的一般形式的積分：
此處n為正整數，a為正實數，利用分部積分：
繼續使用分部積分：
上面所有遞推合并到一起就得到了最終的結果：
現在階乘變成了積分的形式，然而這個式子的前提是n是正整數，無法推廣到分數，歐拉繼續研究如何化簡這個運算式，a是一個任意實數，能否讓a消失？一個慣用的方法是取極端值，a > 0的一個極端是無窮，看看讓a趨近于無窮時會得到什么結果，這里歐拉使用的技巧是讓a等于兩個實數的商：
等式兩側同時除以(f+g)(f+2g)…(f+ng)：
當f→1，g→0時，左側趨近于n!，但是右側出現了討厭的0分母，此時為了簡化計算：
將上式結論代入④：
用求極限的方式去掉f和g：
當f→1，g→0時h→0，(1-th)/h的極限變成了0/0的形式，在洛必達法則的幫助下，0/0形和∞/∞形的極限也是可以求解的，令u(h) = 1-th，v(h) = h，根據洛必達法則：
于是在對⑤的等式兩側求極限時，神奇的一幕出現了：
任意實數a已經消失了，n!變成了一個簡潔的積分形式，繼續變換：
這就是歐拉最早定義的伽瑪函式，實際上就是階乘擴展到實數范圍：
但是歐拉后來修改了伽瑪函式的定義，變成了：
這也是現在我們所說的伽瑪函式，⑥和⑦是兩種表達，⑦更為常見，從積分域可以看出t和u的取值范圍，
伽瑪函式的性質
歐拉在伽瑪函式的推導中實際上引入了兩類積分形式：
后來這兩個積分的引數做了-1的偏移，改為：
B(α, β)現在成為貝塔函式或貝塔積分，Γ(x)實際上是在計算x – 1的階乘，兩個函式之間存在一些很好的關系：
我們知道0! = 1，Γ(1)對此進行了解釋：
來看一下Γ函式的曲線：
從Γ函式的曲線可以看出Γ函式是一個凸函式，logΓ也是一個凸函式：
下面的的matlib代碼繪制了Γ(x)和logΓ(x)的曲線：
x = 0:0.1:10; plot(x, gamma(x)); axis([0,4,0,6]); xlabel('x'); ylabel('r(x)'); figure; plot(x, lgamma(x)); axis([0,8,-1,6]); xlabel('x'); ylabel('logr(x)');
伽瑪分布
伽瑪函式在概率統計中頻繁現身，泊松分布、貝塔分布、狄克雷分布中都有伽瑪函式的身影，當然，發生最直接聯系的概率分布是直接由伽瑪函式變換得到的伽瑪分布，
為了便于看清伽瑪分布，先把伽瑪函式中的變數名稱修改一下：
等式兩側同時除以Γ(α)：
這正好符合連續型概率分布的定義，被積函式就是伽瑪分布的密度函式：
如果令u = βx，則：
于是我們得到了伽瑪分布的一般形態：
其中α稱為形狀引數（shape parameter），決定了分布曲線的形狀；β稱為速率引數（rate parameter）或逆尺引數（inverse scale parameter），決定了曲線的陡峭程度：
可以看到， β之所以被稱為逆尺引數，是因為1/β越大，曲線越陡峭，在matlab中，gamma分布的引數使用的是1/β：
x = 0:0.1:20;
a = [1 2 3 5 9];
b = [0.5 0.5 0.5 1 2];
L(1, 1) = {''};
for i = 1:size(a)(2)
g = gampdf(x, a(i), 1/b(i));
L(1, i) = ['alpha=', num2str(a(i)), ',beta=', num2str(b(i))];
plot(x, g, 'LineWidth',2);
hold on;
endfor
legend(L);
xlabel('x');
ylabel('f(x;alpha, beta)');
axis([0,20,0,0.5]);
概率統計中的眾多分布都和Gamma分布有密切關系，以泊松分布為例，隨機變數X服從引數為λ的泊松分布分布X~Po(X; λ)，其質量函式是：
在Gamma分布的密度中取α=r+1，β=1得到：
因此當β=1時，Gamma分布和泊松分布在形式上是完全一致的，只是泊松分布是離散的，而Gamma分布是連續的，可以直觀地認為Gamma分布是泊松分布在正實數集上的連續化版本，
伽瑪分布的期望值和方差分別為：
本文參考：https://cosx.org/2013/01/lda-math-gamma-function
出處：微信公眾號 "我是8位的"
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