ADSP重點習題
- 第四章
- 知識點：
- 平穩隨機信號的自相關估計
- 平穩信號的功率譜估計
- 周期圖法
- Blackman-Tukey法
- Welch-Bartlett法
- 第五章
- 習題5.4
- 習題5.24
- 習題5.25
- 習題5.27
- 知識點
- 最佳信號估計
- 線性均方誤差估計
- 最佳有限脈沖回應濾波器
- 線性預測
第四章
知識點：
平穩隨機信號的自相關估計
對于一個平穩程序
x
(
n
)
x(n)
x(n)，最廣泛使用的
r
x
(
l
)
r_{x}(l)
rx?(l)的估計量是采樣自相關序列，如下式：
r
^
x
(
l
)
=
{
1
N
∑
n
=
0
N
?
l
?
1
x
(
n
+
l
)
x
?
(
n
)
0
≤
l
≤
N
?
1
r
x
?
^
(
?
l
)
?
(
N
?
1
)
≤
l
≤
0
0
其
他
\hat{r}_x(l)=\left\{ \begin{array}{lr} \frac{1}{N}\sum_{n=0}^{N-l-1}x(n+l)x^{*}(n) & 0 \le l \le N-1 \\ \hat{r_x^{*}}(-l) & -(N-1) \le l \le 0\\ 0 & 其他 \end{array} \right.
r^x?(l)=????N1?∑n=0N?l?1?x(n+l)x?(n)rx??^?(?l)0?0≤l≤N?1?(N?1)≤l≤0其他?或等價于：
r
^
x
(
l
)
=
{
1
N
∑
n
=
l
N
?
1
x
(
n
)
x
?
(
n
?
l
)
0
≤
l
≤
N
?
1
r
x
?
^
(
?
l
)
?
(
N
?
1
)
≤
l
≤
0
0
其
他
\hat{r}_x(l)=\left\{ \begin{array}{lr} \frac{1}{N}\sum_{n=l}^{N-1}x(n)x^{*}(n-l) & 0 \le l \le N-1 \\ \hat{r_x^{*}}(-l) & -(N-1) \le l \le 0\\ 0 & 其他 \end{array} \right.
r^x?(l)=????N1?∑n=lN?1?x(n)x?(n?l)rx??^?(?l)0?0≤l≤N?1?(N?1)≤l≤0其他?需要注意的是，除了觀察資料
x
(
n
)
0
N
?
1
{x(n)}^{N-1}_0
x(n)0N?1?外沒有更進一步的資訊，因此當
∣
l
∣
≥
N
|l| \ge N
∣l∣≥N時，
r
x
(
l
)
r_x(l)
rx?(l)的合理估計是不可能得到的，
r
^
x
(
l
)
\hat{r}_x(l)
r^x?(l)的均值:
E
{
r
^
x
(
l
)
}
=
1
N
r
x
(
l
)
r
w
(
l
)
E\{ \hat{r}_x(l) \}=\frac{1}{N}r_x(l)r_w(l)
E{r^x?(l)}=N1?rx?(l)rw?(l)其中：
r
w
(
l
)
=
w
(
l
)
?
w
(
?
l
)
=
∑
n
=
?
∞
∞
w
(
n
)
w
(
n
+
l
)
r_w(l)=w(l)*w(-l)=\sum^{\infty}_{n=-\infty}w(n)w(n+l)
rw?(l)=w(l)?w(?l)=∑n=?∞∞?w(n)w(n+l)，是一個視窗序列的自相關，對于矩形窗：
r
w
(
l
)
=
w
B
(
n
)
=
{
N
?
∣
l
∣
∣
l
∣
≤
N
?
1
0
其
他
{r}_w(l)=w_B(n)=\left\{ \begin{array}{lr} N-|l| & |l| \le N-1 \\ 0 & 其他 \end{array} \right.
rw?(l)=wB?(n)={N?∣l∣0?∣l∣≤N?1其他?
因此有：
E
{
r
^
x
(
l
)
}
=
1
N
r
x
(
l
)
w
B
(
n
)
=
r
x
(
l
)
(
1
?
∣
l
∣
N
)
w
H
(
n
)
E\{ \hat{r}_x(l) \}=\frac{1}{N}r_x(l)w_B(n)=r_x(l)(1-\frac{|l|}{N})w_H(n)
E{r^x?(l)}=N1?rx?(l)wB?(n)=rx?(l)(1?N∣l∣?)wH?(n)從式中可以看出
r
^
x
(
l
)
\hat{r}_x(l)
r^x?(l)不等于實際的
r
x
(
l
)
r_x(l)
rx?(l)，因此上面的自相關估計為有偏估計，但是當
N
→
∞
N \to \infty
N→∞時，
E
{
r
^
x
(
l
)
}
→
r
x
(
l
)
E\{ \hat{r}_x(l) \} \to r_x(l)
E{r^x?(l)}→rx?(l)，所以
r
^
x
(
l
)
\hat{r}_x(l)
r^x?(l)是一個漸近無偏估計量
r
^
x
(
l
)
\hat{r}_x(l)
r^x?(l)的方差:
一個對
r
^
x
(
l
)
\hat{r}_x(l)
r^x?(l)的協方差的近似式為：
c
o
v
r
^
x
(
l
1
)
,
r
^
x
(
l
2
)
?
1
N
∑
l
=
?
∞
∞
[
r
x
(
l
)
r
x
(
l
+
l
2
?
l
1
)
+
r
x
(
l
+
l
2
)
r
x
(
l
?
l
1
)
]
cov{\hat{r}_x(l_1),\hat{r}_x(l_2)}\simeq \frac{1}{N}\sum_{l=-\infty}^{\infty}[r_x(l)r_x(l+l_2-l_1)+r_x(l+l_2)r_x(l-l_1)]
covr^x?(l1?),r^x?(l2?)?N1?l=?∞∑∞?[rx?(l)rx?(l+l2??l1?)+rx?(l+l2?)rx?(l?l1?)]易得：當
N
→
∞
N \to \infty
N→∞時，
r
^
x
(
l
)
\hat{r}_x(l)
r^x?(l)方差趨于0，當
∣
l
∣
|l|
∣l∣相對于
N
N
N足夠小，
r
^
x
(
l
)
\hat{r}_x(l)
r^x?(l)是
r
x
(
l
)
r_x(l)
rx?(l)的一個很好的估計，但是當
∣
l
∣
|l|
∣l∣接近于
N
N
N時，估計值變差，方差增加，
r
^
x
(
l
)
\hat{r}_x(l)
r^x?(l)的非負定性
對于自相關序列的另一種估計量可由下式給出：
r
^
x
(
l
)
=
{
1
N
?
1
∑
n
=
0
N
?
l
?
1
x
(
n
+
l
)
x
?
(
n
)
0
≤
l
≤
L
<
N
r
x
?
^
(
?
l
)
?
N
<
?
L
≤
l
<
0
0
其
他
\hat{r}_x(l)=\left\{ \begin{array}{lr} \frac{1}{N-1}\sum_{n=0}^{N-l-1}x(n+l)x^{*}(n) & 0 \le l \le L < N \\ \hat{r_x^{*}}(-l) & -N < -L \le l <0\\ 0 & 其他 \end{array} \right.
r^x?(l)=????N?11?∑n=0N?l?1?x(n+l)x?(n)rx??^?(?l)0?0≤l≤L<N?N<?L≤l<0其他?盡管這個估計是無偏的，但是由于它是負定的，因此不用于譜估計，
平穩信號的功率譜估計
周期圖法
資料段
{
x
(
n
)
}
0
N
?
1
\{x(n)\}_{0}^{N-1}
{x(n)}0N?1?的周期圖定義為：
R
^
x
(
e
j
w
)
=
1
N
∣
∑
n
=
0
N
?
1
v
(
n
)
e
?
j
w
n
∣
2
=
1
N
∣
V
(
e
j
w
)
∣
2
\hat{R}_{x}(e^{jw})=\frac{1}{N}|\sum_{n=0}^{N-1}v(n)e^{-jwn}|^2=\frac{1}{N}|V(e^{jw})|^2
R^x?(ejw)=N1?∣n=0∑N?1?v(n)e?jwn∣2=N1?∣V(ejw)∣2其中：
v
(
n
)
=
x
(
n
)
w
(
n
)
,
0
≤
n
≤
N
?
1
v(n)=x(n)w(n),0\le n \le N-1
v(n)=x(n)w(n),0≤n≤N?1，
V
(
e
j
w
)
V(e^{jw})
V(ejw)為視窗序列
v
(
n
)
v(n)
v(n)的DTFT，
R
^
x
(
e
j
w
)
\hat{R}_{x}(e^{jw})
R^x?(ejw)的逆傅里葉變換給出了估計的自相關序列
r
v
(
l
)
^
\hat{r_v(l)}
rv?(l)^?，即：
r
v
^
(
l
)
=
1
2
π
∫
?
π
p
i
R
^
x
(
e
j
w
)
e
j
w
l
d
w
\hat{r_v}(l)=\frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{pi}\hat{R}_{x}(e^{jw})e^{jwl}dw
rv?^?(l)=2π1?∫?πpi?R^x?(ejw)ejwldw
周期圖法估計的
R
^
x
(
e
j
w
)
\hat{R}_{x}(e^{jw})
R^x?(ejw)的平均值：
E
{
R
^
x
(
e
j
w
)
}
=
∑
l
=
?
(
N
?
1
)
N
?
1
E
{
r
^
x
(
l
)
}
e
?
j
w
l
=
1
N
∑
l
=
?
(
N
?
1
)
N
?
1
r
x
(
l
)
r
w
(
l
)
e
?
j
w
l
E\{ \hat{R}_{x}(e^{jw})\}=\sum_{l=-(N-1)}^{N-1}E\{\hat{r}_x(l)\}e^{-jwl}=\frac{1}{N}\sum_{l=-(N-1)}^{N-1}r_x(l)r_w(l)e^{-jwl}
E{R^x?(ejw)}=l=?(N?1)∑N?1?E{r^x?(l)}e?jwl=N1?l=?(N?1)∑N?1?rx?(l)rw?(l)e?jwl
其中，
r
w
(
l
)
=
w
(
l
)
?
w
(
?
l
)
r_w(l)=w(l)*w(-l)
rw?(l)=w(l)?w(?l)，所以有：
E
{
R
^
x
(
e
j
w
)
}
=
∑
l
=
?
(
N
?
1
)
N
?
1
(
1
?
∣
l
∣
N
)
r
x
(
l
)
e
?
j
w
l
E\{\hat{R}_{x}(e^{jw})\}=\sum_{l=-(N-1)}^{N-1}(1-\frac{|l|}{N})r_x(l)e^{-jwl}
E{R^x?(ejw)}=l=?(N?1)∑N?1?(1?N∣l∣?)rx?(l)e?jwl當
N
→
∞
N \to \infty
N→∞時，
R
^
x
(
e
j
w
)
\hat{R}_{x}(e^{jw})
R^x?(ejw)趨近于真實的功率譜
R
x
(
e
j
w
)
R_{x}(e^{jw})
Rx?(ejw)，周期圖為漸近無偏估計，
周期圖法估計的
R
^
x
(
e
j
w
)
\hat{R}_{x}(e^{jw})
R^x?(ejw)的方差：
對于大的N值，方差近似等于：
v
a
r
{
R
^
x
(
e
j
w
)
}
?
{
R
x
2
(
e
j
w
)
0
<
w
<
π
2
R
x
2
(
e
j
w
)
w
=
0
,
π
var\{\hat{R}_{x}(e^{jw})\} \simeq \left\{ \begin{array}{lr} R^2_{x}(e^{jw}) & 0<w<\pi \\ 2R^2_{x}(e^{jw}) & w=0,\pi \end{array} \right.
var{R^x?(ejw)}?{Rx2?(ejw)2Rx2?(ejw)?0<w<πw=0,π?可以看出，周期圖的方差保持在
R
x
2
(
e
j
w
)
R^2_{x}(e^{jw})
Rx2?(ejw)的數量級上，不隨N變化而變化，當
N
→
∞
N \to \infty
N→∞時，方差并不趨于0，所以周期圖不是一個一致估計量，也就是說，隨著N的增加，它的分布并不是越來越靠近實際譜，
Blackman-Tukey法
Blackman-Tukey法是一個根據已有的估計好的功率譜
R
^
x
(
e
j
w
)
\hat{R}_{x}(e^{jw})
R^x?(ejw)進行平滑的程序：
R
^
x
(
P
S
)
(
e
j
w
)
=
1
2
π
∫
?
π
π
R
^
x
(
e
j
(
w
?
θ
)
)
W
a
(
e
j
θ
)
d
θ
=
R
^
x
(
e
j
w
)
?
W
a
(
e
j
w
)
\hat{R}^{(PS)}_{x}(e^{jw})=\frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}\hat{R}_{x}(e^{j(w-\theta)})W_a(e^{j\theta})d\theta=\hat{R}_{x}(e^{jw})\otimes W_a(e^{jw})
R^x(PS)?(ejw)=2π1?∫?ππ?R^x?(ej(w?θ))Wa?(ejθ)dθ=R^x?(ejw)?Wa?(ejw)式中，
W
a
(
e
j
w
)
W_a(e^{jw})
Wa?(ejw)是
w
w
w函式，周期為
2
π
2\pi
2π，由下式給出：
W
a
(
e
j
w
)
=
{
1
△
w
∣
w
∣
<
△
w
2
0
△
w
2
≤
w
≤
π
W_a(e^{jw})=\left\{ \begin{array}{lr} \frac{1}{\bigtriangleup w} & |w|<\frac{\bigtriangleup w}{2} \\ 0 & \frac{\bigtriangleup w}{2} \le w \le \pi \end{array} \right.
Wa?(ejw)={△w1?0?∣w∣<2△w?2△w?≤w≤π?利用卷積定理，Blackman-Tukey可以表示為：
R
^
x
(
P
S
)
(
e
j
w
)
=
∑
l
=
?
(
L
?
1
)
L
?
1
r
^
x
(
l
)
w
a
(
l
)
e
?
j
w
l
\hat{R}^{(PS)}_{x}(e^{jw})=\sum_{l=-(L-1)}^{L-1}\hat{r}_x(l)w_a(l)e^{-jwl}
R^x(PS)?(ejw)=l=?(L?1)∑L?1?r^x?(l)wa?(l)e?jwl其中，
w
a
(
l
)
=
s
i
n
(
l
△
w
/
2
)
π
l
,
?
∞
<
l
<
∞
w_a(l)=\frac{sin(l\bigtriangleup w /2)}{\pi l},-\infty < l < \infty
wa?(l)=πlsin(l△w/2)?,?∞<l<∞，
R
^
x
(
P
S
)
(
e
j
w
)
\hat{R}^{(PS)}_{x}(e^{jw})
R^x(PS)?(ejw)的均值
E
{
R
^
x
(
P
S
)
(
e
j
w
)
}
=
∑
l
=
?
(
L
?
1
)
L
?
1
E
{
r
^
x
(
l
)
}
w
a
(
l
)
e
?
j
w
l
=
∑
l
=
?
(
L
?
1
)
L
?
1
r
x
(
l
)
(
1
?
∣
l
∣
N
)
w
a
(
l
)
e
?
j
w
l
E\{\hat{R}^{(PS)}_{x}(e^{jw})\}= \\ \begin{array}{lr} \sum_{l=-(L-1)}^{L-1}E\{\hat{r}_x(l)\}w_a(l)e^{-jwl} \\ =\sum_{l=-(L-1)}^{L-1}r_x(l)(1-\frac{|l|}{N})w_a(l)e^{-jwl} \end{array}
E{R^x(PS)?(ejw)}=∑l=?(L?1)L?1?E{r^x?(l)}wa?(l)e?jwl=∑l=?(L?1)L?1?rx?(l)(1?N∣l∣?)wa?(l)e?jwl?結論是，當相關窗的譜是單位面積的，即
1
2
π
∫
?
π
π
W
a
(
e
j
w
)
d
w
=
w
a
(
0
)
=
1
\frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}W_a(e^{jw})dw=w_a(0)=1
2π1?∫?ππ?Wa?(ejw)dw=wa?(0)=1時，
R
^
x
(
P
S
)
(
e
j
w
)
\hat{R}^{(PS)}_{x}(e^{jw})
R^x(PS)?(ejw)是一個漸近無偏估計，在這種條件下如果L和N趨向于無窮，那么就能夠再現出
R
x
(
e
j
w
)
R_{x}(e^{jw})
Rx?(ejw)，
R
^
x
(
P
S
)
(
e
j
w
)
\hat{R}^{(PS)}_{x}(e^{jw})
R^x(PS)?(ejw)的方差
結論：
v
a
r
{
R
^
x
(
P
S
)
(
e
j
w
)
}
v
a
r
{
R
^
x
(
e
j
w
)
}
?
E
m
N
,
0
<
w
<
π
\frac{var\{\hat{R}^{(PS)}_{x}(e^{jw})\}}{var\{ \hat{R}_{x}(e^{jw})\}} \simeq \frac{E_m}{N},0<w<\pi
var{R^x?(ejw)}var{R^x(PS)?(ejw)}??NEm??,0<w<π，這稱作方差減少因子或方差系數，提供了通過平滑周期圖使得到的方差減少的資訊，
Welch-Bartlett法
思路：一般而言，K個IID隨機變數和的方差是其中單個隨機變數的方差的1/K倍，所以為了減少周期圖的方差，我們可以對一個平穩隨機信號的K個不同實作的周期圖求平均，但是在大多數實際情況中，我們只能得到一個實作，在這種情況下，可以把存在的記錄
{
x
(
n
)
,
0
≤
n
≤
N
?
1
}
\{x(n),0\le n \le N-1\}
{x(n),0≤n≤N?1}再細分（可能會重疊）為K個小塊：
x
i
(
n
)
=
x
(
i
D
+
n
)
w
(
n
)
，
0
≤
n
≤
L
?
1
，
0
≤
i
≤
K
?
1
x_i(n)=x(iD+n)w(n)，0\le n \le L-1，0 \le i \le K-1
xi?(n)=x(iD+n)w(n)，0≤n≤L?1，0≤i≤K?1式中，
w
(
n
)
w(n)
w(n)是一個持續時間為L的窗，D是偏移長度，如果D<L，這些段是重疊的；如果D=L，這些段是連續的，第
i
i
i段的周期圖是：
R
^
x
,
i
(
e
j
w
)
=
1
L
∣
X
i
(
e
j
w
)
∣
2
=
1
L
∣
∑
n
=
0
L
?
1
x
i
(
n
)
e
?
j
w
n
∣
2
\hat{R}_{x,i}(e^{jw})=\frac{1}{L}|X_i(e^{jw})|^2=\frac{1}{L}|\sum_{n=0}^{L-1}x_i(n)e^{-jwn}|^2
R^x,i?(ejw)=L1?∣Xi?(ejw)∣2=L1?∣n=0∑L?1?xi?(n)e?jwn∣2通過對K個周期圖求平均得到譜估計
R
^
x
(
P
A
)
(
e
j
w
)
\hat{R}_x^{(PA)}(e^{jw})
R^x(PA)?(ejw)：
R
^
x
(
P
A
)
(
e
j
w
)
=
1
K
∑
i
=
1
K
?
1
R
^
x
,
i
(
e
j
w
)
=
1
K
L
∑
i
=
0
K
?
1
∣
X
i
(
e
j
w
)
∣
2
\hat{R}_x^{(PA)}(e^{jw})=\frac{1}{K}\sum_{i=1}^{K-1}\hat{R}_{x,i}(e^{jw})=\frac{1}{KL}\sum_{i=0}^{K-1}|X_i(e^{jw})|^2
R^x(PA)?(ejw)=K1?i=1∑K?1?R^x,i?(ejw)=KL1?i=0∑K?1?∣Xi?(ejw)∣2
R
^
x
(
P
A
)
(
e
j
w
)
\hat{R}_x^{(PA)}(e^{jw})
R^x(PA)?(ejw)的均值
結論為：
R
^
x
(
P
A
)
(
e
j
w
)
=
1
K
∑
i
=
0
K
?
1
E
{
R
^
x
,
i
(
e
j
w
)
}
=
E
R
^
x
(
e
j
w
)
\hat{R}_x^{(PA)}(e^{jw})=\frac{1}{K}\sum_{i=0}^{K-1}E\{\hat{R}_{x,i}(e^{jw})\}=E{\hat{R}_x(e^{jw})}
R^x(PA)?(ejw)=K1?i=0∑K?1?E{R^x,i?(ejw)}=ER^x?(ejw)當資料窗是歸一化的，即：
∑
n
=
0
L
?
1
w
2
(
n
)
=
L
\sum_{n=0}^{L-1}w^2(n)=L
∑n=0L?1?w2(n)=L時，
R
^
x
(
P
A
)
(
e
j
w
)
\hat{R}_x^{(PA)}(e^{jw})
R^x(PA)?(ejw)為漸近無偏估計，
R
^
x
(
P
A
)
(
e
j
w
)
\hat{R}_x^{(PA)}(e^{jw})
R^x(PA)?(ejw)的方差
R
^
x
(
P
A
)
(
e
j
w
)
\hat{R}_x^{(PA)}(e^{jw})
R^x(PA)?(ejw)的方差是：
v
a
r
{
R
^
x
(
P
A
)
(
e
j
w
)
}
=
1
K
v
a
r
{
R
^
x
(
e
j
w
)
}
var\{\hat{R}_x^{(PA)}(e^{jw})\}=\frac{1}{K}var\{\hat{R}_x(e^{jw})\}
var{R^x(PA)?(ejw)}=K1?var{R^x?(ejw)}隨著K的增加，方差趨近于零，因此
R
^
x
(
P
A
)
(
e
j
w
)
\hat{R}_x^{(PA)}(e^{jw})
R^x(PA)?(ejw)給出了
R
x
(
e
j
w
)
R_x(e^{jw})
Rx?(ejw)的一個漸近無偏估計和一致性估計，
第五章
習題5.4
A process
y
(
n
)
y(n)
y(n) with the autocorrelation
r
y
(
l
)
=
a
∣
l
∣
,
?
1
<
a
<
1
r_y (l) = a|l|, ?1 <a< 1
ry?(l)=a∣l∣,?1<a<1, is corrupted by additive,
uncorrelated white noise
v
(
n
)
v(n)
v(n) with variance
σ
v
2
σ^2_v
σv2?. To reduce the noise in the observed process
x
(
n
)
=
y
(
n
)
+
v
(
n
)
x(n) = y(n) + v(n)
x(n)=y(n)+v(n), we use a first-order Wiener filter.
(a) Express the coefficients
c
o
,
1
c_{o,1}
co,1? and
c
o
,
2
c_{o,2}
co,2? and the MMSE
P
o
P_o
Po? in terms of parameters
a
a
a and
σ
v
2
σ^2_v
σv2?.
習題5.24
Let
x
(
n
)
=
s
(
n
)
+
v
(
n
)
x(n) = s(n) + v(n)
x(n)=s(n)+v(n) with
R
v
(
z
)
=
1
,
R
s
v
(
z
)
=
0
R_v(z) = 1, R_{sv}(z) = 0
Rv?(z)=1,Rsv?(z)=0, and
R
s
(
z
)
=
0.75
(
1
?
0.5
z
?
1
)
(
1
?
0.5
z
)
R_s(z) = \frac{0.75}{(1 ? 0.5z?1)(1 ? 0.5z)}
Rs?(z)=(1?0.5z?1)(1?0.5z)0.75?
Determine the optimum filters for the estimation of
s
(
n
)
s(n)
s(n) and
s
(
n
?
2
)
s(n ? 2)
s(n?2) from
{
x
(
k
)
}
?
∞
n
\{x(k)\}^n_{-\infty}
{x(k)}?∞n?and the
corresponding MMSEs.
習題5.25
For the random signal with PSD
R
x
(
z
)
=
(
1
?
0.2
z
?
1
)
(
1
?
0.2
z
)
(
1
?
0.9
z
?
1
)
(
1
?
0.9
z
)
Rx (z) = \frac{(1 ? 0.2z?1)(1 ? 0.2z)}{ (1 ? 0.9z?1)(1 ? 0.9z)}
Rx(z)=(1?0.9z?1)(1?0.9z)(1?0.2z?1)(1?0.2z)?
determine the optimum two-step ahead linear predictor and the corresponding MMSE.
習題5.27
Let
x
(
n
)
=
s
(
n
)
+
v
(
n
)
x(n) = s(n) + v(n)
x(n)=s(n)+v(n) with $v(n) ～ WN(0, 1) $ and
s
(
n
)
=
0.6
s
(
n
?
1
)
+
w
(
n
)
s(n) = 0.6s(n ? 1) + w(n)
s(n)=0.6s(n?1)+w(n), where
w
(
n
)
～
W
N
(
0
,
0.82
)
w(n) ～ WN(0, 0.82)
w(n)～WN(0,0.82). The processes
s
(
n
)
s(n)
s(n) and
v
(
n
)
v(n)
v(n) are uncorrelated. Determine the optimum
filters for the estimation of
s
(
n
)
,
s
(
n
+
2
)
s(n), s(n + 2)
s(n),s(n+2), and
s
(
n
?
2
)
s(n ? 2)
s(n?2) from
{
x
(
k
)
}
?
∞
n
\{x(k)\}^n_{-\infty}
{x(k)}?∞n? and the corresponding MMSEs.
知識點
最佳信號估計
估計信號
y
^
(
n
)
\hat{y}(n)
y^?(n)和期望回應
y
(
n
)
y(n)
y(n)之間的差別見下式，被稱為誤差信號：
e
(
n
)
=
y
(
n
)
?
y
^
(
n
)
e(n)=y(n)-\hat{y}(n)
e(n)=y(n)?y^?(n)均方誤差準則(MSE)：
P
(
n
)
=
E
{
∣
e
(
n
)
∣
2
}
P(n)=E\{|e(n)|^2\}
P(n)=E{∣e(n)∣2}，它會使最佳估計器呈非線性，
線性均方誤差估計
目標：設計一個估計器，使用資料
x
k
(
n
)
,
1
≤
k
≤
M
x_k(n),1\le k \le M
xk?(n),1≤k≤M的線性組合，對期望相應
y
(
n
)
y(n)
y(n)做估計，使MSE
E
{
∣
y
(
n
)
?
y
^
(
n
)
∣
2
}
E\{|y(n)-\hat{y}(n)|^2\}
E{∣y(n)?y^?(n)∣2}最小，線性估計器可以定義為：
y
^
(
n
)
=
∑
k
=
1
M
c
k
?
(
n
)
x
k
(
n
)
\hat{y}(n)=\sum_{k=1}^Mc^*_k(n)x_k(n)
y^?(n)=k=1∑M?ck??(n)xk?(n)，寫成向量形式為：
y
^
=
∑
k
=
1
M
c
k
?
x
k
=
c
H
x
\hat{y}=\sum_{k=1}^M c^*_k x_k = \mathbf{c^Hx}
y^?=k=1∑M?ck??xk?=cHx其中：
x
=
[
x
1
,
x
2
,
?
x
M
]
T
\mathbf{x}=[x_1,x_2,\cdots x_M]^T
x=[x1?,x2?,?xM?]T，
c
=
[
c
1
,
c
2
,
?
c
M
]
T
\mathbf{c}=[c_1,c_2,\cdots c_M]^T
c=[c1?,c2?,?cM?]T其中，M稱為估計器的階數，MSE為：
P
=
E
{
∣
e
∣
2
}
e
=
y
?
y
^
P=E\{|e|^2\} \\ e=y-\hat{y}
P=E{∣e∣2}e=y?y^?選取合適的
c
k
c_k
ck?使上式最小化，可以得到最佳的引數矢量
c
0
\mathbf{c_0}
c0?，
最佳引數的求解
由
P
(
c
)
=
E
{
∣
e
∣
2
}
=
E
{
(
y
?
c
H
x
)
(
y
?
?
x
H
c
)
}
P(\mathbf{c})=E\{|e|^2\}=E\{(y-\mathbf{c^Hx})(y^*-\mathbf{x^Hc})\}
P(c)=E{∣e∣2}=E{(y?cHx)(y??xHc)}
可推導得：
P
(
c
)
=
P
y
?
d
H
R
?
1
d
+
(
R
c
?
d
)
H
R
?
1
(
R
c
?
d
)
P(\mathbf{c})=P_y-\mathbf{d^HR^{-1}d+(Rc-d)^HR^{-1}(Rc-d)}
P(c)=Py??dHR?1d+(Rc?d)HR?1(Rc?d)上式中，只有第三項取決于
c
\mathbf{c}
c，因此，當
R
c
?
d
=
0
\mathbf{Rc-d=0}
Rc?d=0時就可得到最佳估計，所以得到最佳估計器的引數
c
0
\mathbf{c_0}
c0?的充分必要條件是：
R
c
0
=
d
\mathbf{Rc_0}=d
Rc0?=d，R是正定矩陣，更詳細的，可以寫成：
[
r
11
r
12
?
r
1
M
r
21
r
22
?
r
2
M
?
?
?
?
r
M
1
r
M
2
?
r
M
M
]
[
c
1
c
2
?
c
M
]
=
[
d
1
d
2
?
d
M
]
\left[\begin{matrix} r_{11} & r_{12} & \cdots & r_{1M} \\ r_{21} & r_{22} & \cdots & r_{2M} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ r_{M1} & r_{M2} & \cdots & r_{MM} \end{matrix} \right] \left[\begin{matrix} c_1 \\ c_2 \\ \vdots \\ c_M \end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix} d_1 \\ d_2 \\ \vdots \\ d_M \end{matrix}\right]
??????r11?r21??rM1??r12?r22??rM2???????r1M?r2M??rMM??????????????c1?c2??cM????????=??????d1?d2??dM????????其中：
r
i
j
=
E
{
x
i
x
j
?
}
=
r
j
i
?
r_{ij}=E\{x_ix^*_j\}=r^*_{ji}
rij?=E{xi?xj??}=rji??，
d
i
=
E
{
x
i
y
?
}
d_i=E\{x_iy^*\}
di?=E{xi?y?}，此時的MMSE為：
P
0
=
P
y
?
d
H
R
?
1
d
=
P
y
?
d
H
c
0
P_0=P_y-\mathbf{d^HR^{-1}d}=P_y-\mathbf{d^Hc_0}
P0?=Py??dHR?1d=Py??dHc0?通過上式很容易看出：最佳估計器和MMSE僅依賴于期望回應和輸入資料的二階矩，
d
H
c
0
\mathbf{d^Hc_0}
dHc0?和
E
{
∣
y
^
0
∣
2
}
E\{|\hat{y}_0|^2\}
E{∣y^?0?∣2}是相等的（最佳估計的功率），當
x
,
y
\mathbf{x},y
x,y無關時(
d
=
0
\mathbf{d}=0
d=0)，是最壞的情況(
P
0
=
P
y
P_0=P_y
P0?=Py?)，因為沒有線性估計能夠減少MSE，
如果
c
~
\mathbf{\tilde{c}}
c~是最佳估計器引數的偏差，即
c
=
c
0
+
c
~
\mathbf{c=c_0+\tilde{c}}
c=c0?+c~，我們可以得到：
P
(
c
0
+
c
~
)
=
P
(
c
0
)
+
c
~
H
R
c
~
P(\mathbf{c_0+\tilde{c}})=P(\mathbf{c_0})+\mathbf{\tilde{c}^HR\tilde{c}}
P(c0?+c~)=P(c0?)+c~HRc~
即估計器引數的偏差會增大MSE的值，增大的數量被稱為超量均方誤差：
E
x
c
e
s
s
M
S
E
=
P
(
c
0
+
c
~
)
?
P
(
c
0
)
=
c
~
H
R
c
~
Excess MSE =P(\mathbf{c_0+\tilde{c}})- P(\mathbf{c_0})=\mathbf{\tilde{c}^HR\tilde{c}}
ExcessMSE=P(c0?+c~)?P(c0?)=c~HRc~超量均方誤差僅取決于輸入的相關矩陣，與期望相應無關，因此，任何與最佳引數值的偏差都能通過監測MSE而發現，
正交原理：
E
{
x
e
0
?
}
=
E
{
x
(
y
?
?
x
H
c
0
)
}
=
d
?
R
c
0
=
0
E\{\mathbf{x}e^*_0\}=E\{\mathbf{x(y^*-x^Hc_0)}\}=\mathbf{d-Rc_0}=0
E{xe0??}=E{x(y??xHc0?)}=d?Rc0?=0即估計器在最佳引數下作業時，誤差
e
0
e_0
e0?既與資料
x
1
,
x
2
,
?
?
,
x
M
x_1,x_2,\cdots,x_M
x1?,x2?,?,xM?無關，也與最佳估計值
y
^
0
\hat{y}_0
y^?0?無關（正交），
最佳有限脈沖回應濾波器
對于一個線性FIR濾波器，他的脈沖回應由
h
(
n
,
k
)
h(n,k)
h(n,k)表示，濾波器的輸出為：
y
^
(
n
)
=
∑
k
=
0
N
?
1
h
(
n
,
k
)
x
(
n
?
k
)
=
∑
k
=
0
N
?
1
c
k
?
(
n
)
x
(
n
?
k
+
1
)
=
c
H
(
n
)
x
(
n
)
\begin{array}{lr} \hat{y}(n) & =\sum_{k=0}^{N-1}h(n,k)x(n-k) \\ &=\sum_{k=0}^{N-1}c^*_k(n)x(n-k+1) \\ &=\mathbf{c^H(n)x(n)} \end{array}
y^?(n)?=∑k=0N?1?h(n,k)x(n?k)=∑k=0N?1?ck??(n)x(n?k+1)=cH(n)x(n)?其中，
x
(
n
)
=
[
x
(
n
)
,
x
(
n
?
1
)
,
?
?
,
x
(
n
?
M
+
1
)
]
T
\mathbf{x(n)}=[x(n),x(n-1),\cdots,x(n-M+1)]^T
x(n)=[x(n),x(n?1),?,x(n?M+1)]T，
c
(
n
)
=
[
c
1
(
n
)
,
c
2
(
n
)
,
?
?
,
c
M
(
n
)
]
T
\mathbf{c(n)}=[c_1(n),c_2(n),\cdots,c_M(n)]^T
c(n)=[c1?(n),c2?(n),?,cM?(n)]T，我們可以得到以下方程組進而求解MMSE下的引數：
R
(
n
)
c
0
(
n
)
=
d
(
n
)
R
(
n
)
=
E
{
x
(
n
)
x
H
(
n
)
}
d
(
n
)
=
E
{
x
(
n
)
y
?
(
n
)
}
\mathbf{R}(n)\mathbf{c}_0(n)=\mathbf{d}(n) \\ \mathbf{R}(n)=E\{\mathbf{x}(n)\mathbf{x^H}(n)\} \\ \mathbf{d}(n)=E\{\mathbf{x}(n)y^*(n)\}
R(n)c0?(n)=d(n)R(n)=E{x(n)xH(n)}d(n)=E{x(n)y?(n)}最佳引數下的MMSE：
P
0
(
n
)
=
P
y
(
n
)
?
d
H
(
n
)
c
0
(
n
)
P_0(n)=P_y(n)-\mathbf{d^H}(n)\mathbf{c}_0(n)
P0?(n)=Py?(n)?dH(n)c0?(n)其中，
P
y
(
n
)
=
E
{
∣
y
(
n
)
∣
2
}
P_y(n)=E\{|y(n)|^2\}
Py?(n)=E{∣y(n)∣2}，
平穩程序的最佳FIR濾波器
如果輸入的信號和所需的回應信號的隨機程序是聯合廣義平穩的，輸入信號的相關矩陣和互相關矢量并不依賴于時間序號
n
n
n，因此，最佳濾波器和MMSE是非時變的（即不依賴于時間信號n），由下面兩式決定：
R
c
0
=
d
P
0
=
P
y
?
d
H
c
0
\mathbf{Rc_0=d} \\ P_0=P_y-\mathbf{d^Hc_0}
Rc0?=dP0?=Py??dHc0?，由于平穩性的原因，自相關矩陣為：
R
=
[
r
x
(
0
)
r
x
(
1
)
?
r
x
(
M
?
1
)
r
x
?
(
1
)
r
x
(
0
)
?
r
x
(
M
?
2
)
?
?
?
?
r
x
?
(
M
?
1
)
r
x
?
(
M
?
2
)
?
r
x
(
0
)
]
\mathbf{R}=\left[\begin{matrix} r_x(0) & r_x(1) & \cdots & r_x(M-1) \\ r^*_x(1) & r_x(0) & \cdots & r_x(M-2) \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ r^*_x(M-1) & r^*_x(M-2) & \cdots & r_x(0) \end{matrix}\right]
R=??????rx?(0)rx??(1)?rx??(M?1)?rx?(1)rx?(0)?rx??(M?2)??????rx?(M?1)rx?(M?2)?rx?(0)???????由于濾波器是非時變的，它可以用卷積來實作：
y
^
0
=
∑
k
=
0
M
?
1
h
0
(
k
)
x
(
n
?
k
)
\hat{y}_0=\sum_{k=0}^{M-1}h_0(k)x(n-k)
y^?0?=k=0∑M?1?h0?(k)x(n?k)，MMSE為：
KaTeX parse error: Expected group after '_' at position 3: P_?_0=P_y-\sum_{k=…
頻域解釋
結論：
P
0
=
1
2
π
∫
?
π
π
[
1
?
∣
R
y
x
(
e
j
w
)
∣
2
R
y
(
e
j
w
)
R
x
(
e
j
w
)
]
R
y
(
e
j
w
)
P
0
=
1
2
π
∫
?
π
π
[
1
?
G
y
x
(
e
j
w
)
]
R
y
(
e
j
w
)
d
w
P_0=\frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}[1-\frac{|R_{yx}(e^{jw})|^2}{R_y(e^{jw})R_x(e^{jw})}]R_y(e^{jw}) \\ P_0=\frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}[1-G_{yx}(e^{jw})]R_y(e^{jw})dw
P0?=2π1?∫?ππ?[1?Ry?(ejw)Rx?(ejw)∣Ryx?(ejw)∣2?]Ry?(ejw)P0?=2π1?∫?ππ?[1?Gyx?(ejw)]Ry?(ejw)dw
僅當
x
(
n
)
,
y
(
n
)
x(n),y(n)
x(n),y(n)之間存在顯著的相關性（即:
G
y
x
(
e
j
w
?
1
)
G_{yx}(e^{jw}\simeq 1)
Gyx?(ejw?1)時），最佳濾波器才可以在一定的頻段上減少MMSE，
線性預測
線性信號估計
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目的：通過隨機程序的一些樣本值
x
(
n
)
,
x
(
n
?
1
)
,
?
?
,
x
(
n
?
M
)
x(n),x(n-1),\cdots ,x(n-M)
x(n),x(n?1),?,x(n?M)，希望用其估計
x
(
n
?
i
)
x(n-i)
x(n?i)的值，所得到的估計值和相應的估計誤差如下：
x
^
(
n
?
i
)
=
?
∑
k
=
0
M
c
k
?
(
n
)
x
(
n
?
k
)
e
(
i
)
(
n
)
=
x
(
n
?
i
)
?
x
^
(
n
?
i
)
=
∑
k
=
0
M
c
k
?
(
n
)
x
(
n
?
k
)
\hat{x}(n-i)=-\sum_{k=0}^Mc^*_k(n)x(n-k) \\ e^{(i)}(n)=x(n-i)-\hat{x}(n-i)=\sum_{k=0}^Mc^*_k(n)x(n-k)
x^(n?i)=?k=0∑M?ck??(n)x(n?k)e(i)(n)=x(n?i)?x^(n?i)=k=0∑M?ck??(n)x(n?k)，其中
c
i
(
n
)
=
1
c_i(n)=1
ci?(n)=1
其MMSE引數計算方程為：
[
R
11
(
n
)
R
12
(
n
)
R
12
T
(
n
)
R
22
(
n
)
]
[
c
1
(
n
)
c
2
(
n
)
]
=
?
[
r
1
(
n
)
r
2
(
n
)
]
\left[\begin{matrix} \mathbf{R}_{11}(n) & \mathbf{R}_{12}(n) \\ \mathbf{R}^T_{12}(n) & \mathbf{R}_{22}(n) \end{matrix}\right] \left[\begin{matrix} \mathbf{c}_1(n) \\ \mathbf{c}_2(n) \end{matrix}\right]=-\left[\begin{matrix} \mathbf{r}_1(n) \\ \mathbf{r}_2(n) \end{matrix}\right]
[R11?(n)R12T?(n)?R12?(n)R22?(n)?][c1?(n)c2?(n)?]=?[r1?(n)r2?(n)?]和
P
0
(
i
)
(
n
)
=
P
x
(
n
?
i
)
+
r
1
H
(
n
)
c
1
(
n
)
+
r
2
H
(
n
)
c
2
(
n
)
P^{(i)}_0(n)=P_x(n-i)+\mathbf{r}^H_1(n)\mathbf{c}_1(n)+\mathbf{r}^H_2(n)\mathbf{c}_2(n)
P0(i)?(n)=Px?(n?i)+r1H?(n)c1?(n)+r2H?(n)c2?(n)，這里：
R
i
j
(
n
)
=
E
{
x
i
(
n
)
x
j
H
(
n
)
}
r
j
(
n
)
=
E
{
x
j
(
n
)
x
?
(
n
?
i
)
}
P
x
(
n
)
=
E
{
∣
x
(
n
)
∣
2
}
\mathbf{R}_{ij}(n)=E\{\mathbf{x_i(n)}\mathbf{x^H_j(n)}\} \\ \mathbf{r}_j(n)=E\{\mathbf{x}_j(n)x^*(n-i)\} \\ P_x(n)=E\{|x(n)|^2\}
Rij?(n)=E{xi?(n)xjH?(n)}rj?(n)=E{xj?(n)x?(n?i)}Px?(n)=E{∣x(n)∣2}我們可以將上面兩式合并為一個等式：
R
ˉ
(
n
)
c
ˉ
0
(
i
)
(
n
)
=
[
0
P
0
(
i
)
(
n
)
0
]
\bar{\mathbf{R}}(n)\bar{\mathbf{c}}_0^{(i)}(n)=\left[\begin{matrix} \mathbf{0} \\ P_0^{(i)}(n) \\ 0 \end{matrix}\right]
Rˉ(n)cˉ0(i)?(n)=???0P0(i)?(n)0????其中，只有第i行不為0，
R
ˉ
(
n
)
=
E
{
x
ˉ
(
n
)
x
ˉ
H
(
n
)
}
=
[
R
11
(
n
)
r
1
(
n
)
R
12
(
n
)
r
1
H
(
n
)
P
x
(
n
?
i
)
r
2
H
(
n
)
R
12
H
(
n
)
r
2
(
n
)
R
22
(
n
)
]
\bar{\mathbf{R}}(n)=E\{\bar{\mathbf{x}}(n)\bar{\mathbf{x}}^H(n)\}=\left[\begin{matrix} \mathbf{R}_{11}(n) & \mathbf{r}_{1}(n) & \mathbf{R}_{12}(n) \\ \mathbf{r}_{1}^H(n) & P_x(n-i) & \mathbf{r}_{2}^H(n) \\ \mathbf{R}_{12}^H(n) & \mathbf{r}_{2}(n) & \mathbf{R}_{22}(n) \end{matrix}\right]
Rˉ(n)=E{xˉ(n)xˉH(n)}=???R11?(n)r1H?(n)R12H?(n)?r1?(n)Px?(n?i)r2?(n)?R12?(n)r2H?(n)R22?(n)????其中：
x
ˉ
(
n
)
=
[
x
1
(
n
)
x
(
n
?
i
)
x
2
(
n
)
]
\bar{\mathbf{x}}(n)=\left[\begin{matrix} \mathbf{x}_1(n) \\ x(n-i) \\ \mathbf{x}_2(n) \end{matrix}\right]
xˉ(n)=???x1?(n)x(n?i)x2?(n)????
前向線性預測
用
x
(
n
?
1
)
,
?
?
,
x
(
n
?
M
)
x(n-1),\cdots,x(n-M)
x(n?1),?,x(n?M)的值來預測
x
(
n
)
x(n)
x(n)的值，誤差計為：
e
f
(
n
)
=
x
(
n
)
+
∑
k
=
1
M
a
k
?
(
n
)
x
(
n
?
k
)
=
x
(
n
)
+
a
H
(
n
)
x
(
n
?
1
)
\begin{array}{lr} e^f(n)&=x(n)+\sum_{k=1}^Ma^*_k(n)x(n-k) \\ &=x(n)+\mathbf{a^H}(n)\mathbf{x}(n-1) \end{array}
ef(n)?=x(n)+∑k=1M?ak??(n)x(n?k)=x(n)+aH(n)x(n?1)?其中：
a
(
n
)
=
[
a
1
(
n
)
,
a
2
(
n
)
,
?
?
,
a
M
(
n
)
]
T
\mathbf{a}(n)=[a_1(n),a_2(n),\cdots,a_M(n)]^T
a(n)=[a1?(n),a2?(n),?,aM?(n)]T，
MMSE引數的求解方程：
R
ˉ
(
n
)
[
1
a
0
(
n
)
]
=
[
P
0
f
(
n
)
0
]
\bar{\mathbf{R}}(n)\left[\begin{matrix} 1 \\ \mathbf{a}_0(n) \end{matrix}\right]=\left[\begin{matrix} P^f_0(n) \\ \mathbf{0} \end{matrix}\right]
Rˉ(n)[1a0?(n)?]=[P0f?(n)0?]其中：
R
ˉ
(
n
)
=
[
P
x
(
n
)
r
f
H
(
n
)
r
f
(
n
)
R
(
n
?
1
)
]
\bar{\mathbf{R}}(n)=\left[\begin{matrix} P_x(n) & \mathbf{r}^{fH}(n) \\ \mathbf{r}^f(n) & \mathbf{R}(n-1) \end{matrix}\right]
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